А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 23
Текст из файла (страница 23)
. , AN ∈ KN . Тогда:F (A1 , . . . , Ak−1 , Am , Ak+1 , . . . , Am−1 , Ak , Am+1 , . . . , AN ) = −F (A1 , . . . , AN ).2. Пусть: σ ∈ SN , A1 , . . . , AN ∈ KN . Тогда:F (Aσ(1) , . . . , Aσ(N ) ) = sgn(σ)F (A1 , . . . , AN ).3. Пусть σ ∈ SN . Тогда:F (Iσ(1) , . . . , Iσ(N ) ) = sgn(σ).4. Пусть A ∈ KN ×N . Тогда:F (A) = F (Ik1 , . . . , IkN )Ak11 · · · AkNN .5. Пусть A ∈ KN ×N . Тогда:F (A) =Xσ(1)sgn(σ)A1σ∈SNσ(N )· · · AN.Доказательство.1.
Очевидно:F (A1 , . . . , Ak−1 , Ak + Am , Ak+1 , . . . , Am−1 , Ak + Am , Am+1 , . . . , AN ) = 0,F (A1 , . . . , Ak−1 , Ak , Ak+1 , . . . , Am−1 , Ak , Am+1 , . . . , AN ) ++ F (A1 , . . . , Ak−1 , Ak , Ak+1 , . . . , Am−1 , Am , Am+1 , . . . , AN ) ++ F (A1 , . . . , Ak−1 , Am , Ak+1 , . . . , Am−1 , Ak , Am+1 , . . . , AN ) ++ F (A1 , . . .
, Ak−1 , Am , Ak+1 , . . . , Am−1 , Am , Am+1 , . . . , AN ) = 0,F (A1 , . . . , AN ) + F (A1 , . . . , Ak−1 , Am , Ak+1 , . . . , Am−1 , Ak , Am+1 , . . . , AN ) = 0,F (A1 , . . . , Ak−1 , Am , Ak+1 , . . . , Am−1 , Ak , Am+1 , . . . , AN ) = −F (A1 , . . . , AN ).2. Пусть N > 2.
Тогда существует число r ∈ N, существуют перестановки σ1 , . . . , σr ∈SN , удовлетворяющие условиям: σ1 , . . . , σr — элементарные перестановки, σ = σr · · · σ1 .Следовательно:F (Aσ(1) , . . . , Aσ(N ) ) = F (A(σr ···σ1 )(1) , . . . , A(σr ···σ1 )(N ) ) = (−1)r F (A1 , . . . , AN ) == sgn(σ)F (A1 , . . . , AN ).Пусть N = 1. Тогда σ = e. Следовательно:F (Aσ(1) ) = F (Ae(1) ) = F (A1 ) = sgn(e)F (A1 ) = sgn(σ)F (A1 ).3.
Очевидно:F (Iσ(1) , . . . , Iσ(N ) ) = sgn(σ)F (I1 , . . . , IN ) = sgn(σ)F (I) = sgn(σ).1029. Определитель матрицы4. Очевидно:F (A) = F (A1 , . . . , AN ) = F (Ik1 Ak11 , . . . , IkN AkNN ) = F (Ik1 , . . . , IkN )Ak11 · · · AkNN .5. Очевидно:F (A) = F (Ik1 , . . . , IkN )Ak11 · · · AkNN ==XXk1 ,...,kN =1,N ,k1 , . . . , kN — различные числаσ(1)F (Iσ(1) , .
. . , Iσ(N ) )A1σ∈SNσ(N )· · · AN=XF (Ik1 , . . . , IkN )Ak11 · · · AkNN =σ(1)sgn(σ)A1σ∈SNσ(N )· · · AN.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N ∈ N; F1 , F2 — определители в пространствеKN ×N . Тогда F1 = F2 .Доказательство. Очевидно, F1 , F2 : KN ×N =⇒ K. Пусть A ∈ KN ×N .
Тогда:Xσ(1)σ(N )sgn(σ)A1 · · · AN = F2 (A).F1 (A) =σ∈SNСледовательно, F1 = F2 .Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N ∈ N; F (A) =Pσ∈SNKN ×N . Тогда F — определитель в пространстве KN ×N .σ(1)sgn(σ)A1σ(N )· · · ANпри A ∈Доказательство. Очевидно, F : KN ×N =⇒ K.1. Пусть: k = 1, N , X, Y , A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN ∈ KN . Тогда:F (A1 , . . . , Ak−1 , X + Y, Ak+1 , . . . , AN ) ==Xσ(1)sgn(σ)A1σ∈SN=Xσ(k−1)· · · Ak−1σ(1)· · · Ak−1σ(1)· · · Ak−1sgn(σ)A1σ∈SN+Xsgn(σ)A1σ∈SNσ(k+1)(X + Y )σ(k) Ak+1σ(k−1)σ(N )+σ(N )=σ(k+1)· · · ANσ(k+1)· · · ANX σ(k) Ak+1σ(k−1)σ(N )· · · ANY σ(k) Ak+1== F (A1 , . .
. , Ak−1 , X, Ak+1 , . . . , AN ) + F (A1 , . . . , Ak−1 , Y, Ak+1 , . . . , AN ).2. Пусть: k = 1, N , λ ∈ K, A1 , . . . , AN ∈ KN . Тогда:F (A1 , . . . , Ak−1 , λAk , Ak+1 , . . . , AN ) ==Xσ(1)sgn(σ)A1σ∈SN=λXσ∈SNσ(k−1)· · · Ak−1σ(1)sgn(σ)A1σ(k+1)(λAk )σ(k) Ak+1σ(N )· · · ANσ(N )· · · AN== λF (A1 , . . . , AN ).3. Пусть: k, m = 1, N , k < m, X, A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , Am−1 , Am+1 , . . . , AN ∈ KN .Обозначим: σ0 (k) = m, σ0 (m) = k, σ0 (i) = i при: i = 1, N , i 6= k, i 6= m.
Тогда: σ0 ∈ SN ,σ0 — простая перестановка. Обозначим:SN,1 = σ : σ ∈ SN ∧ σ(k) < σ(m) ,9.3. Основные свойства определителя103SN,2 = σ : σ ∈ SN ∧ σ(k) > σ(m) .Тогда: SN,1 ∪ SN,2 = SN , SN,1 ∩ SN,2 = ∅, SN,1 , SN,2 6= ∅. Следовательно:F (A1 , . . . , Ak−1 , X, Ak+1 , . .
. , Am−1 , X, Am+1 , . . . , AN ) ==Xσ(1)sgn(σ)A1σ∈SN=Xσ(1)· · · Ak−1σ(1)· · · Ak−1sgn(σ)A1σ∈SN,1+Xsgn(σ)A1Xsgn(σ)A1σ∈SN,2=σ(k−1)· · · Ak−1σ(k+1)X σ(k) Ak+1σ(k−1)X σ(k) Ak+1σ(k−1)X σ(k) Ak+1σ(k+1)· · · Am−1σ(k+1)· · · Am−1σ(1)+σ(k−1)· · · Ak−1Xσ(k+1)X σ(k) Ak+1(σ̃σ0 )(1)sgn(σ̃σ0 )A1σ̃∈SN,1=σ∈SN,1−Xσ̃∈SN,1σ(m+1)X σ(m) Am+1σ(m−1)X σ(m) Am+1σ(m−1)X σ(m) Am+1σ(N )· · · ANσ(m−1)· · · Am−1(σ̃σ )(k−1)· · · Ak−10σ̃(1)σ̃(k−1)· · · Ak−1σ̃(k+1)X σ̃(m) Ak+1σ̃(m−1)· · · Am−1σ(N )=σ(N )+σ(N )−σ(m+1)· · · ANσ(m+1)· · · ANX (σ̃σ0 )(k) ×(σ̃σ )(k+1)(σ̃σ )(m−1) (σ̃σ0 )(m) (σ̃σ0 )(m+1)(σ̃σ )(N )× Ak+10· · · Am−10XAm+1· · · AN 0σ(1)σ(k−1)σ(k+1)σ(m−1)σ(m+1)sgn(σ)A1 · · · Ak−1 X σ(k) Ak+1 · · · Am−1 X σ(m) Am+1sgn(σ̃)A1+· · · ANX σ(m) Am+1=σ(N )σ(m+1)= [замена: σ̃ = σσ0 , σ ∈ SN,2 ; σ = σ̃σ0 , σ̃ ∈ SN,1 ] =σ∈SN,1Xσ(m−1)· · · Am−1σ̃(m+1)X σ̃(k) Am+1=· · · ANσ̃(N )· · · AN= 0.4.
Очевидно:XXσ(1)σ(N )e(1)e(N )σ(1)σ(N )sgn(σ)δ1 · · · δN = sgn(e)δ1 · · · δN = 1.sgn(σ)I1 · · · IN =F (I) =σ∈SNσ∈SNОпределение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N ∈ N. Обозначим через detN определитель в пространстве KN ×N . Далее обычно будем писать det вместо detN .9.3. Основные свойства определителяУтверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N ∈ N.1.
Пусть: k = 1, N , A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN ∈ KN . Тогда:det(A1 , . . . , Ak−1 , θ, Ak+1 , . . . , AN ) = 0.2. Пусть: N > 2, k = 1, N , A1 , . . . , AN ∈ KN , Ak ∈ L(A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN ). Тогда:det(A1 , . . . , AN ) = 0.3. Пусть: A1 , . . . , AN ∈ KN , A1 , . .
. , AN ∈ KN — линейно зависимые столбцы. Тогда:det(A1 , . . . , AN ) = 0.4. Пусть: N > 2, k = 1, N , A1 , . . . , AN ∈ KN , X ∈ L(A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN ). Тогда:det(A1 , . . . , Ak−1 , Ak + X, Ak+1 , . . . , AN ) = det(A1 , . . . , AN ).1049. Определитель матрицы5. Пусть: A ∈ KN ×N , k1 , . . . , kN = 1, N . Тогда:det(Ak1 , .
. . , AkN ) = det(A) det(Ik1 , . . . , IkN ).6. Пусть A, B ∈ KN ×N . Тогда:det(BA) = det(B) det(A).7. Пусть A ∈ KN ×N . Тогда:det(AT ) = det(A).Доказательство.1. Очевидно:det(A1 , . . . , Ak−1 , θ, Ak+1 , . . . , AN ) = det(A1 , . . . , Ak−1 , 0θ, Ak+1 , . . . , AN ) == 0 det(A1 , . . . , Ak−1 , θ, Ak+1 , . . . , AN ) = 0.2. Так как Ak ∈ L(A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN ), то существуют числа α1 , .
. . , αk−1 ,αk+1P, . . . , αN , удовлетворяющие условиям: α1 , . . . , αk−1 , αk+1 , . . . , αN ∈ K, Ak =αm Am . Тогда:m=1,N , m6=kdet(A1 , . . . , AN ) = det A1 , . . . , Ak−1 ,=XXm=1,N , m6=kαm Am , Ak+1 , . . . , AN =αm det(A1 , . . . , Ak−1 , Am , Ak+1 , .
. . , AN ) = 0.m=1,N , m6=k3. Пусть N > 2. Так как A1 , . . . , AN — линейно зависимые столбцы, то существуетномер k = 1, N , удовлетворяющий условию Ak ∈ L(A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN ). Тогдаdet(A1 , . . . , AN ) = 0.Пусть N = 1. Так как A1 — линейно зависимый столбец, то A1 = θ. Тогда: det(A1 ) =det(θ) = 0.4. Очевидно:det(A1 , .
. . , Ak−1 , Ak + X, Ak+1 , . . . , AN ) == det(A1 , . . . , AN ) + det(A1 , . . . , Ak−1 , X, Ak+1 , . . . , AN ) = det(A1 , . . . , AN ).5. Пусть числа k1 , . . . , kN не являются различными. Тогда: det(Ak1 , . . . , AkN ) = 0,det(A) det(Ik1 , . . . , IkN ) = 0. Следовательно, det(Ak1 , . . . , AkN ) = det(A) det(Ik1 , . . . , IkN ).Пусть k1 , . . . , kN — различные числа.
Обозначим: σ(1) = k1 , . . . , σ(N ) = kN . Тогдаσ ∈ SN . Следовательно:det(Ak1 , . . . , AkN ) = det(Aσ(1) , . . . , Aσ(N ) ) = sgn(σ) det(A1 , . . . , AN ) = sgn(σ) det(A);det(A) det(Ik1 , . . . , IkN ) = det(A) det(Iσ(1) , . . . , Iσ(N ) ) = sgn(σ) det(A) det(I1 , . . . , IN ) == sgn(σ) det(A) det(I) = sgn(σ) det(A).Тогда det(Ak1 , .
. . , AkN ) = det(A) det(Ik1 , . . . , IkN ).9.3. Основные свойства определителя1056. Очевидно:det(BA) = det (BA)1 , . . . , (BA)N = det(Bk1 Ak11 , . . . , BkN AkNN ) == det(Bk1 , . . . , BkN )Ak11 · · · AkNN = det(Ik1 , . . . , IkN ) det(B)Ak11 · · · AkNN = det(B) det(A).7. Очевидно:det(AT ) =Xσ(1)sgn(σ)(AT )1σ∈SN=σ −1 (1)Xsgn(σ)A1σ∈SNX=σ −1 (N )· · · ANσ̃(1)sgn(σ̃ −1 )A1σ̃∈SN=Xσ∈SNsgn(σ)A1σ(1) · · · ANσ(N ) == [замена: σ̃ = σ −1 , σ ∈ SN ; σ = σ̃ −1 , σ̃ ∈ SN ] =σ̃(N )· · · ANσ(N )· · · (AT )N=Xσ̃(1)sgn(σ̃)A1σ̃∈SNσ̃(N )· · · AN= det(A).Определение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}, N ∈ Z, N > 2; A ∈ KN ×N , i, j = 1, N . Обозначимjчерез ∆i (A) определитель матрицы, которая получается из матрицы A вычёркиваниемjстолбца Ai и строки Aj . Будем говорить, что ∆i (A) — минор матрицы A, дополнительныйjк элементу Aji .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
