Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Полученное противоречие и доказывает предложенное уаерждение. М 363. Могут ли графики лвух решений уравнения у'+е(х)у = О, где е — не- ! прерывная функция, располагаться так, ! ! как на рнс. 28, а)? так„как на рис. 28, б)? Уг Уг < В случае а), очевидно, выполня- Уг ются равенства 1 ! Уг(хо) = Уг(хо)! Уг(хо) = Уг(хо) ! ! Так как задача Коши О ха я О ( у" = -!?(х)у У(хо) = Уо, У'(хо) = Уа Рво.
2а в силу непрерывности функции !? имеет единственное решение, то у,(х) ш уг(х), что противоречит рис. 28, а). Следоватедьно, такое расположение графиков решений у,(х) и уг(х) невозможно. 162 Гл. 2. Дифферевцвальвые урамаеввя выевтвк пазрядков В случае б), исходя нз рисунка, можем написать: уз(х) = -Я(х)уз(х) < О, уа(х) = — у(х)уз(х) > О зух Е (ха, х,), откуда следует, что 1((х) < О и д(х) > О згх е (ха, х,) одновременно. значит, и в этом случае такое расположение графиков решений у,(х) и уз(х) невозможно.
М 369. Доказать, что в случае е(х) > О для любого решения уравнения уа+ у(х)у = О отношез ние а- убывает при возрастании х на интервале, где у(а) за О. у М Вводя в рассмотрение новую функцию и по формуле и(х) = У-, получаем дифференцну' аланов уравнение ц (х) = -е(х) — вз(х), из которого, вследствие условия у(х) > О, следует, по ц'(х) < О, т.е. функция ц = ~ убывает у на интервале, где у;а О. м 370. Доказать, что в случае д(х) < О все решения уравнения у" ь у(х)у = О с положительными начальными условиями у(ха) > О, у'(ха) > О остмозся положительными при всех х > ха.
М Дважды интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем: у(х) = у(ха) + у'(х,)(х — ха) + / (х — а)( — е(а))у(в) т(а. «а В силу положительности у(ха) и непрерывности функции у, при досшточно малом х > ха правая часть уравнения (1) полохапельная. Покюкем, что она останется положнтельттой при увеличении х > ха. Предположим, что прн некотором хз > ха функция у все же обратится в нуль (первый нуль справа от точки ха).
Тогда из (1) получим равенство у(хз) = О = у(ха) + у (ха)(хз ха) + /(хз — а)(-д(а))у(а) т(а. аа (2) Поскольку у(а) > О при ха < в < х„то (х, — а)( — е(в))у(а) > О зта Е (ха, х,). Следователь- но, выражение в правой части равенства (2) строго положительно. Полученное противоречие и доказывает, что ах > ха у(х) > О, м г(г — 1) + г = О, откуда находим г, = О, гз —— О. Следовательно, частными решениями будут уз = х = 1, у, а = )и |а(, а общим решением— у = Сз+Сз)пф.
м 372. (х+ 1)'у"' — З(х+ 1)зуа+ 4(х+ 1)у' -4У = О. м Это уравнение Эйлера. Епз частные решения ишем в виде у = (х+ 1) (х > -1). Подставляя (1) в уравнение, получаем г,=гз=1, гз=4- Поэтому частными решениями будут уз = х+ 1, у, = (х + 1) 1п(х + 1), уз = (х + 1)а, а общим решением— У = Сз(х + 1) + Сз(х + 1) йз(х + 1) + Сз(х .1- 1) ° М Решить следуюШие уравнения. 371. хуа + у' = О м Так как это уравнение Эйлера, то частное решение ишем в виде у = х', где г = сонат. Тогда для г получаем уравнение $4.
Лввейиме лифбмреициальвме ураавеввя с неремеиимми козффяциевтамв 163 М Положим С = шсгу х. Тогда фу 2(у 2 Йу 4 4У 2 2 Н 24У 2 2 2 2 4У . 4У вЂ” = — соз С, — = — ~ — соз С~ =с2и С вЂ” ~ — соз С~ =соя С соз С вЂ” — ип2С— 4х ~ 41 ! 41 ~ 41 у' ') 412 н уравнение примет вид С2 —.! у=О. 412 решая его, получаем СС Сзх у = С2 созС+Сз2!пС = + й!+хг 22!+хт 374. х'у" + 2Х'у'+ у = О. М Положим С = р(х) и подберем функцию р так, чтобы после замены отсутспювал член с первой производной. Тогда получим 4У 4У,С С 4У~ 4У 2 42У вЂ” = — х'(х), — = — ! и (х) — 1 = х"(х) — + 12' (х) —, 4х 41 ' 4Х2 2(х ~ 41) 41 412' (1) В СИЛУ ПсетаВЛЕННОГО уСЛОаня, ИМЕЕМ Хре+ 2р' = О, ОтКуда С = р(Х) = -~ + Сз.
УраВНЕКИЕ (1) инимает вид С,'у" + у = 0 и легко решается. Окончательно можем написать, что 1, 1 у = Асоз — +Вз!и —. В» х х Представить в канонической форме следующие уравнения второго порядка. 375. (х'+ !)у" + 5ху'+4У = О. и Согласно п.4.7, производим замену 1 Г 5Мх~ з(х) У=акр~ -/ 2 )' (*)=Т. 2 Х +1 (Х2+!) ° В результате получим уравнение 4 — + 7(х)з х О, Ыхз где у(х) = — 2 — -г. м *'+ 4 4(х +1) 376. (1 - х')у"-2ХУ'+ в(я+ 1)у = О.
м пшгберем функцшо в так, чтобы после замены у = в(х)з(х) дифференциальное уравнение относительно функции з не содержало производную з'. Имеем в(1 — х')з' +(2й(1 — х ) — 2хв)з + ((1 — х')в" -2хв'+ в(п+ 1)в)л = О. (1) В соответствии с поставленной целью, полюзюм (1 — х')в' — хв = О, откуда в = ф1-а~! Подставив полученное значение в(х) в дифференциальное уравнение (1), после упрощений будем иметь окончательно з + з = О. М (1 — х2)2 Гл. 2.
Дяф!(мреяциальяые уравнения высшик порядков Следующие уравнения привести к самосопряженной форме. 377. ху" — (гх+ 1)у'+ гу = О. и Сравнивая коэффициенты данного уравнения с коэффициентами самосопряженного уравнения <Р~ — (р(х) — )+с(х)у =р(х) — +р'(х) — + с(х)у = О, !(х !(х !(хз !(х получаем соотношения р'(х) 2х + 1 с(х) 2 — — — (х Ф 0). р(х) х ' р(т) х е -2» 2е и Из первого соотношения находим р(х) =, а из второго — д(х) = — в-г-. е х Таким образом, при х и' 0 данное уравнение приводится к самосопряженной форме 378. х(х' + 6)у" — 4(х' + 3)у'+ бху = О.
М По аналогии с проделанным в предыдущем примере, имеем р'(х) 4(х + 3) о(х) 6 р(х) х(хз + 6)' р(х) хз + б' откуда 1 6 р(х) = хз(аз+6) хг(.в+6)з' о(х) = Следовательно, при х Ф 0 данное уравнение представимо в самосопряженной форме г( ~ ! !(у1 бу — + =О.м !(х (хз(хз+6) !(х/ хз(хз+ б)з 379. Привести к линейному уравнение ху' — бу — у' — х' = О.
° а Согласно замене (13), п.4.8, можем написать хи' у = — — (и ~ 0). и Тогда !з -(и' + хив)и -1- хи' у = из и данное уравнение преобразуется к виду хив — 4й+хи = О. м 380. Пусть у и в — решения уравнений у" + о(х)у = 0 и зв + ()(х)з = О с совпадающими начальными условиями у(хв) = в(хв), у'(хв) = в'(хв), и на интервале (хм х,) выполняются неравенства ()(х) > о(х), у(х) > О, в(х) > О. доказать, что на этом интервале отношение в у убывает. И Умножая первое уравнение на в, а второе — на у и затем почленно вычитая их, получаем ( У У )= (Я 0)У Интегрируя полученное соотношение в пределах от хз до х Е (хв, х,) и принимая во внимание начальные условия, будем иметь Ф ! г! з у — у в = — 1 ((3(з) — д(з)) у(в)в(в) г(в, или ( — ) = — — 1 (Ц(з) — д(з)) у(з)з(з) г(в. вв Так как У(з)в(з) > О, Гг(з) — д(з) > О, то Я) ( 0 пРи х > хв.
Следовательно, фтнгцшЯ у убывающая. М й 4. Линейные дифференциальные ураввешщ е веремеввмми коэфбащвевтамв 165 381. Заменой независимого переменного 1 = (л(х) привести уравнение — х 4'у у =о йхз (Р(х))л 4'у йу к виду — + Ь(1) — х у = О, а затем избавиться от первой производной заменой у = а(1)и Жз 41 (лрвебразовавие Лиувилля). ° а Имеем 4У 4У 4 У 4 ( ау'~ йу з 4зу йх 41 йхз йх г, 41/ 41 — = (в (х) —, — = — ~р (х) — 1! = хв(х) — + р' (х) —, 4!г ' 12 12 —, =)в (х) — +(в (х) — х = О. 4хз (Р(х))4 4П 41 (Р(х))" Следовательно, должно быль Ь(!) =, = — — ~ —,), рл(х) 4х (,р(т)) ' Тогда 1 Г йх 4 2 р'(х) =,, 1=У(х) =, +С, Ь(1) =- — (р (х)). Ф'(*)' ) Ф'(х) Теперь подберем функцию а так, чтобы после замены у = а(1)и в полученном уравнении отсутствовал член с первой производной.
Произведя указанную подстановку, имеем ау г '1 У вЂ” = а (()и+ а(1)и, — = а и + 2а и -!- аи, 41 ' 4(г аив + (2а' + аЬ)и' + (ав + а Ь х а) и = О. (1) Следовательно, мы должны положить 2а'+ аЬ = О, откуда находим 1 а = Секр ~ — — / Ь(1) Ф) . Поскольку 41 = Д-,, Ь(1) = -„— ",(т)'(х)), то (2) принимает вид а = Сехр ( — — ) — — (р (х)) ! = Сехр ~ — ) ) = Ср(х) (у)(х) > 0). 2) йх Р'(*)) = Полагая С = 1 и вычисляя требуемые производные, приводим уравнение (!) к виду (2) г и + 1) — х1 и=О, у=у)и.!ь ! з4Ф 4х (3) '(е) = созе ь О Я, из(е) = з(п(+ О (1) В следующих задачах исследовать асимптотическое поведение при х — +со решений данных уравнений, пользуясь преобразованием Лиувилля и утверждениями п. 4.10. Звг. у +х У=О. и Принимая во внимание решение предьиущего примера, имеем 1 и(1) р(х) = — (хзе0), у= —, х х ' — + ~1+ — ) и=О, С=)' — =)'х'йх= — (С=О).
4(г (, хв) ' ) фз(х) ш,/ З Осюда х = зУЗ( и дифференциальное уравнение для и(1) примет вна: йзи У 2 ) и(!) — +(1+ — )и=О, у= —, 4(з ~ у(з ) ' з',ГЗ( (1) Далее, поскольку в обозначениях п.4.10 у(1) = йт, то, согласно этому пункту, уравнение (1) имеет решения Гл. 2. Даффереацвальвьзе урааиенвх аысапш нарядное 16б Следовательно, обшее решение уравнения (1) будет и = С, сзмй+ Сз и!п(+О(Т), 1 — +со. 1х Переходя в этом решении от и и ! к у и х, можем написать: з з) у = — Сз соз — + Сз яп — + О ~-т~, х — +со. и х~г 3 у =и(1)Я, — +(1 — — )и=О, 1=) — =) — =2,УХ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
