А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342)
Текст из файла
Аналитическая геометрияБадьин А. В.СодержаниеСодержание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. Логико-математическая символика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1. Логические связки . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Кванторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Теория множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4. Теория функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5. Числовые системы . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Векторы в пространствах E 1 , E 2 , E 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1. Пространство RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.
Линейная комбинация столбцов, линейная зависимость столбцов2.3. Пространства E 1 , E 2 , E 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4. Линейная комбинация векторов, линейная зависимость векторов3. Матричная алгебра. Определители порядков 1, 2, 3 . . . . . . . . . . . .3.1. Пространство RN2 ×N1 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Линейная комбинация матриц, линейная зависимость матриц .3.3. Перемножение матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4. Транспонирование матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5. След матрицы . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.6. Определители порядков 1, 2, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Скалярное, векторное, смешанное произведения . . . . . . . . . . . . . .4.1. Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .~N . . .
. . . . . . . . . .4.2. Правые и левые базисы пространства E4.3. Векторное и смешанное произведения . . . . . . . . . . . . . . .5. Прямые в пространстве E 2 . Прямые и плоскости в пространстве E 3 . .5.1. Прямые в пространстве E 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2. Плоскости в пространстве E 3 . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .5.3. Прямые в пространстве E 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.1. Определение комплексного числа . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2. Модуль и аргумент комплексного числа . . . . . . . . .
. . . . .6.3. Основные функции комплексной переменной . . . . . . . . . . .7. Линейное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.1. Определение линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . . .7.2. Линейная комбинация векторов, линейная зависимость векторов............................................................................................................................................133456101012121417263333353840404145454951575759616464666972727927.3.
Подпространство линейного пространства . . . . . . . .7.4. Аффинное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . .8. Базис линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.1. Базис линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . .8.2. Размерность линейного пространства . . . . . . . . .
. .9. Определитель матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.1. Определение определителя. Теория перестановок . . . .9.2. Существование и единственность определителя . . . . .9.3. Основные свойства определителя . . . . . . . .
. . . . .9.4. Метод Гаусса—Жордана для вычисления определителя10. Размерность линейного пространства. Ранг матрицы . . . . . .10.1. Теорема о базисном миноре . . . . . . . . . . . . . . . .10.2. Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.11. Линейные операторы. Изоморфизмы линейных пространств .12. Система линейных алгебраических уравнений . . . . . . . . . .12.1. Линейное операторное уравнение . . . . . . . . . . . . .12.2. Система линейных алгебраических уравнений . . . . . .13. Кривые второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .13.1. Определение кривой второго порядка . . . . . . . . . . .13.2. Эллипс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.3. Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.4. Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .14. Поверхности второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................................................................................................................................................................................828891919497971011031061081081101141211211221271271271331401441481. Логико-математическая символика3Лекция 1. Логико-математическая символика1.1.
Логические связкиЛогическими связками называются значки: ¬ (отрицание), ∧ (конъюнкция), ∨ (дизъюнкция), =⇒ (импликация), ⇐⇒ (эквивалентность).Пусть A — утверждение. Обозначим через ¬A утверждение, истинностное значениекоторого можно найти с помощью таблицы:A01¬A1 .0Утверждение ¬A читается: «неверно, что A» или «не A». Очевидно, роль отрицания вматематическом языке похожа на роль частицы «не» в разговорном языке.Пусть A, B — утверждения. Обозначим через (A ∧ B) утверждение, истинностное значение которого можно найти с помощью таблицы:A B0 00 11 01 1(A ∧ B)00.01Утверждение (A ∧ B) читается: «A и B».
Далее часто будем писать A ∧ B вместо (A ∧ B).Будем говорить, что A, B — члены конъюнкции A ∧ B. Очевидно, роль конъюнкции вматематическом языке похожа на роль союза «и» в разговорном языке.Пусть A, B — утверждения. Обозначим через (A ∨ B) утверждение, истинностное значение которого можно найти с помощью таблицы:A B0 00 11 01 1(A ∨ B)01.11Утверждение (A∨B) читается: «A или B». Далее часто будем писать A∨B вместо (A∨B).Будем говорить, что A, B — члены дизъюнкции A ∨ B. Внимание! Дизъюнкция истинных утверждений истинна. Очевидно, роль дизъюнкции в математическом языкепохожа на роль союза «или» в разговорном языке (если союз «или» употребляется в соединительном смысле).Пусть A, B — утверждения.
Обозначим через (A =⇒ B) утверждение, истинностноезначение которого можно найти с помощью таблицы:A B0 00 11 01 1(A =⇒ B)11.0141. Логико-математическая символикаУтверждение (A =⇒ B) читается: «если A, то B» или «из A следует B». Далее часто будем писать A =⇒ B вместо (A =⇒ B). Будем говорить, что: A — посылка импликацииA =⇒ B; B — заключение импликации A =⇒ B.
Внимание! Импликация с ложнойпосылкой всегда истинна. Очевидно, роль импликации в математическом языке похожа на роль оборота «если. . . , то. . . » в разговорном языке (если при употреблении этогооборота считается, что из лжи следует всё, что угодно).Пусть A, B — утверждения. Обозначим через (A ⇐⇒ B) утверждение, истинностноезначение которого можно найти с помощью таблицы:A0011B0101(A ⇐⇒ B)10.01Утверждение (A ⇐⇒ B) читается: «A справедливо тогда и только тогда, когда Bсправедливо» или «A эквивалентно B». Далее часто будем писать A ⇐⇒ B вместо(A ⇐⇒ B). Очевидно, роль эквивалентности в математическом языке похожа на рольоборота «.
. . тогда и только тогда, когда. . . » в разговорном языке.Замечание. Пусть A, B, C — утверждения. Используя истинностные таблицы, нетруднодоказать:¬¬A ⇐⇒ A,(A ∧ B) ⇐⇒ (B ∧ A),(A ∧ B) ∧ C ⇐⇒ A ∧ (B ∧ C) ,(A ∨ B) ⇐⇒ (B ∨ A),(A ∨ B) ∨ C ⇐⇒ A ∨ (A ∨ C) ,(A =⇒ B) ⇐⇒ (¬A ∨ B),(A ⇐⇒ B) ⇐⇒ (A =⇒ B) ∧ (B =⇒ A) ,A ∧ (B ∨ C) ⇐⇒ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ,A ∨ (B ∧ C) ⇐⇒ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) ,¬(A ∧ B) ⇐⇒ (¬A ∨ ¬B),¬(A ∨ B) ⇐⇒ (¬A ∧ ¬B).Очевидно:¬(A =⇒ B) ⇐⇒ (A ∧ ¬B).1.2.
КванторыКванторами называются значки: ∀ (квантор общности или квантор всеобщности), ∃ (квантор существования).Пусть A(x) — утверждение относительно допустимого объекта x. Будем писать ∀xA(x),если для любого допустимого объекта x справедливо A(x).Пусть A(x) — утверждение относительно допустимого объекта x. Будем писать ∃xA(x),если существует допустимый объект x, удовлетворяющий условию A(x).1.3. Теория множеств5Пусть A(x) — утверждение относительно допустимого объекта x. Будем писать∃!xA(x), если:∃xA(x) ∧ ∀x∀y A(x) ∧ A(y) =⇒ x = y .Утверждение ∃!xA(x) читается: «существует единственный допустимый объект x, удовлетворяющий условию A(x)».Пусть A(x), B(x) — утверждения относительно допустимого объекта x.
Будем писать∀x B(x) A(x), если:∀x B(x) =⇒ A(x) .Утверждение ∀x B(x) A(x) читается: «для любого допустимого объекта x, удовлетворяющего условию B(x), справедливо A(x)».Пусть A(x), B(x) — утверждения относительно допустимого объекта x. Будем писать∃x B(x) A(x), если:∃x B(x) ∧ A(x) .Утверждение ∃x B(x) A(x) читается: «существует допустимый объект x, удовлетворяющий условию B(x), такой, что A(x)».Пусть A(x), B(x) — утверждения относительно допустимого объекта x.
Будем писать∃!x B(x) A(x), если:∃!x B(x) ∧ A(x) .Утверждение ∃!x B(x) A(x) читается: «существует единственный допустимый объект x,удовлетворяющий условию B(x), такой, что A(x)».Замечание. Пусть A(x), B(x) — утверждения относительно допустимого объекта x. Очевидно:¬∀xA(x)¬∃xA(x)¬∀x B(x) A(x)¬∃x B(x)]A(x)1.3. Теория множеств⇐⇒ ∃x¬A(x),⇐⇒ ∀x¬A(x),⇐⇒ ∃x B(x) ¬A(x),⇐⇒ ∀x B(x)]¬A(x).Пусть A — множество. Будем писать x ∈ A, если x принадлежит множеству A.Пусть: A(x) — утверждение относительно допустимого объекта x, Q — множество.Далее часто будем писать: ∀x ∈ Q A(x) вместо ∀x[x ∈ Q]A(x); ∃x ∈ Q A(x) вместо∃x[x ∈ Q]A(x); ∃!x ∈ Q A(x) вместо ∃!x[x ∈ Q]A(x).
Утверждение ∀x[x ∈ Q]A(x) можночитать: «для любого допустимого объекта x, принадлежащего множеству Q, справедливоA(x)». Утверждение ∃x ∈ Q A(x) можно читать: «существует допустимый объект x, принадлежащий множеству Q, удовлетворяющий условию A(x)». Утверждение ∃!x ∈ Q A(x)можно читать: «существует единственный допустимый объект x, принадлежащий множеству Q, удовлетворяющий условию A(x)».Пусть A, B — множества. Тогда:A = B ⇐⇒ ∀x(x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B).61. Логико-математическая символикаПусть A(x) — утверждение относительно допустимого объекта x.
Пусть существуетмножество Q, удовлетворяющее условию: Q — множество всех допустимых объектов x,удовлетворяющих условию A(x). Тогда существует единственное множество Q, удовлетворяющее условию: Q — множество всех допустимых объектов x, удовлетворяющих условиюA(x). Обозначим через x : A(x) множество всех допустимых объектов x, удовлетворяющих условию A(x).Будем говорить, что A — пустое множество, если: A — множество, ∀x(x ∈/ A). Существует единственное множество A, удовлетворяющее условию: A — пустое множество.Обозначим через ∅ пустое множество.Пусть A — множество. Будем писать B ⊆ A, если: B — множество, ∀x(x ∈ B =⇒x ∈ A).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
