Главная » Просмотр файлов » Антидемидович 5 - ДУ

Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 29

Файл №1113366 Антидемидович 5 - ДУ (Антидемидович) 29 страницаАнтидемидович 5 - ДУ (1113366) страница 292019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

= с)( Наконец, исюночив параметр р из выражений для х и у, окончательно будем иметь: !2(С У вЂ” х) = С (х — Сз) — 12(Сз+ Сгсг), или 12(С У вЂ” х) = С (и+ Сг) +Сз, где Сг и Сз — новые произвольные постоянные. (ь Првиечваае. данное уравнение не содержит явно переменной у, поэтому начать решать его нощно было бы с замены у' = з(х). Предавшем читателю убелитьсв в том, что такой лугь также лрншмит к полученному ответу., ,г в ! р +2рр — — =О. ,г Так как полученное уравнение явно не содержит аргумента у, то производим замену р' = и(р). Имеем д 2.

Уравнения, допускающие иавюкеиае нарядив ! 281. уу" +у~ = Л+ху Ы Замечая, что левую часть уравнения можно записать в виде (уу')' и полыая уу' = х(х), иолучим уравнение 127 тг1+ ху переменные в котором разделяются. Проинтегрировав его, находим; х = С, (х+ гх'+ 1) . уу' = С, (х+ ь'Р+ !), Таким образом, опсуда следует, что уз = С (хз + хъ/хз + ! + !и (х + ъ/хз+ 1)) + Сг. ы 282. 'уух — 2 'у' + уу'+ у' = О.

М Поскольку функция Р(х, у, у, у) = ' уух — 2х у +худ +у хи +и+ х= О, из котоРого следУет, что н = -2 + — хь. Отсюда, и из подстановки У' = Ух, пслУчаем УРавнение х С у' С, +х' у х(С, — хз) где С! — новая постоянная. Проинтегрировав его, окончательно находим С,х у= С! — хз 283. хуу" — ху' — уу'+ У, = О. М Это такхге однородное уравнение. После замены у' = ух(х) получим уравнение ххз хх — х+ =О, з/1 — х' которое можно зависать в виде х — = -У1 — х'+С Интегрируя уравнение х или у х С! — Л вЂ” х ' вследствие тождества х(у(ул — 2х'(гу)'+ х(у(У + (1 у)' = Г' ( г уу™ — 2х'у' + хуу'+ у') однородная относительно переменных у, у', у", то данное дифференциальное уравнение однородное. Следовательно, согласно п.2.3 порядок такого уравнения можно понизить, применив подстановку у' = ух(х).

Тогда получим уравнение х х' — х х +хе+1=0. Это уравнение Эйлера — Рикхати. Неносредственной проверкой можно убедиться, по х =— 1 есть его часпюе решение. Поэтому посредством нодстановки х = — -ь — „приходим к линейному 1 1 уравнению Гл. 2. Двффереяцвальиые ураввевил высшик иорядков 128 окончательно имеем (п)у) = А — аз+ С31п~С3 — ь31 — аз~+С,.

~ 284. хуу'+ худ — зуу' = О. и Полагая в уравнении у' = уз(х), получаем: х(22 4 з') — Зз = О. 2 Решив зто дифференциальное уравнение, имеем х = — 2 —. Далее, интегрируя уравнение х +С3 У3 2хз *+с,' находим: У = С2 ФС3+ х4!. ~ 285. У(ху" +у') = ху' (1 — х). м используя однородность уравнения, полагаем у' = уг(х). тогда получим (хз)'4-(хз)' = О, откуда (хз)' — = -1. (хз)2 ИнтегРиРУЯ, находим ху = х 4 С„откУда з = -(- + С-), илн у х(х+ С3) Интегрируя еще раз, окончательно имеем 3 1 4хуу — (х+1 ы((4хуу — х+у). Очевидно, что такое тождество выполняется лишь при условии 4яг = 2, т.е. при гл = 2 (и при 1 этом а = 2).

Следовательно, данное уравнение обобщенно однородное и, согласно п.2.4, лля ! начала его и1пегрирования пользуемся заменой х = е, у = е 3 и(1). Имеем ет (ур+ и'(1)), ги =е 1( — +и), ег (,2 е — (е 2 (и ьи)) =е 2 (и — — ), 4'У у Подставив значения производных, х и у в исходное уравнение, после некоторых преобраюваний получаем: 4и'и" = 1. Последнее уравнение явно не содержит переменную 1, поэтому посредством замены и' = р(и) понижаем его порядок на единицу: 3йР 4ри — = 1. йи 286. 4хзузуь = хз — У4 м Проверим уравнение на обобщенную однородносп . С этой целью вместо переменных Х, у, у'. у" ПОдСтаВИМ В ВЫрЮКЕНИЕ дпя фуНКцИИ р(Х, у, у', у") = 4Х'узуь — Х'+ у' СООтастетасино (х, 1 у, 1 'у', 1 зу" и, если это возможно, подберем значение лз таким образом, чтобы выполнялось тождество 129 82.

Уравнения, довускшшцве иовиагевве порядка Проинтегрировав последнее уравнение, находим // ! нли р = ш/„7С, — —. 4иг ! 4р + — =С2, и2 Далее, интшрируем уравнение и' = ш)/С, — — т .' / !, 4н ш — )/'4С2и — ! =!+ С, 2С, и 7(и +2 / =1+ Сг, или ./ ь/4С~ нг — ! откуда и = Сг(/+ Сг) + —. 7 2 С/ Окончательно получаем решение уравнения в виде Х = Е, У = е ~с/(1 + Сг) 4- †// .

!н 2 Г / 2 4С~ ! Замена и' = г в последнем уравнении приводит к уравнению с разделяющимися переменными Зг' = г' — Зг, интегрируя которое, находим г — 3/ 3 1п~~ ~=/+Си нли х= =и. 1 — С,е' Интегрирование последнего уравнения приводит к следу/Ощсму рЕЗУльтатУ: 4(е ) ) 3! — 31п)1 — С2е'!+ Сг, если С2 конечное, /' е'(1 — С~ег) ! Сь если С, = оо. Таким образом, общее решение исходного уравнения записывается в виде п-с,*! Зх 1п — * 4- Сгх, если С7 конечное, С,х, если Сг — — ос. в Прнгшчинш. В примерах 286, 287 мы нашли общие решения при х > О. Дхя получения общего решешш прн х < О следует применить гамену х — -ег, у — е гн(г) н нроаеегн аналогичные ныкеадкн.

288. хе(ун 2уугг) = 4х'уу'+ 1. м Проверяя уравнение на обобщенную однородность, получаем уравнения 4-!- 2(т — 1) = 4+ гн+ (т — 2) = 3+ нь+ (т — 1) = О, совместные, эквивалентные одному уравнению 2пг+ 2 = О. Следовательно; уравнение обобщенно однородное. Решаем его для случая, когда х ( О, полагая х = — е', у = е 'и(!). Имеем у' = е н(и — и'), у" = е ' (2и — Зи'+ иа), 2ииа — и' — иг -'г 1 = О. Полаган и' = р(и), получим уравнение 77(Р) г г или и — — р =и — 1.

7(и 2ир — -р — и +1 = О, г/Р 2 2 би 287. — +у' =зхуч+ —. 2 х2 х м Как и в предыдущем примере, проверяем уравнение на обобщенную однородность. Для этого должны быль совместными следующие уравнения опюсительно т; 2нг — 2 = 2(т — 1) = 1 + (т — 2) = т + (гп — 1) — 1, эквиналентные одному уравнению 2нг — 2 = т — 1, имеющему решение т = 1. Следовательно, данное уравнение действительно обобщенно однородное. полагая х = е', у = е и(г), получаем: 2 у =и+и, у~ =е (и ч-ие), Зи 4-Зи — и =О.

1ЗО Гл. 2. Дифференциальные уравяеивв высших ворядявв Это линейное уравнение относигельно р'. Его общее решение имеет вна р' = и'+ 1+ С,и. Тогда и' = х н'+ 1+ С~и. Разделяя переменные и интегрируя, находим: йи сн +ч ГГ ~l-'~с, ~(=м+чс. .*~а,.+ и « =- . =~\ч б преобразования, будем иметь , г 2Сзх у = (Сзх+ — ) — 1.

/ С~'( (1) 2( Кроме того, при замене и' = р(и) мы потеряли решения и = х1. Поэтому к интегралу (1) следует присоединить еще решения ху = х1.м 289. ху" — х'ру' — у' = О. и Это уравнение также обобщенно однородное, поскольку уравнения 1+ (гн — 2) = 2 + ш+ (яз — 1) = т — 1 совместны и гн = -2 — их решение. Однако, решение данного уравнения проще найти, поделив обе его части на х (х и' О).

В результате получим: = уу, или Отсюда следует, что р = — + — х. Интегрируя это уравнение, находим: 2 р х — -агсгй — = — +С„если С, ) О; ,/С;,/С-, 2 1 р —,/:7,', х' — 1п = — +Сз, если С, <О; ъ/-(ч у + ч'-("~ 2 2 х — — = — +Сн если С, =О. и р 2 Понизив порядок данных уравнений, свести нх к уравнениям первого порядка.

з 290. у" -р'ди= И Уравнение не содержит явно функцию р, поэтому произведя подстановку у' = з(х), получим уравнение второго пордлка з з — хзя= Н Это уравнение однородно относительно переменных з, з', х", поэтому паюжив х' = хе(х), будем иметь уравнение первого порядка с+ — =О и х=бчЬ г 1 х 291. р'(р'р'а — 2р" ) = р'.

. < Поскольку независимая переменная явно не входит в уравнение, то произведя замену р' = р(р) „получим уравнение второго порядка (см. п. 2.2): р'(рря - рд) = р'. 131 й 2. Ураваеиия, допускающие понижение пв)ишка Полелнв обе части полученного уравнения на рзуз (ру ~ 0), имеем — =-з, уд — =- — 2+С и р у р у 292. яз <у'уа' — у' ) = 2У'у' — Зхуу' . М Уравнение ошюродное, поэтому замена у' = уз(я) приводит к уравнению второго порядка (см.

п. 2.3): я~(ззз'+ х ) = 2з — Зязз. Так как уравнения 2 -Ь >и + (пз — 1) = 2+ (пз — 2) = и> = 1 + 2н> совместны, то полученное дифференннальное уравнение является обобщенно однородным. Следовательно, уместна замена я = е' (я ) 0), з = е 'в(1), в результате которой приходим к уравнению (см. и.2.4) в' — Звв' — Зв = О. Поскольку последнее уравнение явно не содержит независимой переменной 1, то полагая и' = =. Р(в), получаем уравнения первого порядка йр — — Зи — 3=0 н и =О.м >(н ч» —,-ь — =О, или <1п!у"!) +3<1п$у!) =О.

У У Интегрируя, находим (п<)у !(у! ) =!и!С>(> или у'у = С, (отбрасывая знак модуля, мы не теряем решений, поскольку постоянная С, произвольная). Умножнв обе части последнего уравнения на Ут, снова получаем уравнение, обе части которого являу ' ются полными производными: ,»з>,' Проинтегрировав его, имеем 2 — 2 у +С>у =Сз, нли у =~ Сз — С>у з. Еше раз интегрируя, окончательно находим з з 2 ж †>г Сзу' — С> = х + Сз, или у = С,(х + Сз) + С„ Сз~ где С, — новая постоянная. При делении на у" мы потеряли решение у" = О, т.

е. у = ах+ )3. и 294. 5У'"' — зу"у" = о. м Разделив обе части уравнения на у у", получим — = — > или <5)п!у"! — 31п!у' !) = О, 5У™ Зу" > откуда находим » С,т (у )> »5 мз у = С,у , Решил уравнения, преобраював их к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными. 293. Уу"'+ зу'у" = о. М Поделив обе части уравнения на уу", получаем 132 Гл.

2. ДиЩюреипиалввме уравнения вмеших поряюгов Интегрируя это соотношение, получаем х 3, 3 —, =--(У )-3+С„ Ст 3 3 3 2 2 х ) — з У = ~ — Сз — — —, = х(сз + Сзх) ~з з -',) где С, и С, — новые постоянные. Наконец, дважды интегрируя последнее уравнение, имеем 4 — (Сз + Сзх) 3 + Сзх + Со С2 Присоединим сюда еше решение уравнения У" = О, потерянное при делении: у= С,х'+С,х+С,. м 295. У" = ху'+ у+ 1. и Имеем ух = (ху+ х), откуда следует, что у =ху+х+Сз, или (у+1)'=х(У+1)+С,. Это линейное уравнение первого порядка, и его общее решение имеет вид У+ ! = е 3 1 Сз / е ау 3(х + Сз 296. ху" — у' = *'уу'. м Поделив обе части уравнения на х', имеем Ю =Ю' откуда У У 2 3(У вЂ” = — + С„ияи = хг(х. х г " у+гС, Интегрируя, получаем 3(У х 2у 2С ./У+ 3 2 или 2 у х — агой = — +Сз, если Сз > 0; Сз чгХ7 2 !и ~"::=~~а~ = — + Сз, если Сз < 0; 3/ — Йсз ~у+ ъ' — %3 ~ 2 2 х — — = — +Сз, если С, =О.

у 2 При разделении переменных мы "потеряли" решения уравнения у + 2С3 — — 0 (С, < 0), или у = хчг:2С,. Нетрудно, однако, показать, что они получаются в результате предельного перехода при Сз — тоо из общего решения при С, < О. 3ь. В слеаующих задачах найти решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям. 297. Уу" = 2ху'; у(2) = 2, у'(2) = Озб. м Поскольку уравнение однородное, то полагая у' = ух(х), получим х' = хз(2х — 1). й 2. Уравнения, лоиусваююие ионижеиие иорялва 1ЗЗ Интегрируя, находим у' С Чх- ' у' следует, что Сз — — 6. Интегрируя уравнение (1), получим з(х (х + 2)(3 — х Подставив сюда х = 2 и у = 2, определим С, = ~/8.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,39 Mb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее