Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Тогда из (2) следует, что у = С>е +е *(С>созв>За+С>яп>443х), где С,, С> — новые действительные произвольные постоянные. Мы получили общее решение в действительной форме. М 307. угт+4у = О. м Корни характеристического уравнения Л +4 = О находим, пользуясь известной формулой, которая, применительно к рассматриваемому случаю, имеет вид Лз = чз -4 4= ч 2е в, й = О, 3. Отсюда следует, что Л, = 1+ з, Л> = 1 — з, Л> = -1+ 4, Лз — — -! — в. Тогда линейная комбинация у = (С>е *+ С>е ) е + (С>е + Сзе ~~) е в (1) является общим решением рассматриваемою дифференциального уравнения.
Так как козффи циенты дифференциальною уравнения действительны, то решение (1) можно представить в действительной форме с помощью формул Эйлера еы" = сверх вял р и положив С> — — С> + >С>, С> = С, — >С>, С> —— С>+ >С4, Сз —— С> — зС4, где С>, С>, С>, С4 — действительные произвольные постоянные. Тогла получим у = (С~ совх+ С>япх)е +(С>созх+ С4япх)е з, где С,, С>, С>, С4 — новые действительные произвольные постоянные.
!ь 308. ум+64у = О. < Находим корни характеристического уравнения Лз + 64 = О; язв>вы> Лз= в/-64=2е 4, у=0,5. После подстановки соответствующих значений й в формулу для Л„имеем Л, = вг'3+ з, Л> — — 2С Л> —— -ь>3+з, Л, = — т>З->, Л, = — 24, Лз — — ВГЗ вЂ” з. Следовательно, общее решение в комплексной форме представится в виде у = С> '*+ С,е >'*+ (С>е + С,е '*) е + (С>е'*+ Сзе '*) е ~* Положив здесь С> = С> + (С>, С> -— — С>, С> =- С> + >С4, Сз —— С>, С> -— — С> + >С4, Сз = С, и воспользовавшись формулами Эйлера, получаем общее решение в действительной форме у = С, соз 2х + С, зш 2х + (С> сов х + С„яп х)е " + (Св соз х + Сз яп х)е где Св (! = 1, 6) — новые действительные произвольные постоянные. м 309.
у" — 2у'+у=о. м Из характеристического уравнения Л' — 2Л + ! = О находим его корни Л> — — Л> = 1. Так как кратность корня равна двум, то согласно п. 3. ! частные решения данною дифференциального уравнения имеют вид: у> —— е, у> — — хе . Следовательно, у =(С +С. )е — общее решение. М 310. у>~+ 2уь+у = О. м Решив характеристическое уравнение Л'+ 2Л'+ ! ш (Л +!) =- О, получим Л, = Л> = С 'Л, =' Л, = -з. Согласно п. 3.1 записываем частные решения Вз и -вв -м ув =е, у>=хе, у,=е > у4 — хе а затем и общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения: у= Се'*+С>е з*+х(С>ез" + С е 4*).
й 3. Линейные дифференциальные уравнения с паспвизимма яозффвциеитами 139 Если положить Сз — — Сз + зС2, Сз — — Сз, С, = Сз + зС4, С4 — — Сз, то придем к действительной форме общею решения у Сз соз х + Сз яп х + х(Сз соз х + С4 яп х) где С; (3 = 1, 4) — новые действительные произвольные поатоянные. М 311. уз" + 8уи+ 24у" + 32у'+ 16у = О.
< Характеристическое уравнение Л + 8Л' + 24Л + 32Л + 16 = (Л + 2)4 = 0 имеет корень Л = -2 кратности 1 = 4. Согласно и. 3.1, этому корню соответствуют четыре частных решения -24 -24 2 -24 3 -2* у,=е, уз=хе, уз — хе, у4 — хе Следовательно, У (С +С х+С х +С4х ) — общее решение. и ЗИ. у"' — 5у~+4у'" = 0; у(0) = у'(0) = у"(0) =ух(0) = у'"(0) = О, у~(0) = 2. и Составив характеристическое уравнение Л вЂ” 5Л'+4Л = 0 и решив его, получим Л, = Л, = = Лз — — Л4 — — О, Л, = 1, Лз =- 4. Следовательно, общее решение представится в виде: у = Сз + Сзх+Сзх +С4х'+С,с*+ Соез*. Длв определения посюннных С, (3' = 1, 6), соответствующих искомому чаю ному решению, следу- ет последовательно продифференцировать пять раз общее решение и воспользоваться начальными условиями.
Тогда получим систему уравнений относительно указанных постоянных: С, +Сз+Сз — — О, 6С,+С,+64С4 — — О, Сз+ Сз+ 4С4 = О, Сз + 256С4 = О, 2С3+С,+16С4=0, С,+1024С4= 2. Отслхза находим С, = — Т, Сз = 384, Сз — — Т2)1, С, = 32, Сз — — Тб, С4 = Т2. Таким образом, 85 21 5 2 1 3 2 4 1 у= — + — х+ — х + — х — -е*+ — е 128 32 16 12 3 384 — искомое частное решение.
м 313. ум+ зузт = о; у(о) = 1 у'(о) = уо(о) = у'4(о) = у"(о) = д'(о) = о. и Из харакзериспзческого уравнения Л'+ЗЛ = 0 находим сто корни Лз = Л, = Л, = Л4 = О, Л, = зч23, Ло — — -ззз'3. Согласно и. 3.1, записываем общее решение данного дифференциального уравнения у = С, + Сзх + Сзх + Сз*'+ Сз яп 3/ Зх + Со соо Ях. Аналогично проделанному в предылушем примере составляем систему уравнений относительно постоянных Сз (3 = 1, 6) и решаем ее. Тогда получим: С, = 1, Сз = 0 (з = 2, 6). Следовательно, частное решение имеет вилз у=1.
М Найти общие решения неоднородных уравнений, а также частные решения там, где указаны начальные условия. 314. у"-2у'-Зу = е"; у(О) =1, у'(О) = О. и Сначала находим общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному, т.е. уравнения у" — 2у' — Зу = О. Так как корни его характеристичеакого уравнения Л' — 2Л вЂ” 3 = 0 есть Лз — — -1, Лз = 3 „то укаэанное общее решение запишется в виде у = Сзе™ + Сзез*. Поскольку правая часть уравнения у(х) = е и число 7 = 4 ие совпадает ни с змиям из корней характеристического уравнения, то в соответствии с п.3.2 частное решение данного неолнорцлного уравнения ищем в виде: у = Яо(х)е щ аое, (1) Гл.
2. Дифференциальные ураввеиия высшвх порядков где ао — пока что неизвестная постоянная. Для определения ао подсшвим (1) в исходное дифференциальное уравнение. Тогда получим тождество 5аое = е 4» о» из которого находим ао = 5. Следовательно, у = Те и общее решение неоднородного уравне- 1 ! и ния запишется в виде 1 у = С!е *+С»ем+ — е~. 5 Подставив в общее решение, а также в производную от него, вместо х, у, у' значения О, 1, О соответственно, получим систему уравнений относительно Сн Сз.' 1 4 С!+С!-г — =1, -С~+ЗСт+ — =О. 5 5 Решив эту систему и подставив значения Си Сз в общее решение, найдем искомое частное: 4, 1 у= — е *+ — е 5 5 315. у" — у = 2е' — х~.
< Легко находим общее решение соответствующего однородного уравнения у = С,е' + С,е Так как правая часть данного дифференциального уравнения есть сумма функций Д + Д, имеющих вид Р (х)от*, то, согласно п.3.2, частное решение также ищем в виде суммы частных решений следующих неоднородных уравнений: у" — у.= 2е*, у" — у = -х~. (2) В силу того, что в первом уравнении Т = 1, а во втором Т = О, согласно формуле (4), п.3.2, частные решения этих уравнений ищем соотвезственно в виде: у~ = лохе', уз = Ьох + Ь! х+ Ьм (3) где ао, Ьо, Ьн Ьз — пока что неизвестные коэффициенты. Для их определения подсшвим (3) в (2).
Тогда получим тождества »» 2 2 2аое ш 2е, 26о — Ьох — Ь! х — Ьз ш -х, из которых, приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, находим: 2Ьо — Ьз — — О или 6з — — 2. -6, =О, во=1, Ьо — — 1, Следовательно, частное решение исходною неоднородного уравнения будет у = у~ + уз — — хе* + а' + 2. Наконец, принимая во внимание (1), записываем и общее решение этого уравнения: у = С, е*+ Сте * + хе* + х + 2. ° . 316. у" — Зу'+ 2у = з(пх. м Сначала запишем общее решение соответствующего однородного уравнения: у = С,е* + Сте Далее, представляя правую часть исходного уравнения в виде -1» ипх= — е — —,е ', 2» 2» замечаем, что Ъ = о, Тт = -»2 Поскольку у Ф Л, то, согласно п. 3.2, частное решение лифференциального уравнения ищем в виде: у»»у~+В~ $3.
Линейные диффереинввяьные уравпеняя с посппшпьеми коэффнцвевтамя 141 где у| = аее'*, ут = Ь,е '*. Подставляя функцию у = аее!*+ Ьее в исходное уравнение н приравнивая коэффициенты прн е!* и е '*, получаем 3 т 3 т не= — — —, Ье=ае= — + —. 20 20' 20 20 Таким образом, частное решение запишется в анде 3 1 у =- аее'*+ нее '* = (ае+ар)созх+ г(ае — ае)мпх = — соях+ — япх, !О 1О а общее — в виде 3 1 у = С!с*+ С,е *+ — соля+ — я!пх.
!ь 10 1О Примечание. Если коэффициенты левой части уравнения действнтелынл, лего прелая часть имеет лид ет'(Р (х) соэ()х -Р ()л(х) ил йх), (1) то частное решение неоднородного уравнения можнО искать в виде У = х' (г)р ~г(х) соэух+ фр! !(х) мп))х) ет*, (2) где л = О, если у + )Я не является корнем хлрлктернстнческого уравнения, и л равно кратности этого корня е противном случае, р = шах(ш, н) . тлк, л РассмотРенном пРимеРе У = о, Рм(х) н О, !2ь(х) м 1, Р = о, !3 = 1, л~ й г + (зг, лт ~ г 4 Ре Слеаамтельно, л = О н частное решение имеет лнд у = аесшх 4 Ьеюлх, где ае, Ье — подлежашне определению «оэффицненты. Подставил у в исхолное дифференциальное уравнение, находим ае = ТО, 3 ! Ье = )б. 317.
у" +у = 4з!па. < Для нахождения частного решения данного неолнородного уравнения воспользуемся примечанием к примеру 316. В нашем случае Т = О, Р (х) = О, !с„(х) = 4, Д = 1, р = О, Л, = г = Т + гу!. Поэтому л = 1 н частное решение, согласно формуле (2) предыдущего примера, представятся в виде у = х(ар соя х + Ье яш х). (3) Подставив (3) в исходное дифференциальное уравнение и приравняв коэффициенты прн функциях пп х, соя х, находим ае = — 2, Ье = О. Наконец, приннман во внимание общее решение соответствующего однородного уравнения, записываем общее решение неоднородного уравнения: у = С~ юпх+ Сзсозх — 2хсоях. ~ Для каждою из данных уравнений написать его частное решение с неопределенными коэф- фициемимн.
318. у" — 2у'+ 2у = е*+ хвоях. М Находим корни харакгернстического уравнения; Л, = ! + г, Лт = 1 — т. Далее, поскольку правая часть рассматриваемого уравнения есть сумма двух функций, то частное решение у ищем в виде суммы частных решений у~ и ут соответствующих уравнений: ул — 2у'+ 2у = е*, ул — 2у'+ 2у = хсоях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
