Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(1) Полагая в (1) у' = р и продифференцировав, получим хх Ар=о, откуда р = С и х = ~ — т — с —— . Таким образом, отбросив тривиааьный случай р = С, имеем ~изр~+ в параметрические уравнения искомого решения гпр и ху у у=+ згггпрт + гг тггтрт + и Исключив параметр р, получим пх +пзу = гпп. Очевидно, что в зависимости от знаков пз и и, зто могут быль как эллином, так и гиперболы. ~ Гл. 1. Диффереицввльиые уравнения первого порядка 5 8. Существование и единственность решения 8.1.
Теоремьг Панара, Пеаво и Оегуда. Теорема (Пикара). Если в задаче Коши ду ,1 = г(х~ У)1 У(хь) = Уь (1) функции у непрерывное прямоугольнике Я = ((х, у) б мз: [х-хь! ( а, !у-уь! ( Ь) и удовлетворяет в ием уошвню Лившица ло переменной у, т.е. 3Е > 0: )г(уп уг Е [ — Ь+ уь, Ь + уь!) У(х Е [-а + хь, а + хь!) (2) ! у(х, у~) — у(х, уг)! ( (Е[«1 — уз! (Е = сопз!), то на сегменте хь — д < х ( хо+ И, где д = пап(о, ь [, М = шах [у(х, у)[, существует (ьнеп единственное решение задачи (1), к которому равномерно сходятсе лри и -«сс приблихсения у„, определяемые формулами у(хь) = уь, у«м(х) = ус+/ Щ у Я) дг, и б Еь *а (3) Теорема (Пеано). Если функция Т непрерывна в Я, то хотя бы одно решение у = (с(х) задачи (1) существует на указанном сегменте.
Теорема (Осгуда). Если; 1) функция ю = ы(1) непрерывна при( > О, ы(0) = 0 и ы(1) > О ири 1 > 0; 2« 2) интеграл [ -[([ — — +со; Г дг ь 3) [Т(х, у~) — Т(х„уз)! ( ы([у~ — уз!) в Я, то е Я мохсет существовать ие более одного решения задачи (1). 8.2.
Существование в едивствеивость решения задачи Коши для уравнения, не разрешенного относительно вроязведной. Теорема. Если в замкнутой окрестности точки (ха, уь~ уь) функция Р = Р(х~ У1 У ) удогле творлет условиям: 1) Р непрерывно по совокуттсти аргументов х, у, у; 2) существует чостнан производная дт ~ 0; др д« 3) существует частная проимодиал д —, причем ! у — ! < Ф (2«' = сопзгд др ~ др1 ! «! то на сегменте [хь — е, хо + г[, где г > 0 — достаточно малое число, существует единственное решение у = у(х) уравнения Р(х, у, у~) = 0 с начальным условием у(хь) = уь, для которого у (хь) = = уь и уь — действительный корень уравнения Р(хь, уь, уь) = О.
8.3. Продолжение решении задача Хоан. Часто решение задачи Коши существует не только на сегменте, указанном а теоремах Пикара и Пеано, но и на большем сегменте. Если условия теоремы Пикара выполненм в замкнутой области, то решение задачи (1) можно продолжить вплоть ло границы этой области. . если функция у репрсрывна в полосе и = [(х, у) б ж: о < х < 1), -со < у < +оо~ и удовлепюряьт неравенству [у(х, у)! < 1«(х)[«[+ ф(х), (4) где (ь и ф — непРеРывные функции, то всякое Решение задачи (1) можно продолжит на интервал (о, Д). Информация о величине интерваяа существования решения задачи Коши содержатся в слелующем угвсржаенин.
83 Лемма (Бихари). Если справедливо неравенство у(х) ( С+~о(1)д(у(1)))й, хо ( х ( а, (5) «» где С = сопз1 > О, функции у = у(х), о = о(х) неотрицательные и непрерывные, а функция д = д(у) непрерывная, неотрицательная и неубывающая, причем д(у) > 0 при у > О, то )1*)»а'[»)о 1'»)«)), *» (б) г д( С(и)=21' —, и,>О, 2 д(1)' дяя всех тех х б [хе, а), для которых функция С(С) + [ о(1) М принадлезкит области определения *« функции С '. (8) У» 2 (х У)) У2 . )У»)) У!(хо) = Уи) ю(хо) = Узо) . )У»(хо) = У»о. При условиях, аналогичных изложенным в п,8.1, существует единственное решение задачи (8). При этом под непрерывностью вектор-Функции у понимается непрерывность ее координат у„уз, ..., у„, а условие Лнпшица (2) распространяется на каждую функцию у) по кахщой переменной у„.
Абсолютная величина [у[, [у[ заменяется длиной соответствующего вектора. К задаче (8) сводится следующая. Найти такую функцию у = у(х) вместе с окрестностью точки хе, которая удовлетворяет уравнению (9) н начальным условиям У(хо) = Уо) У (хо) = Уо) " ) У (ха) = Уо (10) Если в некоторой области Р, солержащей точку (хо, уо, уо,, „,уе! 1), функция у и ее частные производные перного порядка но у, у', ..., у!" '! непрерывны, то задача (9), (10) имеет единственное решение в достаточно малой окрестности указанной точки, целиком лежащей в Р. Положив у = у), у' = уз,...,у!" '! = у, вместо (9), (10) получим систему ) ) ) У) У2) Уз УЗ) ' ' ) У вЂ” 1 У») У» 2 (х) У1) У2) ' ' )У») (11) с начальными условияыи у)(хо) = уо уг(хо) =, Ы " у»(хо) = уо !»-о 199.
ПостРоить послеДовательные пРиближениЯ Уо, У), Уз к Решению данного УРавнениЯ с данными начальными условиями: а) у' = х — уз, у(0) = 0; б) у' = у+ е" ', у(0) = 1. т Воспользуемся формулами (3), п.8.1 а) В рассматриваемом случае хо — — О, уо — — О, уо(1) = Уо — — О, у»+1(х) = ~(й — у„(1))дт) и б Ео о 8.4. Существование н единственность решения векторной задачи Коши. Если в зыщче (1) у и у векторы, т.е. у = (у), уз, -,у») у = (у)) уз)" )у») то вместо задачи (1) будем иметь задачу: У! 21(Х) У!) У2) .
У»)) У2 22(х) У1) У2) )У»)) Гл. 1. Дифферевцивльиые уравнения первого порядка 84 Полагая здесь и = О, получаем первое приближение г 2 Полагая в (1) и = 1, находим х' х' 2 20 б) Поскольку у(0) = 1, то де(С) = 1, хе — — 0 и д.нг(х) = 1+ / (д„(С)+ е""П' ') ОС. о Отсюда при и = 0 получаем д (х) = 1+ /((+ е'-') ОС = 1+ 2х, о а при и =- 1 находим я дг(х) = 1+ / (1+ 21+ ег!)гй = — + х ф хг+ — ег . М 2 2 а У' = 2х+ х! г' = У; д(1) = 1, х(1) = О; г(У г, — =д, — =х; х(0)=1, у(0)=2; гй гй а) б) д" + У' — 2д = О, У(О) =1, д'(о) = о.
в) ° В а) Система интегральных уравнений, эквивалентная данной системе дифференциальных уравнений с начальными условиями, имеет вна: я г д( ) = 1+ / (2С + л(С)) г(С, х(х) = 1 У(С) г(С. ! ! Последовательные приближения находим по рекуррентным формулам Д д„(х) = 1+/(2С+ „(С))гй, „,(х) = / У„(С)г(С, (1) ! ! где хе(С) = О, уе(С) = 1, г! Е Ес, вытекаюшим из формулы (3), п.
8.1, если под д и у понимать векторы с координатами (д, л) и (21+ х(С), у(С)) соответственно. Полагая в (1) и = 0 и и = 1, получаем д,(х) = 1+ 2С+ (С)) й = х, ! д,(х) = 1+ / (21+ хг(С)) г(С = — — х+ — х, г 1 З 2 2 г(х) = / Уе(С) г(С = х — 1; ! я г (х) = / У !(С) г(С = / Сг гСС = ц (хг — 1) ! ! 200.
Построить по два последовательных приближения (не считая исходного) к решениям следуюпгих уравнений и систем: 85 $8. Существование н единственность решеши б) По аналогии с проделанным вьппе, имеем х„з!(1) = 1+ / у„(т)г(т, ухы(1) = 2+ / х„(т) г(т. а о Полагая здесь и = 0 и и = 1, последовательно находим: х~(!) = 1+ /Ус(т)от = 1+ /2вт = 1+21, У~(1) = 2+ / хс(т)0т = 2+/ от = 2+1, а с о о ! 2 хг(1) = 1+ ~ УДт) г)т = 1+ /(2+ т) дт = 1+ 21+ —, 2' о с у Я = 2 + / х((т) г(т = 2+ / (1 + 2т) Пт =. 2 + ! + 21' + — 1 . 3 о о в) Как и в и. 8.4, данное уравнение второго порядка сведем к системе двух уравнений первого порядка, полагая у = у, у' = з.
Тогда получим з'= 2У вЂ” г', у'=з; у(0) = 1, з(0) =О. Из рекурренгныз формул з ы(х) = /12у (!) — з Я))гд, У ы(х) =- 1+ / зн(!)01, н Е ти а о где зз(1) г— я О, ус(1) = — 1, находим з~(х) = / (2Уо(1) — ззЯ)г(! = 2т, У(х) =! + / гс(М) г(1 = 1, гг(х) = /(2уь Я вЂ” з,'(1)) 01 = / (2 — 4(з) <й = 2х — — х', 3 о а уг(х) = 1 + /г, Я 01 = 1+ / 21 01 = ! + х . М 201.
Указать какой-нибудь сегмент, на котором существует решение с данными начальными условиями: а) У' = + У', У(О) = О; вх в) — = 1+ е*, х(1) = О; Ж У(О) = г. и а) Воспользуемся сначала теоремой существования, изложенной в п.8.1. В данном случае хо = уо = О, У(х, у) = х+ у'. Функция 1 непрерывна в любом прямоугольнике 22 = = )(х, у) Е Ьс: ф ч а, 1у~ < Ь) и удовлетворяет в нем условию Липшица, поскольку производная 0 — — Зуз ограничена числом ЗЬ . Следовательно, на сегменте г-о, г(), где и' = лип (а,;(у !, дг з ь т УУ— М = !пах !2(х, У)! = а + Ь существует единственное решение данной задачи. Найдем число мм>аа 0 = ппп ~а, — т) .
Ясно, что если на каком-то сегменте з существует единственное решение, Ь ~ 'а+Ь то оно супгествует и на кзждом меньшем сегменте, вложенном в 2. Отсюда следует, что желательно най'" как можно больший отРезок 2, т.е. шах пйп а, — т) . Так как фУнкпил (Ыа) = а Ь а+Ь 86 Гл. 1, Диффереиинальиме уравнения первого порядка возрастает прн а > О, а функция у(а) = — г убынает, то шах ппп ( а, — т) достигается при Ь Ь а+Ь 'а+Ь условии, что р(а) = у(а), т. е. Ь а= (1) а+ Ьз' Взяв производную по Ь от правой части (!), найдем, что при Ьз = '-, достигается максимум а, который легко вычислить, подставив значение а = 2Ьз в (1).
Тогда получим 1 2 ! з Ь= з, а= з — — — з/36 066. т/6 ' з/216 3 Таким образом, можно гарантировать существование и единственность решения данной задачи на сегменте -О,бб ( х ( 0,66. Если носпользоваться леммой Бихари (см. п. 8,3), то можно указать значительно больший сегмент существования решения. Действительно, в данном случае у(х) =) (!+у'(1))41= — +) уз(1)41 аг г !у(х)! (~ — +) ~у(1)!'г(1, 0~ (х ~( а, 2 о т.е.
С = Р2-, е(х) = 1, д(у) = уз, Поэтому /41 ! /1 ге()=/ — =-~ — — — ~ и>и >О / 13 21 2 из)~ ф:-2и.г 2 1 иза Сз/ Следовательно, С С(С)+) е(1)41 =, !у(х)! ( для х б [О, т). ) 1/1 — 2Сзх А — 2Сзх ~ ' 2С / з Из уравнения а = — т находим шаха = т/2 ге 1 15 1 2С Заменив в исходном уравнении х на — х (х > 0) и проделав такие же выкладки, получим неравенство (у(х)! ( (х ~ (0), С з/! + 2Стх которое показывает, что решение задачи а) существует и при -т/2 ( х ( О. Таким образом, существование единственного решения задачи а) можно гарантировать на сегменте — 1,15 ( х ~( ~( 1,15. б) Применим теорему Пикара существования и единственности решения. Здесь хе = уе — — 1, у(х, у) = 2у' — х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
