Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 23
Текст из файла (страница 23)
8,3 и последнего неравенства заключаем, что если 1 < а < 2, то калсдое 3 решение уравнения продолжимо на всю ось Ох. Если а =- 2 + е (е > 0), то при ~х( > 1 имеем оценку 3 ( 2ы + ( (3+и( (з+зс . ( (мзс Следовательно„при а > Т и (х( > 1 решения данного уравнения растут быстрее решений урав- 3 з+!с пения у' = (у( 3, исследованного в примере а), т. е. не продолжимы. г) Поскольку правые части системы уравнений непрерывны вместе со своими часпзыми про- изводными по у и х при любом а во всем пространстве переменных (х, у, х), то в окрестности любой его точки существует единственное решение данной системы.
Пусть а ( О. Тогда для суммы квадратов правых частей уравнений при у'ч-хз ) 2 справедлива оценка , -2а (у~+я~+2)" +у (!+а~) < (г~+ 2) лг < г-~ (1+ ) +аз < 97 в 8. Сушеепюваияе и единственность решеиш! где г = р +з, из которой при — 4о — 2 < О, т.е. при а > -7 следует, что 2 2 2 1 -а й= < г(1+4 ')2. На основании полученной оценки и утверждения п.
8.3 заключаем, что при -2 < а < 0 все 1 решения системы продолжимы на всю ось Ох, Пусть а > О. Тогда из первого уравнения системы можно получить опенку и~ь)+(1 ь,, „~ь~ ° () ° =~ ) ) — а ./ (р~+ э!+ 2)' *О но где (хм рз) — произвольная точка. Как видим, решение у(х) прополз!яме на всю ось Ох. На основании последней опенки правая часть второго уравнения при а < 7 оценивается следующим ! образом: ! (р(!+э) ! < (У)(1+з!)' < ((Уе)+)х-ха))()э(+ 1) Отсюда в силу утверждения и.
8.3 следует, что если 0 < а < 7, то решения системы продолжимы ! на весь интервал -оо < х < +со. Пусть а < — 2, тогда р' > )у( '. Следоватеяьно, решения уравнения у' = (у' + э + 2) ' при а < — 2 не продолжимы, так как растут быстрее, чем решения уравнения р' = )р~ ", имеющие асимптоты (см. пример а)). Пусть а > 2. Тогда, как мы видели, все решения р(х) продоллшмы на всю ось Ох. Возьмем ! кривую р = у(х) с начальным условием у(0) = О. В силу того, что р > О, функция у = р(х) возрастает (эначит, она положительна при х > 0). Следовательно, р«)4(- +со при х- +со.
(1) а Далее, интегрируя второе уравнение системы, получаем Поскольку э! ~-„- сходится, то отсюда и из (1) вытекает, что х — х, при э -~ +со (х, < +со), 4г (7~а т. е. прямая х = х! является асимптотой для решения э = г(х). Итак, исхоля из полученнык результатов, заключаем, что лишь при !о) < 2 все решения 1 системы продолжимы на интервал — со < х < +оо. Ь 215. Для следующих уравнений доказать, что решение с произвольным начальным условием р(ха) = ра существует при х, < х < +со и имеются решения, непродолжимые на полуинтервал оо < х ~ ~хе.! а)р =х — р; б)р =хр+е ".
м Ф)лшции (!(х, у) = х' — уз, уг(х, р) = хр+ е " непрерывны вместе с частными производными у-' = -38, -я- = х — е, поэтому согласно теореме существования п. 8.1 через калдую точку плоскости хОр проходит одна глашсая интегральная кривая, своя для каждого из уравнений в а) и б). Покажем, что все кривые процоллшмы на полуинтервал (хе, +со). а) Прямая у = х делит плоскость хОУ на две части, в левой из которых все решения р(х) убывают, так как р'(х) < О, а в правой части — возрастают в силу того, что р'(х) > О. При этом ни одна шпегральная кривая не может выйти из правой полуплоскости, поскольку для этого ей пришлось бы пересечь прямую у = х. на которой р' = О. Следовательно, ни одна кривая в полуплоскости х > р аснмппзт не имеет, т.е. она продолжима на полуинтервал (хе, +со).
Гл. 1. Двффереиииалааые уравнения пераагх порядка 9В Заменив в данном уравнении х на — х, получим уравнение у=я+у из которого интегрированием находим г с(Г г сй х хо 3 3 'ч 3 3 (х~>хо' У~>УО, 'хо+УО>0). ПосколькУ интегРал спРава пРи У -з +со сходитеа, то х -з х, пРи У вЂ” з +со, где х, > хо. Значит, кюкдое решение уравнения у' = х — у не продолжимо на полуинтервал (-сю, хо).
з з б) ПосколькУ У' = 0 пРи хУ + е " = О, то кРиваа х = — —,г делит всю плоскость хОУ на тРи уе области, в каждой из которых решения нли убывают, илн возрастают. Исследуем эту ситуацию подробнее. Возьмем произвольную точку (хо, у,) в области, определяемой неравенствами ху+ е " < О, х < О.
Поскольку в этой области у' < О, то ордината кривой, проходящей через точку (хо, уо), убывает и принимает минимальное значение на кривой ху+ е " = 0 (х < 0). Перейдя через кривую ху -ь е " = О, интегральная кривая попадает в область, где У' > О. При этом ордината интегральной кривой возрастает, однако в силу оценки )хУ+ е "! < )х!У+ 1, (У > О) и утверждения п. 8. 3 рассматриваемая интегральная кривая асимптоты не имеет, т. е. продолжнма вправо при х > О. Теперь возьмем произвольную точку (хо, Уо) в области, где ау+ е " > О. Так как У' > 0 в этой области, то решение у = у(х), У(хо) = У„возрастает. если кривая цопалает в верхнюю полуплоскость, то решение, как мы видели, продслжнмо вправо.
Если же она попадает в область ау+ е " < О, У < О, то в силу отрицательности производной решение у = у(х) будет убывать. Благодаря конструкции этой области (любая вертикальная прямая пересекает границу области в двух точках) ни одна интегральная кривая не сможет выйти из нее, а значит, не может быть продолжена при х > О. Покажем теперь, что уравнение имеет непродолжимые на полуинтервал (-со, хо) решения.
Заменив в уравнении х на — х н у на — у, получим у = ау-Ье») ео. Поскольку уравнение У' = е" имеет при х > 0 непродолжимые решения, то полученное уравнение, решения которого растут еще быстрее при х > О, также имеет непродолжимые решения. ~ 216. Пусть на всей плоскости хс)у функции У и ~- непрерывны и -+" < К(х), дг ву функция К непрерывная. Доказать, что решение уравнения У = Г(х, у) с любым начюгьным Условием У(хо) = Уо сУществУет пРи хо < х < +со.
м Из двук лифференциальных задач у' = у(х, У), У(хо) = У,; «' = К(х)«, «(х,) = Усо вторая из которых является вспомогательной, почленным вычитанием получаем задачу й = Я(х)+Р(х)и, и(хо) = О, Гдс и(Х) = у(Х) — «(Х), Г„З(Х) = Г(Х, «(Х)) — К(Х)г(Х), а Р(Х) = с( М®Я вЂ” ( — ) МОжЕт 6ЫтЬ представлено в вцае Р(х) = У(,-» — ), где с(х) — некоторая функция, график которой лежит »=ц' з мехслу графиками у(х) и «(х). Решение гюлученной задачи имеет вид .»з = ) Ооз-,(З' о(ого)д, 99 откуда в силу условия задачи следует, по ) ш~~)ЮИ ()ки~)экэьг Так как функция К непрерывна при х > хм то решение э = э(х) существует при х > хс и непрерывно. А тогда в силу непрерывности функции У и функция Д также непрерывна при х > > хэ.
Следовательно, при х > хе непрерывна и подынтегральная функция в последнем интеграле, который также непрерывен. Таким образом, при всех х > ха имеем э(х) — Ф(х) ~ (у(х) ( (э(х) + Ф(х), откуда на основании локальной непрерывности функции у = у(х) следует ее существование и непрерывность при х ) хэ. М 217. Дана система в векторной записи у' = у(х, у), удовлетворяющая условиям теоремы существования в окрестности кюклой точки (х, у). Пусть в области )у( > Ь при всех х у,у(х, у) < К(х))у)', где у у — скалярное произведение, а функция К непрерывна.
Доказать, что решение с любым начальным условием у(хо) = уа существует при хе ( х < +со. М Умножив скалярно обе части данного уравнения на вектор-функцию у = у(х) и обозначив )у) = и(х), получим й=2у у<2К(х)и, и>Ь, й — < 2К(х), и< и,ехр12/ К(8)й( и *а или окончательно ь~у ь> ~()кв~) =на. ш Так как функция К непрерывна при х ) хэ, то функция Ф также непрерывна при х > хэ, следовательно, функция (у~ продолжима на полуинтервал [хш +оо).
Э Пааиечаиие. Иэ нерааеистаа (у) ( Е(х) еще не следует предолжяиосгь функции (у( ца лолуицтераал (хэ, есс), если лри эгон не будет гарантировано сушеспювание решения в окрестности каждой точки полугшоскостл х > хэ плоскости хОУ. $ 9. Особые решения 9.1. Особое решение. Дискримииантяая кривая. Решение у = (с(х) дифференциального уравнения Р(х, у, у') = О называется особым, если в любой окреспюсти каждой его точки проходит другое решение, имеющее в этой точке общую с ним касательную. Пусть функция Р = Р(х, у, у') непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого порядка. Геометрическое место точек уг(х, у) = О, получаемых путем исключения у' из уравнений г (х~ У~ У ) = О, ' ' = О, дР(х, у, у') ду' ()) называется дискримилалтлой кривой дифференциального уравнения Р(х, у, у') = О. Следует про- верить, является ли ветвь дискриминантной кривой, удовлетворяющая этому дифференциальному уравнению, особым решением, т.
е. касаются ли ее в кюхдой точке другие решения. Аналогично поступаем с геометрическим местом у)(х, у) = О, удовлетворяющим условиям дР(х, у, у) Р(х, у, у ) = О, — неограниченная. ду 100 Гл. 1. Двфференцвальиме уравпевия первого порядка 9.2. Огибающая как особое решение. Семейство интегральных кривых Ф(х, у, С) = 0 уравнения Р(х, у, у') = 0 может иметь огибающую у = (г(х). В таком случае кривы у = )з(х) является особым решением указанного уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
