Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 26
Текст из файла (страница 26)
10.1, имеем дифференциальное уравнение ортогональных Р к данному семейству траекторий р' ч- р' я(п 2В = О. Разделяя в нем переменные и интегрируя, находим требуемые траектории: 2 Р С вЂ” соя 2В 2 244. р'= — (о =а). соя 2В а 2(ействуеьг по той же схеме, чго и в предыдущем примере. Сначала получаем дифференциальное уравнение данного семейства: р' = ргв2в. заменив в этом уравнении р' на р с — — ~4, где пг = гва (а Ф ~~), согласно (3), п.10.1, имеем Р— гав дифференциальное уравнение иэогональных траекторий р'(1+ пг га 2В) = р(яв 2 — пг), р ~ О, нли — = гд(2 — а).
Р Интегрируя последнее уравнение, находим семейство изогональных траекторий С Р= 'щ2г — я 245. р = а(1 -> соя В) (уг = а; а ~ ~~) . а Дифференциальное уравнение данного семейсша имеет вид р (! + соя В) -> р йп В = О. Заменив здесь р' на р~ — — 4 (гп = гйа), получим дифференциальное уравнение изогонааьных +т р — ляр траекторий: р (1 -ь соя  — пт я( и В) -ь р(пг -ь пг соя В + я1п В) = О, нли я ".'"л "я В ° В Р соя 2 — тя(п у в в' Проинтегрировав это соотношение, получим (пра 21п)сову — пгя(п 21+(пС„игш р= Ссоя ~2+а).
~ В В! тгв 24б. р = а соя В (Р = а; а ~ Я. М Заменяя в дифференциальном уравнении этого семейства р сояв+ рип — О По Гл. 1. Диффереициазвяые уравнения вирвого порядка Найти эвольвенты линий. 247. у = а с)! - (цеппал линия). < Запишем сначала параметрические уравнения цепной линии: ( = аС, !) = а сЬ С, дп а затем, вычислив производную л! — — зг = зы„воспользуемся первым уравнением в (5), и.
10.2. Тогда получим Ф~ дх ас = ад!, 4!) = аз)!гдС, !)! = — = з)!С = - —. д( ду Второе уравнение в (5) примет вид у = ас)!С+5ЬПх — аС). Дифференцируя обе части (2) и подставив !Су в (1), получим: дх з)зС =— (х — аС) с)!Сдг+з(СС!Сх (2) или дх хай! -> сйС вЂ” = а!япг. 41 Решая линейное уравнение с помощью метода вариации произвольной постоянной, находим: С х = а(С вЂ” 0! Ц+ —. (3) ей С Подставив значение х в (2), имеем СзЬС+а си С Параметрические уравнения семейства эвольвент цепной линии имеют вид (3), (4). Сь 248. ( = а(созС+ Сяп(), !) = а(з(пС вЂ” Ссозг) (окружность).
Ч Действуя по той же схеме, что и в предыдущем примере, получим: ду д( = аСсозг, дг) = агз!пС, — = !ВС, г((г (4) 1 у = а(япс — ссозс)+гйс(х — а(сов!+се(пс)), ду = гйсдх+ — (х — а(сов!+ сяпс)) дс, с 'С дх дх СВ!в — + х101 = аяпЦ1+ С!йС). 1й(г(х+ — з-(х а(созС+Сзшг))дг гй Интегрируя полученное линейное уравнение с помощью метода вариации произвольной постоянной, находим: аС х = Ссозг+ — (2япС вЂ” Ссозг).
2 Тогда а(з з! у = -а(созС+ С вЂ” — ) япС. 2) Получили параметрические уравнения искомого семейства звольвент. я производную р' на р~ — — т (т = 1ва), согласно (3), п. 10.1, записываем дифференциальное '+ю р — пгр уравнение изогональных траекторий: р' гйд+гйа = — !В(д + о). р 1 — !йа1йд интегрируя которое, получаем исходное семейство: р = С со!(д -Ь а). Очевидно, если а = О, то полученное семейство, естественно, совпадает с данным в условии задачи. и $10.
Задачи ва траеишрви 249. б = а(С вЂ” яп|), г! = а(1 — со!|) (циклоида), М Аналогично с проделанным выше, имеем: э(г) С э(( = а(1 — соаС)э(С, э(г) = аяп|ей, — = с|й —, г(С 2' ( у = а(1 — соя С) + сгй — ! х — а(С вЂ” яп С)! = 2а + сгй — (х — аС), 2! / С (х-а|) С г(х э(у = (э(х — а гй) с!и — — гй, сгй 2 2 з|п' 2 ' 2 (э(х — а эй) сгй 2 — 1*:; |Сш 2зш' 2 После згеслокных преобразований получим линейное дифференциальное уравнение г(х х С а — — — сгй — = -(яп| — С)сгй —, эй 2 2 2 2' общий интеграл которого имеет вид 250.
( = а сок'С, г) = аяп'С (астраида). Л Поскольку г(С = -Засох'Сяп|Ж, эгэ) =- Заз|п'Ссоз(эй, то Ф . з э э(( — = — гй|, у =аяп С вЂ” гйС(х — асш С), х г(С э(у = ассв|эй — — — |й|г(х, созз С э(х !йС = хгй а сот С э(С - -* — з — — гй С э(х сез С Из последнего равенства получаем линейное дифференциальное уравнение э(х з — +хц(С = асов С!и|.
эй Его общее решение имеет вид э х = Ссоз(+ — соз(зш С. 2 Осталось найти у. Находим: у = азш С вЂ” !и| (Ссоз(+ -соз(яп С вЂ” асов С) = -Сз|п|+асов Сяп|+ — яп С. з з з з ".з 2 ) Получили параметрические уравнения требуемых звольвент: э х= Ссоа(+ — соа|яп С, у= -Сяп|+ -япС(1+сов С). м 2 2 — „ = ЗС'. М Как и в предыдущих примерах„имеем: эСС = — бС с(С э(э) = 61 эй — = — — у = ЗС з 'Сг) 1 з э > Сс С) э!э) 1 э(х (-,*,+ге) й — ф /х ~ э(х э(у = ~ — + 2(у! эй — —, С С вЂ” — (а+ 2! ) э(х х 21 лС С(Сз+ П С +1' С х = С Б|п — .|- а(С -! 5|п С).
2 Тогда Сэ' С У = а(1 — соз С) + сэй — !! С Яп — + а(С + Яп С) — а(С вЂ” з|п С) у! = С соз — -Ь а(3 + со! С). М г Гл. 1. Двфферевввалавме уравнения верааго ворвани 112 Применив к полученному линейному дифференциальному уравнению метод вариации произволь- ной постоянной, находим: Упражнения для самостоятельном работы Найти решения следующих задач.
/ 1. у' = ~; ( х ьг! — х г -! ), х ~ О. 2. у' = / Сф- 4(г у(0) = 1. гг= ! а 3. У!Сх+ ( /хУ вЂ” г/х) г(У = О, У(1) = 1. 4. х У' — сох 2У вЂ” 1 = О, У(+со) = ~тт. г 5. (х' +!)у' = 2ху, / у(х) г(х сходится 6. — /у(С) 41 = йу(х), у(1) = 1, /! = сова. Проинтегрировать уравнения. 7. у'= 2~+ е* — с — "-т. 8. у' = й~+згпхсайх. 9. (2х — 4у+6)бх+(х+у — 3)4у = О.
10. (х + У+ 4)У' = 2х+ ЗУ вЂ” 5. 11. ТхУУ' = у/х' — У'+ У'. Найти решения следующих задач Коши. 12. мп ( — * — Ą— ) Оу+ с*~о+'г(х = О, у(0) = 2. 13. (х'у' — у)дх — (х у' — 2х'уз+Ох) бу = О, у(1) = 1. 14. (х" — у ) г(х + у г (хт — ут) г(у = О, у(1) = 1. 15. ху' = у сох )п 8~ г у(1) = е г . Проинтегрировать следующие линейные уравнения и сводящиеся к ним. 16. у = х(у' — х соз х). 17. у' + у ми х = ащ х.
18. (ху + е*) бх — х 4у = О. 19 у = — ~ — т 20 у'+29 = е* уг 21 ху' — 2хг,/9 = 49 Построить общее решение уравнений в форме Коши. 2 г 22, у'+ у — т ®т — — е*. 23. у'+ у(1+ хг) зшх = сгвх. 24. у'+узах = сгех. 25. у'+ к = х, 1+а е Решить следующие дифференциальные задачи. с 1 3 26.
х)пхЯ+Су= х()пх — 1), у(е) = 2 — 5!. 27. хгу'+у = е*)т — — *-г, С у(х)г(х (сс, (х +1) ',/ ! 28. у' = (Зхгу~ + у ) (ху" + 2хгу), у(1) = 1, Проинтегрировать следующие уравнения Риккати. 2 29. 2у' = ху+ уг + — г — 3. 30. у' = кх — ~- + х. 31. у'— 2ху+ у' = 5 — хг, /у(х) бх = 1. о 32. ху' — у +(2х+1)у = х +2х, /(х — у) 4х = 1. СС х=21+ /Ст+1' Для определения у подставим полученное значение х во второе уравнение системы (5), п. 10.2. Имеем у = ЗС вЂ” — ~21+ + 21 /! = С вЂ” 2— 1 СС гй г С ч/Су+ 1 / ь/Ст+ 1 Таким образом, параметрические уравнения звольвент данной кривой записываются в виде: СС С х=2С+, у=С вЂ” 2 — .> ч'Ст+ 1' ' /СС+ 1' 0 10.
Задачи иа траектерви Проинтегрировать уравнении в полнык дифференциалах. 3 г 33. (1+ у~яп2х)бх — 2усозг хбу = О,. 34. Зх (1+)пу)бх = (2у — х ~ 4у. 35. (в~пу +2) бх+ ~~Иу= О. Проинтегрировать уравнения, подобрав интегрирующий множитель. Зб. ху (ху'+1) = 1. 37. (х +31пу)убх = хдтя. 38. (х + 2х + у) 4х — (х — Зх'у) бу = О. 39. (х — у) Их + х(у + 1) Иу = О. Найти возможные особые точки, кривые и особые решения. 40.
у' = г/у. 41. у' = рггу. 42. у' = ьгу+ 1. 43. у' = 2гухуу. 44. у' = у ( уу+ хг гогу) . Решить уравнения путем сведения ик к дифференциальным. г г г 45. у(х) = х + ~е~ 'у(1) 41, 46. ( (х — 1)(~г) у(г) 41 + 2 /(Зх — 61)у(1) 41 + 2х = О. ГляВз. 2 Дифференциальные уравнения высших порядков 5 1. Виды интегрируемых нелинейных уравнений 1,1. Дифференциальное уравнение вцдв Х(х, у("1) = О. Дифференциальное уравнение вида Г(х, уГ"') = О может быль проинтегрирована, если уравнение Г(х, и) = О можно разрешить или относительно и = уг(х) или же относительно х = у)(и).
Действительно, в первом случае имеем 1 у'"с = р(х) у = (х-С)" 'р(С)И+С,х" '+ С х" '+ ... +С„,х+С„, (1) (гг — 1)! у «е где Сг (у = 1, и) — произвольные постоянные. Во втором случае полагаем уа1 = С. Тогда х = Р(С) и «С(у'" О) = С да = С«Р'(С)«СС, откуда у'" "= /СР'(С)а+С,. Аналогично находим ум ", у'" '1, ..., у = у(С) + ы(С, Сп Сг, ..., С„), где д и ь« — известные функции. Таким образом, общее решение налошпся в параметрической форме х «г(С) у у(С) + ю(С С~ С7 . ° С ) (2) Иногда уравнению Г(х, у'"') = О удовлетворяют параметрические уравнения х = а(С), уа' = = СЭ(С), т.е.
Г(а(С), СУ(С)) и О при С б (См С|). Тогда, действуя аналогична изложенному выше, получаем параметрические уравнения общего решения, имеющего вид (2). 1.2. Дифференциальное уравнение вцлв Р (у(" г), у("1) = О. Если уравнению Г(и, е) = О удовлетворяют параметрические уравнения и = а(С), е = С)(С), С б (С«, С,), то дифференциальное уравнение нида Г(ум ", угю) = О можно проинтегрировать. Действительно, тогда ум "= а(с), уа' = 13(С) и «С(уа ~1) = Д(С) «Сх, или а'(С) «СС = СЭ(С) «Сх, откуда Г а (С) х= У' — йС+Со Ж) Функцию у находим издифференциального уравнения у'" О = а(С) способом, указанным в п.1.1.
1.3. Дифференциальное уравнение вида Х (у( с), у(")) = О. Пусть и = а(С), е = СУ(С) — функции, удовлетворяющие уравнению, указанному в п. 1.2. Тогда аифференциальное уравнение вида Г (ум ~~, уг"~) = О можно проинтегрировать. Действительно, имеем, у = а(С), 'у( ] = Р(С), яли, если ввести обозначение у(" 1 = л(х), то л(х) = а(С), х"(х) = Д(С). 115 й 1. Вилы вытегрируеммх велииейиьгх ураввеввй Из первого уравнения находим л (х)= 2) а' х (х) = — а(2) = —, 2(х Используя второе уравнение, получаем (3) (4) Проинтегрировать дифференциальные уравнения и найти частные решения там, где заданы начальные условия. 252.
у"4= х+созх. м Последовательно интегрируя обе части уравнения три раза, пачучаем у = (х + с аз х) 4(х + С~ = — + ип х + Сг, 2 г 2 хг г у'= — +них+С, 2(х+Сг = — — созх+С,я+С„ 2 ( 6 г 2'хг х4 х2 у=( — — созх+С~х+Сг ох+Сг — — — — йлх+Сг — +Сгх+Сг. М 2' 1,6 24 2 253. уш = е* — 1, при хе = О, уе — — 2, уе = 1, уаг = 1, уе" = 1. и Сначала находим общее решение: г 4 г 4 у = е* — х+С, у' = е — — +Сгх+Сг, 2 2 2 .4 хг 2 у' = е* — — + С~ — + Сгх + Сзг у = е* — — + С| — + Сг — + Сгх + С4. 6 2 24 6 2 Затем подбираем значение пока произвольных поспшнных таким образом, чтобы удовлетио- рить заданным начальным условиям. Имеем (=)+С„1=1+Си )=)+С„2=1+С4, откуда находим С, = Сг = Сг = О, С4 = 1.
Частное решение имеет вид 4 х у =е — — +1. и 24 254. уьд + впум — 1 = О„при ае = 1, уе = уе = у~ = 2. и Лепго показася ГРафическн, что уРавнение а +з(л а-1 = О имеет единственный дейсгви- 5 тельный корень ао Следовательно, у"' = аг, откуда, последовательно интегрируя, полузаем хг х' х2 у" ш агх+ Сг, у' ю а| — + Сгх + Сг, у = аг — + Сг — + Сгх + Сг. 2 6 2 Для определения постоянных интегрирования пользуемся начальнымн условиями. Имеем а, а, Сг 2 =аг+Сгг 2= — +Сг+Сг 2= — + +Сг+Сг, 2 ' б 2 откуда находим Сг — — 2 — аг, Сг — — ф, Сг = 1 — Рбг..
а'х — ха =х )3. 4 ! 4 г Если положить *' = к, то уравнение (3) примет вид 4 Г г г ак — ка =)ук. Это уравнение Бернулли. Пусть к = х' = у(С, 1) — его общее решение. Тогда = ~ Х(С, Гг И+ С,. Для получения функции у = у(1) интегрируем гг — 2 раза уже известным нам способом уравнение уа " = а(2). Таким образом, получаем общее решение дифференциального уравнения рассматриааемопг вида а параметрической форме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
