А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Пусть ϕ : Q =⇒ L. Пусть x ∈ Q. Тогда:1ϕ (x) = 1ϕ(x) = ϕ(x).Следовательно, 1ϕ = ϕ.7. Пусть: α, β ∈ K, ϕ : Q =⇒ L. Пусть x ∈ Q. Тогда:(α + β)ϕ (x) = (α + β)ϕ(x) = αϕ(x) + βϕ(x) = αϕ + βϕ (x).Следовательно, (α + β)ϕ = αϕ + βϕ.8. Пусть: λ ∈ K, ϕ1 , ϕ2 : Q =⇒ L. Пусть x ∈ Q. Тогда:λ(ϕ1 + ϕ2 ) (x) = λ ϕ1 (x) + ϕ2 (x) = λϕ1 (x) + λϕ2 (x) = λϕ1 + λϕ2 (x).Следовательно, λ(ϕ1 + ϕ2 ) = λϕ1 + λϕ2 .Итак: Fun(Q, L), F1 , F2 — линейное пространство над полем K, Θ — нулевой векторпространства Fun(Q, L), F1 , F2 .Замечание. Пусть: M — множество, F — функция, D(F ) = M 2 .Пусть: Q ⊆ M , F̃ — ограничение функции F на множество Q2 . Тогда: F̃ — функция,D(F̃ ) = Q2 , F̃ (x, y) = F (x, y) при x, y ∈ Q. Далее часто будем писать: x + y вместо F (x, y);x ⊕ y вместо F̃ (x, y).Замечание.

Пусть: K ∈ {C, R, Q}; M — множество, F — функция, D(F ) = K × M .Пусть: K0 ∈ {C, R, Q}, K0 ⊆ K; Q ⊆ M , F̃ — ограничение функции F на множествоK0 × Q. Тогда: F̃ — функция, D(F̃ ) = K0 × Q, F̃ (λ, x) = F (λ, x) при: λ ∈ K0 , x ∈ Q. Далеечасто будем писать: λx вместо F (λ, x); λ ⊗ x вместо F̃ (λ, x).Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; (M, F1 , F2 ) — линейное пространство над полемK, θ — нулевой вектор пространства (M, F1 , F2 ).Пусть: K0 ∈ {C, R, Q}, K0 ⊆ K; F̃2 — ограничение функции F2 на множество K0 × M .Тогда: (M, F1 , F̃2 ) — линейное пространство над полем K0 , θ — нулевой вектор пространства (M, F1 , F̃2 ).Доказательство. Пусть: λ ∈ K0 , x ∈ M . Тогда: λ ⊗ x = λx ∈ M .1.

Пусть x, y ∈ M . Тогда x + y = y + x.2. Пусть x, y, z ∈ M . Тогда (x + y) + z = x + (y + z).3. Пусть x ∈ M . Тогда x + θ = x.4. Пусть x ∈ M . Тогда существует объект y ∈ M , удовлетворяющий условию x + y = θ.5. Пусть: α, β ∈ K0 , x ∈ M . Тогда:(αβ) ⊗ x = (αβ)x = α(βx) = α ⊗ (β ⊗ x).6. Пусть x ∈ M . Тогда:1 ⊗ x = 1x = x.7. Пусть: α, β ∈ K0 , x ∈ M .

Тогда:(α + β) ⊗ x = (α + β)x = αx + βx = α ⊗ x + β ⊗ x.7.3. Подпространство линейного пространства858. Пусть: λ ∈ K0 , x, y ∈ M . Тогда:λ ⊗ (x + y) = λ(x + y) = λx + λy = λ ⊗ x + λ ⊗ y.Итак: (M, F1 , F̃2 ) — линейное пространство над полем K0 , θ — нулевой вектор пространства (M, F1 , F̃2 ).Замечание (линейное пространство KN (K0 )).

Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N ∈ N, F1 — стандартная операция сложения на множестве KN , F2 — стандартная внешняя операция умноженияна множестве KN , θ̃ — стандартный нулевой элемент множества KN .Пусть: K0 ∈ {C, R, Q}, K0 ⊆ K; F̃2 — ограничение функции F2 на множество K0 × M .Тогда: (KN , F1 , F̃2 ) — линейное пространство над полем K0 , θ̃ — нулевой вектор пространства (KN , F1 , F̃2 ). Обозначим, KN (K0 ) = (KN , F1 , F̃2 ).Замечание (линейное пространство KN2 ×N1 (K0 )). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N1 , N2 ∈ N, F1 —стандартная операция сложения на множестве KN2 ×N1 , F2 — стандартная внешняя операция умножения на множестве KN2 ×N1 , Θ — стандартный нулевой элемент множестваKN2 ×N1 .Пусть: K0 ∈ {C, R, Q}, K0 ⊆ K; F̃2 — ограничение функции F2 на множество K0 ×M .

Тогда: (KN2 ×N1 , F1 , F̃2 ) — линейное пространство над полем K0 , Θ — нулевой векторпространства (KN2 ×N1 , F1 , F̃2 ). Обозначим, KN2 ×N1 (K0 ) = (KN2 ×N1 , F1 , F̃2 ).Определение (подпространство линейного пространства). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K. Будем говорить, что Q — подпространство пространстваL, если:1. Q ⊆ L;2. Q 6= ∅;3.

∀x ∈ Q∀y ∈ Q(x + y ∈ Q);4. ∀λ ∈ K∀x ∈ Q(λx ∈ Q).Замечание (простейшие подпространства). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K. Очевидно, {θ}, L — подпространства пространства L.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; r ∈ N,x1 , . . . , xr ∈ L. Тогда L(x1 , . . .

, xr ) — подпространство пространства L.Доказательство. Очевидно: L(x1 , . . . , xr ) ⊆ L, 0x1 + · · · + 0xr ∈ L(x1 , . . . , xr ).Пусть u, v ∈ L(x1 , . . . , xr ). Тогда существуют числа α1 , . . . , αr , β 1 , . . . , β r ∈ K, удовлетворяющие условиям: u = αk xk , v = β k xk . Следовательно:u + v = (αk xk ) + (β k xk ) = (αk + β k )xk ∈ L(x1 , . . . , xr ).Пусть: λ ∈ K, u ∈ L(x1 , . . .

, xr ). Тогда существуют числа α1 , . . . , αr ∈ K, удовлетворяющие условию u = αk xk . Следовательно:λu = λ(αk xk ) = (λαk )xk ∈ L(x1 , . . . , xr ).Итак, L(x1 , . . . , xr ) — подпространство пространства L.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q —подпространство пространства L. Тогда θ ∈ Q.867. Линейное пространствоДоказательство. Так как Q — подпространство пространства L, то существует векторx, удовлетворяющий условию x ∈ Q. Так как Q — подпространство пространства L, то:θ = 0x ∈ Q.Утверждение.

Пусть: K ∈ {C, R, Q}; (M, F1 , F2 ) — линейное пространство над полемK, θ — нулевой вектор пространства (M, F1 , F2 ).Пусть: Q — подпространство пространства (M, F1 , F2 ), F̃1 — ограничение функции F1 на множество Q2 , F̃2 — ограничение функции F2 на множество K × Q. Тогда:(Q, F̃1 , F̃2 ) — линейное пространство над полем K, θ — нулевой вектор пространства(Q, F̃1 , F̃2 ).Доказательство. Пусть x, y ∈ Q.

Так как Q — подпространство пространства (M, F1 , F2 ),то: x ⊕ y = x + y ∈ Q.Пусть: λ ∈ K, x ∈ Q. Так как Q — подпространство пространства (M, F1 , F2 ), то:λ ⊗ x = λx ∈ Q.Так как Q — подпространство пространства (M, F1 , F2 ), то θ ∈ Q.1. Пусть x, y ∈ Q. Тогда:x ⊕ y = x + y = y + x = y ⊕ x.2. Пусть x, y, z ∈ Q. Тогда:(x ⊕ y) ⊕ z = (x + y) + z = x + (y + z) = x ⊕ (y ⊕ z).3. Пусть x ∈ Q. Тогда:x ⊕ θ = x + θ = x.4. Пусть x ∈ Q.

Тогда:x ⊕ (−1) ⊗ x = x + (−1)x = θ.5. Пусть: α, β ∈ K, x ∈ Q. Тогда:(αβ) ⊗ x = (αβ)x = α(βx) = α ⊗ (β ⊗ x).6. Пусть x ∈ Q. Тогда:1 ⊗ x = 1x = x.7. Пусть: α, β ∈ K, x ∈ Q. Тогда:(α + β) ⊗ x = (α + β)x = αx + βx = α ⊗ x ⊕ β ⊗ x.8. Пусть: λ ∈ K, x, y ∈ Q. Тогда:λ ⊗ (x ⊕ y) = λ(x + y) = λx + λy = λ ⊗ x ⊕ λ ⊗ y.Итак: (Q, F̃1 , F̃2 ) — линейное пространство над полем K, θ — нулевой вектор пространства (Q, F̃1 , F̃2 ).7.3. Подпространство линейного пространства87Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; (M, F1 , F2 ) — линейное пространство над полемK.Пусть: Q ⊆ M , F̃1 — ограничение функции F1 на множество Q2 , F̃2 — ограничениефункции F2 на множество K × Q, (Q, F̃1 , F̃2 ) — линейное пространство над полем K.Тогда Q — подпространство пространства (M, F1 , F2 ).Доказательство.

По условию, Q ⊆ M . Так как (Q, F̃1 , F̃2 ) — линейное пространство надполем K, то Q 6= ∅.Пусть x, y ∈ Q. Тогда: x + y = x ⊕ y ∈ Q.Пусть: λ ∈ K, x ∈ Q. Тогда: λx = λ ⊗ x ∈ Q.Итак, Q — подпространство пространства (M, F1 , F2 ).Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; (M, F1 , F2 ) — линейное пространство над полемK.Пусть: Q1 — подпространство пространства (M, F1 , F2 ), F̃1 — ограничение функцииF1 на множество Q21 , F̃2 — ограничение функции F2 на множество K × Q1 .Пусть Q2 — подпространство пространства (Q1 , F̃1 , F̃2 ). Тогда: Q2 ⊆ Q1 , Q2 — подпространство пространства (M, F1 , F2 ).Доказательство.

Так как Q1 — подпространство пространства (M, F1 , F2 ), то Q1 ⊆ M .Так как Q2 — подпространство пространства (Q1 , F̃1 , F̃2 ), то: Q2 ⊆ Q1 , Q2 6= ∅. Так как:Q1 ⊆ M , Q2 ⊆ Q1 , то Q2 ⊆ M .Пусть x, y ∈ Q2 . Так как Q2 — подпространство пространства (Q1 , F̃1 , F̃2 ), то: x + y =x ⊕ y ∈ Q2 .Пусть: λ ∈ K, x ∈ Q2 . Так как Q2 — подпространство пространства (Q1 , F̃1 , F̃2 ), то:λx = λ ⊗ x ∈ Q2 .Итак: Q2 ⊆ Q1 , Q2 — подпространство пространства (M, F1 , F2 ).Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; (M, F1 , F2 ) — линейное пространство над полемK.Пусть: Q1 — подпространство пространства (M, F1 , F2 ), F̃1 — ограничение функцииF1 на множество Q21 , F̃2 — ограничение функции F2 на множество K × Q1 .Пусть: Q2 ⊆ Q1 , Q2 — подпространство пространства (M, F1 , F2 ).

Тогда Q2 — подпространство пространства (Q1 , F̃1 , F̃2 ).Доказательство. По условию, Q2 ⊆ Q1 . Так как Q2 — подпространство пространства(M, F1 , F2 ), то Q2 6= ∅.Пусть x, y ∈ Q2 . Так как Q2 — подпространство пространства (M, F1 , F2 ), то: x ⊕ y =x + y ∈ Q2 .Пусть: λ ∈ K, x ∈ Q2 . Так как Q2 — подпространство пространства (M, F1 , F2 ), то:λ ⊗ x = λx ∈ Q2 .Итак, Q2 — подпространство пространства (Q1 , F̃1 , F̃2 ).Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q1 ,Q2 — подпространства пространства L. Тогда Q1 ∩Q2 — подпространство пространстваL.Доказательство.

Так как Q1 ⊆ L, то Q1 ∩ Q2 ⊆ L. Так как: θ ∈ Q1 , θ ∈ Q2 , то θ ∈ Q1 ∩ Q2 .Пусть x1 , x2 ∈ Q1 ∩ Q2 . Тогда: x1 , x2 ∈ Q1 , x1 , x2 ∈ Q2 . Следовательно: x1 + x2 ∈ Q1 ,x1 + x2 ∈ Q2 . Тогда x1 + x2 ∈ Q1 ∩ Q2 .887. Линейное пространствоПусть: λ ∈ K, x ∈ Q1 ∩ Q2 . Тогда: x ∈ Q1 , x ∈ Q2 . Следовательно: λx ∈ Q1 , λx ∈ Q2 .Тогда λx ∈ Q1 ∩ Q2 .Итак, Q1 ∩ Q2 — подпространство пространства L.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полемTK; I —множество, I 6= ∅, Qα — подпространство пространства L при α ∈ I.

Характеристики

Список файлов книги