Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 29
Текст из файла (страница 29)
= с)( Наконец, исюночив параметр р из выражений для х и у, окончательно будем иметь: !2(С У вЂ” х) = С (х — Сз) — 12(Сз+ Сгсг), или 12(С У вЂ” х) = С (и+ Сг) +Сз, где Сг и Сз — новые произвольные постоянные. (ь Првиечваае. данное уравнение не содержит явно переменной у, поэтому начать решать его нощно было бы с замены у' = з(х). Предавшем читателю убелитьсв в том, что такой лугь также лрншмит к полученному ответу., ,г в ! р +2рр — — =О. ,г Так как полученное уравнение явно не содержит аргумента у, то производим замену р' = и(р). Имеем д 2.
Уравнения, допускающие иавюкеиае нарядив ! 281. уу" +у~ = Л+ху Ы Замечая, что левую часть уравнения можно записать в виде (уу')' и полыая уу' = х(х), иолучим уравнение 127 тг1+ ху переменные в котором разделяются. Проинтегрировав его, находим; х = С, (х+ гх'+ 1) . уу' = С, (х+ ь'Р+ !), Таким образом, опсуда следует, что уз = С (хз + хъ/хз + ! + !и (х + ъ/хз+ 1)) + Сг. ы 282. 'уух — 2 'у' + уу'+ у' = О.
М Поскольку функция Р(х, у, у, у) = ' уух — 2х у +худ +у хи +и+ х= О, из котоРого следУет, что н = -2 + — хь. Отсюда, и из подстановки У' = Ух, пслУчаем УРавнение х С у' С, +х' у х(С, — хз) где С! — новая постоянная. Проинтегрировав его, окончательно находим С,х у= С! — хз 283. хуу" — ху' — уу'+ У, = О. М Это такхге однородное уравнение. После замены у' = ух(х) получим уравнение ххз хх — х+ =О, з/1 — х' которое можно зависать в виде х — = -У1 — х'+С Интегрируя уравнение х или у х С! — Л вЂ” х ' вследствие тождества х(у(ул — 2х'(гу)'+ х(у(У + (1 у)' = Г' ( г уу™ — 2х'у' + хуу'+ у') однородная относительно переменных у, у', у", то данное дифференциальное уравнение однородное. Следовательно, согласно п.2.3 порядок такого уравнения можно понизить, применив подстановку у' = ух(х).
Тогда получим уравнение х х' — х х +хе+1=0. Это уравнение Эйлера — Рикхати. Неносредственной проверкой можно убедиться, по х =— 1 есть его часпюе решение. Поэтому посредством нодстановки х = — -ь — „приходим к линейному 1 1 уравнению Гл. 2. Двффереяцвальиые ураввевил высшик иорядков 128 окончательно имеем (п)у) = А — аз+ С31п~С3 — ь31 — аз~+С,.
~ 284. хуу'+ худ — зуу' = О. и Полагая в уравнении у' = уз(х), получаем: х(22 4 з') — Зз = О. 2 Решив зто дифференциальное уравнение, имеем х = — 2 —. Далее, интегрируя уравнение х +С3 У3 2хз *+с,' находим: У = С2 ФС3+ х4!. ~ 285. У(ху" +у') = ху' (1 — х). м используя однородность уравнения, полагаем у' = уг(х). тогда получим (хз)'4-(хз)' = О, откуда (хз)' — = -1. (хз)2 ИнтегРиРУЯ, находим ху = х 4 С„откУда з = -(- + С-), илн у х(х+ С3) Интегрируя еще раз, окончательно имеем 3 1 4хуу — (х+1 ы((4хуу — х+у). Очевидно, что такое тождество выполняется лишь при условии 4яг = 2, т.е. при гл = 2 (и при 1 этом а = 2).
Следовательно, данное уравнение обобщенно однородное и, согласно п.2.4, лля ! начала его и1пегрирования пользуемся заменой х = е, у = е 3 и(1). Имеем ет (ур+ и'(1)), ги =е 1( — +и), ег (,2 е — (е 2 (и ьи)) =е 2 (и — — ), 4'У у Подставив значения производных, х и у в исходное уравнение, после некоторых преобраюваний получаем: 4и'и" = 1. Последнее уравнение явно не содержит переменную 1, поэтому посредством замены и' = р(и) понижаем его порядок на единицу: 3йР 4ри — = 1. йи 286. 4хзузуь = хз — У4 м Проверим уравнение на обобщенную однородносп . С этой целью вместо переменных Х, у, у'. у" ПОдСтаВИМ В ВЫрЮКЕНИЕ дпя фуНКцИИ р(Х, у, у', у") = 4Х'узуь — Х'+ у' СООтастетасино (х, 1 у, 1 'у', 1 зу" и, если это возможно, подберем значение лз таким образом, чтобы выполнялось тождество 129 82.
Уравнения, довускшшцве иовиагевве порядка Проинтегрировав последнее уравнение, находим // ! нли р = ш/„7С, — —. 4иг ! 4р + — =С2, и2 Далее, интшрируем уравнение и' = ш)/С, — — т .' / !, 4н ш — )/'4С2и — ! =!+ С, 2С, и 7(и +2 / =1+ Сг, или ./ ь/4С~ нг — ! откуда и = Сг(/+ Сг) + —. 7 2 С/ Окончательно получаем решение уравнения в виде Х = Е, У = е ~с/(1 + Сг) 4- †// .
!н 2 Г / 2 4С~ ! Замена и' = г в последнем уравнении приводит к уравнению с разделяющимися переменными Зг' = г' — Зг, интегрируя которое, находим г — 3/ 3 1п~~ ~=/+Си нли х= =и. 1 — С,е' Интегрирование последнего уравнения приводит к следу/Ощсму рЕЗУльтатУ: 4(е ) ) 3! — 31п)1 — С2е'!+ Сг, если С2 конечное, /' е'(1 — С~ег) ! Сь если С, = оо. Таким образом, общее решение исходного уравнения записывается в виде п-с,*! Зх 1п — * 4- Сгх, если С7 конечное, С,х, если Сг — — ос. в Прнгшчинш. В примерах 286, 287 мы нашли общие решения при х > О. Дхя получения общего решешш прн х < О следует применить гамену х — -ег, у — е гн(г) н нроаеегн аналогичные ныкеадкн.
288. хе(ун 2уугг) = 4х'уу'+ 1. м Проверяя уравнение на обобщенную однородность, получаем уравнения 4-!- 2(т — 1) = 4+ гн+ (т — 2) = 3+ нь+ (т — 1) = О, совместные, эквивалентные одному уравнению 2пг+ 2 = О. Следовательно; уравнение обобщенно однородное. Решаем его для случая, когда х ( О, полагая х = — е', у = е 'и(!). Имеем у' = е н(и — и'), у" = е ' (2и — Зи'+ иа), 2ииа — и' — иг -'г 1 = О. Полаган и' = р(и), получим уравнение 77(Р) г г или и — — р =и — 1.
7(и 2ир — -р — и +1 = О, г/Р 2 2 би 287. — +у' =зхуч+ —. 2 х2 х м Как и в предыдущем примере, проверяем уравнение на обобщенную однородность. Для этого должны быль совместными следующие уравнения опюсительно т; 2нг — 2 = 2(т — 1) = 1 + (т — 2) = т + (гп — 1) — 1, эквиналентные одному уравнению 2нг — 2 = т — 1, имеющему решение т = 1. Следовательно, данное уравнение действительно обобщенно однородное. полагая х = е', у = е и(г), получаем: 2 у =и+и, у~ =е (и ч-ие), Зи 4-Зи — и =О.
1ЗО Гл. 2. Дифференциальные уравяеивв высших ворядявв Это линейное уравнение относигельно р'. Его общее решение имеет вна р' = и'+ 1+ С,и. Тогда и' = х н'+ 1+ С~и. Разделяя переменные и интегрируя, находим: йи сн +ч ГГ ~l-'~с, ~(=м+чс. .*~а,.+ и « =- . =~\ч б преобразования, будем иметь , г 2Сзх у = (Сзх+ — ) — 1.
/ С~'( (1) 2( Кроме того, при замене и' = р(и) мы потеряли решения и = х1. Поэтому к интегралу (1) следует присоединить еще решения ху = х1.м 289. ху" — х'ру' — у' = О. и Это уравнение также обобщенно однородное, поскольку уравнения 1+ (гн — 2) = 2 + ш+ (яз — 1) = т — 1 совместны и гн = -2 — их решение. Однако, решение данного уравнения проще найти, поделив обе его части на х (х и' О).
В результате получим: = уу, или Отсюда следует, что р = — + — х. Интегрируя это уравнение, находим: 2 р х — -агсгй — = — +С„если С, ) О; ,/С;,/С-, 2 1 р —,/:7,', х' — 1п = — +Сз, если С, <О; ъ/-(ч у + ч'-("~ 2 2 х — — = — +Сн если С, =О. и р 2 Понизив порядок данных уравнений, свести нх к уравнениям первого порядка.
з 290. у" -р'ди= И Уравнение не содержит явно функцию р, поэтому произведя подстановку у' = з(х), получим уравнение второго пордлка з з — хзя= Н Это уравнение однородно относительно переменных з, з', х", поэтому паюжив х' = хе(х), будем иметь уравнение первого порядка с+ — =О и х=бчЬ г 1 х 291. р'(р'р'а — 2р" ) = р'.
. < Поскольку независимая переменная явно не входит в уравнение, то произведя замену р' = р(р) „получим уравнение второго порядка (см. п. 2.2): р'(рря - рд) = р'. 131 й 2. Ураваеиия, допускающие понижение пв)ишка Полелнв обе части полученного уравнения на рзуз (ру ~ 0), имеем — =-з, уд — =- — 2+С и р у р у 292. яз <у'уа' — у' ) = 2У'у' — Зхуу' . М Уравнение ошюродное, поэтому замена у' = уз(я) приводит к уравнению второго порядка (см.
п. 2.3): я~(ззз'+ х ) = 2з — Зязз. Так как уравнения 2 -Ь >и + (пз — 1) = 2+ (пз — 2) = и> = 1 + 2н> совместны, то полученное дифференннальное уравнение является обобщенно однородным. Следовательно, уместна замена я = е' (я ) 0), з = е 'в(1), в результате которой приходим к уравнению (см. и.2.4) в' — Звв' — Зв = О. Поскольку последнее уравнение явно не содержит независимой переменной 1, то полагая и' = =. Р(в), получаем уравнения первого порядка йр — — Зи — 3=0 н и =О.м >(н ч» —,-ь — =О, или <1п!у"!) +3<1п$у!) =О.
У У Интегрируя, находим (п<)у !(у! ) =!и!С>(> или у'у = С, (отбрасывая знак модуля, мы не теряем решений, поскольку постоянная С, произвольная). Умножнв обе части последнего уравнения на Ут, снова получаем уравнение, обе части которого являу ' ются полными производными: ,»з>,' Проинтегрировав его, имеем 2 — 2 у +С>у =Сз, нли у =~ Сз — С>у з. Еше раз интегрируя, окончательно находим з з 2 ж †>г Сзу' — С> = х + Сз, или у = С,(х + Сз) + С„ Сз~ где С, — новая постоянная. При делении на у" мы потеряли решение у" = О, т.
е. у = ах+ )3. и 294. 5У'"' — зу"у" = о. м Разделив обе части уравнения на у у", получим — = — > или <5)п!у"! — 31п!у' !) = О, 5У™ Зу" > откуда находим » С,т (у )> »5 мз у = С,у , Решил уравнения, преобраював их к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными. 293. Уу"'+ зу'у" = о. М Поделив обе части уравнения на уу", получаем 132 Гл.
2. ДиЩюреипиалввме уравнения вмеших поряюгов Интегрируя это соотношение, получаем х 3, 3 —, =--(У )-3+С„ Ст 3 3 3 2 2 х ) — з У = ~ — Сз — — —, = х(сз + Сзх) ~з з -',) где С, и С, — новые постоянные. Наконец, дважды интегрируя последнее уравнение, имеем 4 — (Сз + Сзх) 3 + Сзх + Со С2 Присоединим сюда еше решение уравнения У" = О, потерянное при делении: у= С,х'+С,х+С,. м 295. У" = ху'+ у+ 1. и Имеем ух = (ху+ х), откуда следует, что у =ху+х+Сз, или (у+1)'=х(У+1)+С,. Это линейное уравнение первого порядка, и его общее решение имеет вид У+ ! = е 3 1 Сз / е ау 3(х + Сз 296. ху" — у' = *'уу'. м Поделив обе части уравнения на х', имеем Ю =Ю' откуда У У 2 3(У вЂ” = — + С„ияи = хг(х. х г " у+гС, Интегрируя, получаем 3(У х 2у 2С ./У+ 3 2 или 2 у х — агой = — +Сз, если Сз > 0; Сз чгХ7 2 !и ~"::=~~а~ = — + Сз, если Сз < 0; 3/ — Йсз ~у+ ъ' — %3 ~ 2 2 х — — = — +Сз, если С, =О.
у 2 При разделении переменных мы "потеряли" решения уравнения у + 2С3 — — 0 (С, < 0), или у = хчг:2С,. Нетрудно, однако, показать, что они получаются в результате предельного перехода при Сз — тоо из общего решения при С, < О. 3ь. В слеаующих задачах найти решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям. 297. Уу" = 2ху'; у(2) = 2, у'(2) = Озб. м Поскольку уравнение однородное, то полагая у' = ух(х), получим х' = хз(2х — 1). й 2. Уравнения, лоиусваююие ионижеиие иорялва 1ЗЗ Интегрируя, находим у' С Чх- ' у' следует, что Сз — — 6. Интегрируя уравнение (1), получим з(х (х + 2)(3 — х Подставив сюда х = 2 и у = 2, определим С, = ~/8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
