А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Обозначим через card(A) количество элементов множества A.Пусть: N ∈ Z, N > 3, x1 , . . . , xN — некоторые объекты. Обозначим, {x1 , . . . , xN } ={u : u = x1 ∨ · · · ∨ u = xN }.Пусть: N ∈ Z, N > 3, x1 , . . . , xN — некоторые объекты. Обозначим, (x1 , . . . , xN ) =(x1 , . .
. , xN −1 ), xN . Пусть u = (x1 , . . . , xN ). Обозначим: u1 = x1 , . . . , uN = xN .Пусть: N ∈ Z, N > 3, A1 , . . . , AN — множества. Обозначим:A1 × · · · × AN = (x1 , . . . , xN ) : x1 ∈ A1 ∧ · · · ∧ xN ∈ AN =no= u : ∃x1 · · · ∃xN x1 ∈ A1 ∧ · · · ∧ xN ∈ AN ∧ u = (x1 , .
. . , xN ) .Очевидно, A1 × · · · × AN = (A1 × · · · × AN −1 ) × AN .Пусть A — множество. Обозначим, A1 = A. Пусть: A — множество, N ∈ Z, N > 2.Пусть A1 , . . . , AN = A. Обозначим, AN = A1 × · · · × AN . Очевидно, AN = AN −1 × A.Обозначим через Q множество всех рациональных чисел. Обозначим: Q+ = {x : x ∈Q ∧ x > 0}, Q = Q ∪ {−∞, +∞}, Q+ = {x : x ∈ Q ∧ x > 0}.Обозначим через R множество всех вещественных чисел. Обозначим: R+ = {x : x ∈R ∧ x > 0}, R = R ∪ {−∞, +∞}, R+ = {x : x ∈ R ∧ x > 0}.Пусть A ⊆ R. Будем говорить, что α — наименьший элемент множества A, если: α ∈ A,∀x ∈ A(x > α). Пусть существует число α, удовлетворяющее условию: α — наименьшийэлемент множества A.
Тогда существует единственное число α, удовлетворяющее условию:α — наименьший элемент множества A. Обозначим через min(A) наименьший элементмножества A.Пусть A ⊆ R. Будем говорить, что α — наибольший элемент множества A, если: α ∈ A,∀x ∈ A(x 6 α). Пусть существует число α, удовлетворяющее условию: α — наибольшийэлемент множества A. Тогда существует единственное число α, удовлетворяющее условию:α — наибольший элемент множества A. Обозначим через max(A) наибольший элементмножества A.Пусть α, β ∈ R.
Обозначим:[α, β] = x : x ∈ R ∧ min{α, β} 6 x 6 max{α, β} ,(α, β] = [α, β] \ {α},[α, β) = [α, β] \ {β},(α, β) = [α, β] \ {α, β}.1.6. ПримерыУтверждение 0 < 1 ∨ 2 + 2 = 4 истинно. Утверждение 1 < 0 =⇒ 2 + 2 = 5 истинно.Очевидно:¬(0 < 1 ∨ 2 + 2 = 4) ⇐⇒ (1 6 0 ∧ 2 + 2 6= 4),¬(1 < 0 =⇒ 2 + 2 = 5) ⇐⇒ (1 < 0 ∧ 2 + 2 6= 5).1.6. Примеры11Пусть: A(x) — утверждение относительно допустимого объекта x; r ∈ N, x1 , . . . , xr —некоторые допустимые объекты.
Очевидно:∀k = 1, r A(xk ) ⇐⇒ A(x1 ) ∧ · · · ∧ A(xr ),∃k = 1, r A(xk ) ⇐⇒ A(x1 ) ∨ · · · ∨ A(xr ).Утверждение ∀x ∈ R(x = 0) ложно. Утверждение ∃x ∈ R(x = 0) истинно. Утверждение∃!x ∈ R(x = 0) истинно. Внимание! Утверждение ∀x ∈ ∅(x 6= x) истинно. Утверждение ∀x ∈ R∃y ∈ R(x < y) истинно. Утверждение ∃y ∈ R∀x ∈ R(x < y) ложно. Внимание!Утверждения ∀x ∈ R∃y ∈ R(x < y) и ∃y ∈ R∀x ∈ R(x < y) имеют разный смысл.Очевидно:¬∀x ∈ R(x = 0)¬∃x ∈ R(x = 0)¬∀x ∈ ∅(x 6= x)¬∀x ∈ R∃y ∈ R(x < y)¬∃y ∈ R∀x ∈ R(x < y)⇐⇒⇐⇒⇐⇒⇐⇒⇐⇒∃x ∈ R(x 6= 0),∀x ∈ R(x 6= 0),∃x ∈ ∅(x = x),∃x ∈ R∀y ∈ R(y 6 x),∀y ∈ R∃x ∈ R(y 6 x).2.
Векторы в пространствах E 1 , E 2 , E 312Лекция 2. Векторы в пространствах E 1, E 2 , E 32.1. Пространство RNОпределение. Пусть N ∈ N. Рассмотрим множествоПусть x, y ∈ RN . Обозначим:x1 + y 1..x+y =.xN + y NRN ..Очевидно, x+y ∈ RN . Будем говорить, что {x+y}x,y∈RN — стандартная операция сложенияна множестве RN .Пусть: λ ∈ R, x ∈ RN . Обозначим:λx1λx = ... .λxNОчевидно, λx ∈ RN . Будем говорить, что {λx}λ∈R, x∈RN — стандартная внешняя операцияумножения на множестве RN .Обозначим: 0 .. θ̃ = . .0Очевидно, θ̃ ∈ RN .
Будем говорить, что θ̃ — стандартный нулевой элемент множества RN .Утверждение. Пусть N ∈ N.1. Пусть x, y ∈ RN . Тогда x + y = y + x.2. Пусть x, y, z ∈ RN . Тогда (x + y) + z = x + (y + z).3. Пусть x ∈ RN . Тогда x + θ̃ = x.4. Пусть x ∈ RN . Тогда x + (−1)x = θ̃.5. Пусть: α, β ∈ R, x ∈ RN . Тогда (αβ)x = α(βx).6. Пусть x ∈ RN . Тогда 1x = x.7. Пусть: α, β ∈ R, x ∈ RN . Тогда (α + β)x = αx + βx.8. Пусть: λ ∈ R, x, y ∈ RN . Тогда λ(x + y) = λx + λy.9.
Пусть x ∈ RN . Тогда 0x = θ̃.10. Пусть λ ∈ R. Тогда λθ̃ = θ̃.11. Пусть a, b ∈ RN . Существует единственный столбец x, удовлетворяющий условиям: x ∈ RN , a + x = b.Доказательство.1. Пусть j = 1, N . Тогда:(x + y)j = xj + y j = y j + xj = (y + x)j .Следовательно, x + y = y + x.2.1. Пространство RN132. Пусть j = 1, N . Тогда:jj(x + y) + z = (xj + y j ) + z j = xj + (y j + z j ) = x + (y + z) .Следовательно, (x + y) + z = x + (y + z).3. Пусть j = 1, N .
Тогда:(x + θ̃)j = xj + θ̃j = xj + 0 = xj .Следовательно, x + θ̃ = x.4. Пусть j = 1, N . Тогда:x + (−1)xСледовательно, x + (−1)x = θ̃.5. Пусть j = 1, N . Тогда:(αβ)xСледовательно, (αβ)x = α(βx).6. Пусть j = 1, N . Тогда:jj= xj + (−1)xj = 0 = θ̃j .j= (αβ)xj = α(βxj ) = α(βx) .(1x)j = 1xj = xj .Следовательно, 1x = x.7. Пусть j = 1, N . Тогда:(α + β)xj= (α + β)xj = αxj + βxj = (αx + βx)j .Следовательно, (α + β)x = αx + βx.8. Пусть j = 1, N . Тогда:jλ(x + y) = λ(xj + y j ) = λxj + λy j = (λx + λy)j .Следовательно, λ(x + y) = λx + λy.9. Пусть j = 1, N .
Тогда:(0x)j = 0xj = 0 = θ̃j .Следовательно, 0x = θ̃.10. Пусть j = 1, N . Тогда:(λθ̃)j = λθ̃j = λ0 = 0 = θ̃j .Следовательно, λθ̃ = θ̃.11. Пусть: x ∈ RN , a + x = b. Тогда:(−1)a + (a + x) = (−1)a + b,(−1)a + a + x = (−1)a + b,a + (−1)a + x = (−1)a + b,2. Векторы в пространствах E 1 , E 2 , E 314θ̃ + x = (−1)a + b,x + θ̃ = (−1)a + b,x = (−1)a + b.Пусть: x1 ∈ RN , a + x1 = b, x2 ∈ RN , a + x2 = b.
Тогда: x1 = (−1)a + b, x2 = (−1)a + b.Следовательно, x1 = x2 .Обозначим, x = (−1)a + b. Тогда: x ∈ RN , a + x = a + (−1)a + b = a + (−1)a + b =θ̃ + b = b + θ̃ = b.Определение. Пусть N ∈ N.Пусть x ∈ RN . Обозначим, −x = (−1)x. Очевидно: −x ∈ RN , x + (−x) = θ̃. Будемговорить, что −x — противоположный столбец к столбцу x.Пусть x, y ∈ RN . Обозначим, y − x = (−1)x + y. Очевидно: y − x ∈ RN , x + (y − x) = y.Будем говорить, что y − x — разность столбцов y, x.2.2. Линейная комбинация столбцов, линейная зависимость столбцовОпределение (линейная комбинация столбцов).
Пусть: N ∈ N; r ∈ N, λ1 , . . . , λr ∈ R,x1 , . . . , xr ∈ RN .NPλk xk — линейная комбинация столбцов x1 , . . . , xr с коэффициБудем говорить, чтоентами λ1 , . . . , λr .k=1Далее часто будем писать λk xk вместоNPλk xk (частный случай правила суммированияk=1Эйнштейна).Определение (линейная оболочка столбцов, линейная зависимость столбцов, линейнаянезависимость столбцов). Пусть: N ∈ N; r ∈ N, x1 , . .
. , xr ∈ RN .Обозначим:L(x1 , . . . , xr ) = {λk xk : λ1 ∈ R ∧ · · · ∧ λr ∈ R} == u : ∃λ1 · · · ∃λr (λ1 ∈ R ∧ · · · ∧ λr ∈ R ∧ u = λk xk ) .Очевидно, L(x1 , . . . , xr ) ⊆ RN . Будем говорить, что L(x1 , . . . , xr ) — линейная оболочкастолбцов x1 , . . . , xr . Пусть k = 1, r. Тогда: xk = δkm xm ∈ L(x1 , . . . , xr ) (здесь: δkm = 0 при: k,m = 1, r, k 6= m; δkm = 1 при: k, m = 1, r, k = m).Будем говорить, что по любой линейной комбинации столбцов x1 , . . . , xr однозначновосстанавливаются её коэффициенты, если для любых чисел α1 , .
. . , αr , β 1 , . . . , β r , удовлетворяющих условиям: α1 , . . . , αr , β 1 , . . . , β r ∈ R, αk xk = β k xk , справедливо утверждение∀k = 1, r(αk = β k ).Будем говорить, что x1 , . . . , xr — линейно зависимые столбцы, если существуют числа1λ , . . . , λr , удовлетворяющие условиям: λ1 , . . . , λr ∈ R, λk xk = θ̃, ∃k = 1, r(λk 6= 0).Будем говорить, что x1 , . . .
, xr — линейно независимые столбцы, если для любых чисел1λ , . . . , λr , удовлетворяющих условиям: λ1 , . . . , λr ∈ R, λk xk = θ̃, справедливо утверждение∀k = 1, r(λk = 0).Утверждение (критерий линейной зависимости столбцов). Пусть N ∈ N.2.2. Линейная комбинация столбцов, линейная зависимость столбцов151. Пусть x ∈ RN . Столбец x является линейно зависимым тогда и только тогда,когда x = θ̃.2.
Пусть: r ∈ Z, r > 2, x1 , . . . , xr ∈ RN . Столбцы x1 , . . . , xr являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда существует номер k0 = 1, r, удовлетворяющийусловию xk0 ∈ L(x1 , . . . , xk0 −1 , xk0 +1 , . . . , xr ).Доказательство.1. Пусть x — линейно зависимый столбец. Тогда существует число λ ∈ R, удовлетворяющее условиям: λx = θ̃, λ 6= 0. Следовательно, x = θ̃.Пусть x = θ̃. Тогда 1x = θ̃. Так как 1 6= 0, то x — линейно зависимый столбец.2. Пусть x1 , .
. . , xr — линейно зависимые столбцы. Тогда существуют числа λ1 , . . . , λN ∈R, удовлетворяющие условиям: λk xk = θ̃, ∃k = 1, r(λk 6= 0). Выберем номер k0 = 1, r,удовлетворяющий условию λk0 6= 0. Тогда:λ1 x1 + · · · + λk0 −1 xk0 −1 + λk0 xk0 + λk0 +1 xk0 +1 + · · · + λr xr = θ̃,x k0 =−λ1−λk0 −1−λk0 +1−λrx1 + · · · +xk0 −1 +xk0 +1 + · · · +xr ,λ k0λ k0λ k0λ k0xk0 ∈ L(x1 , . . . , xk0 −1 , xk0 +1 , .
. . , xr ).∈Пусть существует номер k0 = 1, r, удовлетворяющий условию xk01k0 −1k0 +1rL(x1 , . . . , xk0 −1 , xk0 +1 , . . . , xr ). Тогда существуют числа λ , . . . , λ,λ, . . . , λ ∈ R, удовлетворяющие условию:xk0 = λ1 x1 + · · · + λk0 −1 xk0 −1 + λk0 +1 xk0 +1 + · · · + λr xr .Следовательно:(−λ1 )x1 + · · · + (−λk0 −1 )xk0 −1 + 1xk0 + (−λk0 +1 )xk0 +1 + · · · + (−λr )xr = θ̃.Так как 1 6= 0, то x1 , .
. . , xr — линейно зависимые столбцы.Утверждение (критерий линейной независимости столбцов). Пусть: N ∈ N; r ∈ N,x1 , . . . , xr ∈ RN . Столбцы x1 , . . . , xr являются линейно независимыми тогда и толькотогда, когда по любой линейной комбинации столбцов x1 , . . . , xr однозначно восстанавливаются её коэффициенты.Доказательство. Пусть x1 , . . . , xr — линейно независимые столбцы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
