Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Тогда ь = р япр и остается'выразить у через р. Воспользовавшись связью йу = р Нх, имеем э(у = Рэ((рь(пр) = р(ьэп15+)эсоьр) й)ь. отсюда интегрированием получаем у = рэь(пр+ рсоьр — ь(пр+ С. Гаким образом„имеем общее решение в параметрической форме: х = уз(пр, у =рэьшр+рсоьр — ьтр+С. > 7б Гл. 1. Дифференциальные урааееиия первого порядка 180. у = (2 + у ) з/Т вЂ” у'.
< Как н в предыдущем примере, вводим параметр д' = р. Тогда д = (2+ р)з/1 - р. Так как ь(х = — ь(д, а ь(д = ь( ((2+ р)з/\ — р), то Хх = — ь(((2+р)~/! — р) =— О!сюда интегрированием находим х = З~Л вЂ” р+ С. Если исключим параметр р из вырюкений для х и у, то получим общее решение з д= х+С- — (х+С) . и 27 181. х'+у' -Зху' =О.
и Полагая у' = !х(!), где ! — параметр, находим 3! , 3!г х(П = —, 1+!зь 1+!з Из последнего равенства следует, что ь!у = — з-ь!х. Поскольку ь(х = 3: — з-ть(1, то ь(у 3! 1 — 2С ! ь! (1+! ) = 9 ~-(ь:згьз2 Ф. Интегрируя, получаем (! -!-! ) 3 4!+1 у(!)= 2 ! +С 2 (1 + !з)г — общее решение исходного уравнения в параметрической форме. И р ,» р ,г 182.
у' — од' +9у' — 7д' +бд'+1=0. м Пусть а„(й = 1, 5) — корни уравнения а' — ба'+ 9а' — 7а + ба+ 1 = О. Тогда у' = а» и у = а»х+ С, или — = а». Поскольку ໠— корни указанного уравнения, то долл»но быть ь — С (У ) — В(~— ) +9(д ) — 7( ) об(д )+!=О. Это и есть общий интеграл данного уравнения. И 183. у' = 1Оз!ну'. М Поскольку у' = а», где ໠— корни уравнения а = !оипа, то у = а„х Ь С, и общий интеграл днфференпиального уравнения имеет вид: , д-С у — С = 10хип —. > 184. д'+)д'! = О.
и это уравнение выполняется для всех у' < О. поэтому, полагая у = р(х), где !г — любая неположительная функпия, имеем: у = ~уь(х) йх+ С = — /~уь(х)(ь)х 4- С. Следояателыю у = — / (ьр(х) — ((е(х)() ь(х + С 1 есть решеьше дан)(гого уравнения. Ьи 185. хФ= у". г М Уравнение имеет одно очевидное решение у' = х; д = С+ -Г. Кроме того, имеются и другие решения, которые представим в парамегрнческом виде. Для этого положим у' = х'.
Тогда подучим ь ь х =!г-т у =ггт (! гз 1), 77 $7. Уравнения, ие разрешенные относительно производной гз! 1~=~ /! 1п! х ~(д = ! — г(х = Е» ~ б ( ! — ) = — ( - — — ~ ~(!. С вЂ” 1 ! С вЂ” 1 Интегрируя последнее соотношение, находим д = / 1= (- — —,) —, + с. м 18б.у'=е т -*К м Разрешив уравнение относительно * и полагая у' = р, получим х = к !пр, Так как и бд = р г(х, то Нд=рг(( — !пр~ = — г(р+!прНу — — !пррр, или (1 — 1пр) ~бу — — бр) =О. /у ! у у / д Р Р Р р — и Сх =!пСд.
> д е 187. д" — уд" ч-)=О. м Полагая здесь у' = р, разрешаем уравнение относительно х; ур' - 1 у Р Р Р Из равенства бу = р ох, а также (1) следует, что /д 1) д Збр бу=рп(-- — ) =йу--йр+ —. Р Р Р Р Из (2) находим р = С и у = -г. Подставив зти значения в (1), получим 3 Р (2) у 1 з з х= — — — и 27х =4у.> С С' 188.
у' +2уд'с!бх — у' = О. м Разрешая уравнение относгпельно у', у =у!б— 2 Их соответствующие решения имеют вид с, у= стиг х 2 получаем два дифференциальных уравнения х и у = -дс!б-. 2 С, д зх'~» 5!и ч 189. д(д — 2ху')' = у' . М Умножив обе части уравнения на у и обозначив д = и, получим 2 т 4(и — хи')' = и' . Полагая и' = р и разрешив последнее уравнение относительно и, будем иметь г и =хр+ ( — ) Поскольку г(и = р Их, то, дифференцируя обе части равенства (1), найдем г 1 3 /Р~ У'1 рих=с((хр+ (- ! =хор+рая+ — Н г(р, илн х+ — ( — ) ар=О.
(, 2 ! ,( Из последнего уравнения находим р = е и р = Су, Таким образом, решения данного уравнения имеют вид Гл. 1. Днфферевциалытые уравиевшт первого порядка Отсюда имеем р = С, или р = — — з-. Поделана значения р в (1), окончательно получим: 2 27х у =2Сх+Ст и у = —,> т т 1 27хз' 190. (Зх + 5)у' — (Зу + х)у' + у = О. и Положив у' = р и разрешив уравнение относительно у, имеем 5р у = хр— 1- Зр' Продифференцируем обе части равенства ( 1), приняв во внимание, что Оу = рая. Получим 5р 5р(2 — Зр) Ор / 5р(2 — Зр) ! рдх=8 хр — ! =хт(р+рйх— 1 — Зр 7' (1 — Зр)т или ~х— П-Зр») ~ Ор=о. Из этого уравнения находим (2) 5р(2 — Зр) Р=С и (1 — Зр)' Подставив (2) в (1), получим решения исходного уравнения: 5Ст 5р(2 Зр) 5р 1 — ЗС " * (1-Зр)' ' " П вЂ” Зр»' Последние два из них являкпся параметрическими уравнениями решения, не входящего в семейство интегральных кривых ни при каком С.
и. 191. у = ху' — уг. и Попаши здесь у' = р и дифференцируя обе части равенства у = рх — р, получаем рт(х = и'(хр — р ) = хор+ров — 2рт(р, (х — 2р) ор = О. Отсюда находим р = С и р = т . Таким образом, решения исходного уравнения имеют вид 2 т х у =Сх — С и у= —. > 4 т 192. у = 2ху'-4у' . и Введение параметра у' = р с последующим дифференцированием обеих частей уравнения приводит к следующему соотношению; рт(х = т((2хр — 4р ) = 2хдр+ 2рйх — бра, или 2хт(р+рйх 8рт(р = О.
Полученное уравнение можно рассматривать как линейное относительно х = х(р): т(х р — + 2х = 8р. Ор Его общее решение имеет вид С 8 х = — + — р. рт 3 Таким образом, общее решение исходного уравнения запишется в виде: С 84з2С т+ Р~ У= Р+ Рт 3' 3 Р' Кроме того, име я еще одно решение у = О, не входвщее в это общее решение ни при каком С. и Пввмечиме. Здесь и далее рассматриваем ураелеявя Гттирахих и Хаеро, которые соотаетспынно имеют ввд: у= р(в'Ъ +Р(у') (р(в) те у') в = у в+Р(в). 79 й 7. Уравнения, не Разрешенные отяоснтельно производной 193. у = худ — 2У".
м По аналогия с предыдущим примером имеем у'=р; у=хр — 2р; рйх= 4(хр — 2р), р ((р — 1) 2(х + 2(х — Зр) 2(р) = О. Отсюда следует, по р = ! „р = О, а также (р — 1) 2 — + 2х = Зр. Интегрируя линейное уравнение, 2(Х получаем Р С х= + 2р + 1. (р — 1)2 Таким образом, все решения данного уравнения описываются формулами: С Ср' У=О; у=х — 2; х= +2р+1, у= +р.М (р-1)2 ' (Р-1)' 194. 2У' (у — *у') = 1. М Разрешая уравнение относительно у и полагая у' = р, получаем 1 У=яр+ 21Р2 ' Используя равенство ду = р Ых н дифференцируя обе части (1), находим 1 2 1 рдх = 4(хр+ — ) = хдр+р2(х — — Ир, 2рз,) з (х — —,) 2(р = О.
Отсюда следует, что р = С, а также х = -2-. Подставив полученные значения в (1), окончателыю ! Р имеем бу =27х и У=Сей —.Ш 3 2 2С2 195. Найти кривую, каждая касательная к которой образует с осями координат треугольник площадью 2а'. м Из уравнения касательной к кривой в точке М(х, у) 1' = у+ у'(х)(Х вЂ” х), где Х, à — текущие координаты касательной, следует, что абсцисса точки пересечения касательной с осью Ох равна х„= * — лг, а орднната точки пересечения ее с осью Оу у„= у — ху'.
У согласно условию !х„у„( = 4ат, нлн х„у„= х4а~. таким образом, получаем дифференциальное уравнение х — — 7! (у — ху ) = х4а, ( ) У '2 Р 2 У) нлн (ху' — у)' х 4азу' = О. полагая у' = р и дифференцируя, находим 2(хр — у)(х 2(р + рйх — р 2(х) х 4а 4р = О, (х р — ху х 2а ) !(р = О. Следовательно, р = С, а также р = у (У х х ) . 2е Подставляя значение р в уравнение (хр — у)2 ~ 4азр = О, получаем решения 2 у =х — н (Сх — у) х4а С=О. а 2 2 х бО Гл. 1. Дпффереициальвые уравнения первого порядка а 2 Легко проверить, что кривая у = ж — является огнбиошей семейства прямых (Сх — у) х ж 4а С = О, каждая из которых совместно с осями координат образует указанный в условии треугольник.
Исключая эти тривиальные возможности, получаем решение поставленной задачи у = х —. ° х хх с(р=б, из которого следует, что р = С, а также х = ~ --)~ †. Подставив значения р и х в (1), находим: ) 1-';рз х! у = н у = Сх ~ Я + С'. чг) +Ф Если исключим тривиальный случай у = Сх х ч1+ С', то получим решение данной задачи х оу =!.~ 2 2 1ох7. Найти кривую, проходящую через начало координат н такую, что отрезок нормали к ней, отсекаемый сторонами первого координатного угла, имеет постоянную длину, равную двум.
< Из уравнения нормали ! У = у — — (Х вЂ” х) следует, что (ОР~ = у+ -хг, (Оч( = х + уу' (рис.23). Согласно у условию, гФ = ДОРР оЯР= 2 поэтому - —,~! +(х+уу')'= . ( *,\' у / Рас. 23 Положив в этом уравнении у' = р н разрешив его относительно у, получим х 2 Ф+Р' Дифференцируя руаенство (1), имеем / х 2 ) хор ох ау=рох = о*1 — — ж ~; рйх = —. — — ~ 2р(! + р ) ор, 1, р ьгГ+р~,~ ' р' р 1охб. Найти кривую, каждая касательная к которой отсекает на осях координат такие отрезки, что сумма величин, обратных квадратам длин этих отрезков, равна единице. ц Если сохранить обозначения из предыдушего примера, то согласно условию получим 1 ! у ! 2+ 2 — 1 или 2+ =1, х! уз ' (ху' - у)з (у - ху')' Разрешая уравнение относительно у и полагая у' = р, будем иметь /~+ з .
(1) Проднфференцируем обе части в (1). Тогда, принимая во внимание равенство г(у = р ох, получим дифференциальное уравнение й 7. Уравнеиня, ие разрешенные относительно производной Последнее уравнение линейное относительно х и его общее решение имеет вид х= Ср р з/Р +1 (рт+ 1)т Параметрические уравнения общего решения исходного уравнения определяются равенствами (1) и (2). Положив в (1) х = у = О, получаем р = сю. А тогда из (2) следует, по С = О.
Таким образом, кривая, параметрические уравнения которой имеют вид з У= з (Р>0) р 2р+1 (3) (уз+1)1 Озз 4-1)' удовлетворяет поставленной задаче. Очевидно, что если в (3) поменять местами х и у, то получим другую кривую з У= з (Р>0)~ 2р+1 р (4) (рз + ц у (),г + 1) з которая также является решением поставленной задачи, поскольку с геометрической точки зрения переменные х и д равноправные. Ясно, что если в (4) параметр р заменим на — (р > 0), то 1 Р получим ту же кривую, однако с другим параметрическим представлением у= з (р>О).1 ,(2+,з (рт+ 1) (уз+ 1)' 198. Найти кривые, у которых произведение расстояний от каждой касательной до двух данных точек является величиной постоянной. м Согласно условию, (ХА) (АВ) = а' (а = сопя!) (см, рнс.24).
Пусть ~АО~ = )ОВ~ = Ь. Тогда, подставив в нормальное уравнение касательной Т вЂ” у'Х вЂ” у+ ху' =0 ~/) + у" вместо координат Х и 1' координаты точки А(-6, 0)., получим 1КА! !Ьд У+ад! )(1-6 Ул Аналогично получаем Таким образом, имеем |ЬУ вЂ” у+ху ! ! — Ьу — у+ау ! = а (1+у ), откуда (ху — у) — Ьу = ха (1+ у ). Обозна зив 6~ха = пз, ха = и н разрешив последнее уравнение относительно у, можем записать з з у= ху х )/гшу' + и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
