А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Пусть: N ∈ N; A ∈ RN ×N . Обозначим, tr(A) = Akk . Очевидно, tr(A) ∈ R.Будем говорить, что tr(A) — след матрицы A.Утверждение. Пусть N ∈ N.1. Пусть A, B ∈ RN ×N . Тогда tr(A + B) = tr(A) + tr(B).2. Пусть: λ ∈ R, A ∈ RN ×N . Тогда tr(λA) = λ tr(A).3. Пусть A, B ∈ RN ×N . Тогда tr(AB) = tr(BA).4. Пусть A ∈ RN ×N .

Тогда tr(AT ) = tr(A).Доказательство.1. Очевидно:tr(A + B) =NXk=1(A +B)kk=NXk=1(Akk+Bkk )=NXk=1Akk+NXk=1Bkk = tr(A) + tr(B).3.6. Определители порядков 1, 2, 3412. Очевидно:tr(λA) =NX(λA)kk =k=1NXλAkk = λk=1NXAkk = λ tr(A).k=13. Очевидно:tr(AB) =NX(AB)kkk=1=N XNXAkm Bkmk=1 m=1=N XNXBkm Akm=k=1 m=1N XNXBkm Akm=m=1 k=1= tr(BA).NX(BA)mm =m=14. Очевидно:tr(AT ) =NXk=1(AT )kk =NXAkk = tr(A).k=13.6.

Определители порядков 1, 2, 3Определение. Пусть A ∈ R1×1 . Обозначим, det1 (A) = A11 . Очевидно, det1 : R1×1 =⇒ R.Будем говорить, что det1 — определитель в пространстве R1×1 .Пусть A ∈ R2×2 . Обозначим, det2 (A) = A11 A22 − A21 A12 . Очевидно, det2 : R2×2 =⇒ R.Будем говорить, что det2 — определитель в пространстве R2×2 .Пусть A ∈ R3×3 . Обозначим, det3 (A) = A11 A22 A33 +A31 A12 A23 +A21 A32 A13 −A31 A22 A13 −A11 A32 A23 −A21 A12 A33 . Очевидно, det3 : R3×3 =⇒ R.

Будем говорить, что det3 — определитель в пространстве R3×3 .Далее часто будем писать det вместо detN .Утверждение (доказывается прямой проверкой). Пусть N = 1, 3.1. Пусть: k = 1, N , A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN , X, Y ∈ RN . Тогда:det(A1 , . .

. , Ak−1 , X + Y, Ak+1 , . . . , AN ) == det(A1 , . . . , Ak−1 , X, Ak+1 , . . . , AN ) + det(A1 , . . . , Ak−1 , Y, Ak+1 , . . . , AN ).2. Пусть: k = 1, N , λ ∈ R, A1 , . . . , AN ∈ RN . Тогда:det(A1 , . . . , Ak−1 , λAk , Ak+1 , . . . , AN ) = λ det(A1 , . . . , AN ).3. Пусть: k, m = 1, N , k < m, A1 , . . . , AN ∈ RN , Ak = Am . Тогда:det(A1 , . . . , AN ) = 0.4. Справедливо утверждение:det(I) = 1.Утверждение.

Пусть N = 1, 3.1. Пусть: k, m = 1, N , k < m, A1 , . . . , AN ∈ RN . Тогда:det(A1 , . . . , Ak−1 , Am , Ak+1 , . . . , Am−1 , Ak , Am+1 , . . . , AN ) = − det(A1 , . . . , AN ).423. Матричная алгебра. Определители порядков 1, 2, 32. Пусть: k = 1, N , A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN ∈ RN .

Тогда:det(A1 , . . . , Ak−1 , θ̃, Ak+1 , . . . , AN ) = 0.3. Пусть: N > 2, k = 1, N , A1 , . . . , AN ∈ RN , Ak ∈ L(A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN ). Тогда:det(A1 , . . . , AN ) = 0.4. Пусть: A1 , . . . , AN ∈ RN , A1 , . . . , AN — линейно зависимые столбцы. Тогда:det(A1 , . . . , AN ) = 0.5. Пусть: N > 2, k = 1, N , A1 , . . . , AN ∈ RN , X ∈ L(A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , .

. . , AN ). Тогда:det(A1 , . . . , Ak−1 , Ak + X, Ak+1 , . . . , AN ) = det(A1 , . . . , AN ).6. Пусть: A ∈ RN ×N , k1 , . . . , kN = 1, N . Тогда:det(Ak1 , . . . , AkN ) = det(A) det(Ik1 , . . . , IkN ).7. Пусть A ∈ RN ×N . Тогда:det(A) = det(Ik1 , . . . , IkN )Ak11 · · · AkNN .8. Пусть A, B ∈ RN ×N . Тогда:det(BA) = det(B) det(A).9.

Пусть A ∈ RN ×N . Тогда:det(AT ) = det(A).Доказательство.1. Очевидно:det(A1 , . . . , Ak−1 , Ak + Am , Ak+1 , . . . , Am−1 , Ak + Am , Am+1 , . . . , AN ) = 0,det(A1 , . . . , Ak−1 , Ak , Ak+1 , . . . , Am−1 , Ak , Am+1 , . . . , AN ) ++ det(A1 , . . . , Ak−1 , Ak , Ak+1 , . . . , Am−1 , Am , Am+1 , . . . , AN ) ++ det(A1 , . . . , Ak−1 , Am , Ak+1 , . . . , Am−1 , Ak , Am+1 , . . .

, AN ) ++ det(A1 , . . . , Ak−1 , Am , Ak+1 , . . . , Am−1 , Am , Am+1 , . . . , AN ) = 0,det(A1 , . . . , AN ) + det(A1 , . . . , Ak−1 , Am , Ak+1 , . . . , Am−1 , Ak , Am+1 , . . . , AN ) = 0,det(A1 , . . . , Ak−1 , Am , Ak+1 , . . . , Am−1 , Ak , Am+1 , . . . , AN ) = − det(A1 , . . . , AN ).2. Очевидно:det(A1 , . . . , Ak−1 , θ̃, Ak+1 , . . . , AN ) = det(A1 , . . . , Ak−1 , 0θ̃, Ak+1 , . . .

, AN ) == 0 det(A1 , . . . , Ak−1 , θ̃, Ak+1 , . . . , AN ) = 0.3.6. Определители порядков 1, 2, 3433. Так как Ak ∈ L(A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN ), тосуществуют числа λ1 , . . . , λk−1 ,Pλk+1 , . . . , λN ∈ R, удовлетворяющие условию Ak =λm Am . Тогда:m=1,N , m6=kdet(A1 , . . . , AN ) = det A1 , . . . , Ak−1 ,=XXm=1,N , m6=kλm Am , Ak+1 , .

. . , AN =λm det(A1 , . . . , Ak−1 , Am , Ak+1 , . . . , AN ) = 0.m=1,N , m6=k4. Пусть N = 1. Так как A1 — линейно зависимый столбец, то A1 = θ̃. Тогда: det(A1 ) =det(θ̃) = 0.Пусть N > 2. Так как A1 , . . . , AN — линейно зависимые столбцы, то существуетномер k = 1, N , удовлетворяющий условию Ak ∈ L(A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN ). Тогдаdet(A1 , . . . , AN ) = 0.5. Очевидно:det(A1 , .

. . , Ak−1 , Ak + X, Ak+1 , . . . , AN ) == det(A1 , . . . , Ak−1 , Ak , Ak+1 , . . . , AN ) + det(A1 , . . . , Ak−1 , X, Ak+1 , . . . , AN ) == det(A1 , . . . , AN ).6. Пусть числа k1 , . . . , kN не являются различными. Тогда: det(Ak1 , . . . , AkN ) = 0,det(A) det(Ik1 , . . . , IkN ) = 0. Следовательно, det(Ak1 , . . . , AkN ) = det(A) det(Ik1 , . .

. , IkN ).Пусть k1 , . . . , kN — различные числа. Очевидно, {k1 , . . . , kN } = {1, . . . , N }. Тогда:det(A) = det(A) det(I),det(A1 , . . . , AN ) = det(A) det(I1 , . . . , IN ),det(Ak1 , . . . , AkN ) = det(A) det(Ik1 , . . . , IkN ).7. Очевидно:det(A) = det(A1 , . . . , AN ) = det(Ik1 Ak11 , . . . , IkN AkNN ) = det(Ik1 , . . . , IkN )Ak11 · · · AkNN .8. Очевидно:det(BA) = det (BA)1 , . . .

, (BA)N = det(Bk1 Ak11 , . . . , BkN AkNN ) == det(Bk1 , . . . , BkN )Ak11 · · · AkNN = det(B) det(Ik1 , . . . , IkN )Ak11 · · · AkNN = det(B) det(A).9. Утверждение доказывается прямой проверкой.Замечание. Пусть N = 1, 3. Обозначим: ε̃k1 ,...,kN = det(Ik1 , . . . , IkN ) при k1 , . . . , kN =1, N . Пусть k1 , . . . , kN = 1, N . Пусть числа k1 , . . .

, kN не являются различными. Тогдаε̃k1 ,...,kN = 0. Пусть k1 , . . . , kN — различные числа. Очевидно, {k1 , . . . , kN } = {1, . . . , N }.Тогда: |ε̃k1 ,...,kN | = |ε̃1,...,N | = 1.Пусть A ∈ RN ×N . Тогда det(A) = ε̃k1 ,...,kN Ak11 · · · AkNN .jОпределение.

Пусть: N = 2, 3; A ∈ RN ×N , i, j = 1, N . Обозначим через ∆i (A) определительматрицы, которая получается из матрицы A вычёркиванием столбца Ai и строки Aj . Будемjговорить, что ∆i (A) — минор матрицы A, дополнительный к элементу Aji . Будем говорить,jчто (−1)j+i ∆i (A) — алгебраическое дополнение элемента Aji в матрице A.443. Матричная алгебра. Определители порядков 1, 2, 3Утверждение (доказывается прямой проверкой). Пусть: N = 2, 3; A ∈ RN ×N , i0 = 1, N .Тогда:det(A) =NXj=1j(−1)j+i0 ∆i0 (A)Aji0 .4.

Скалярное, векторное, смешанное произведения45Лекция 4. Скалярное, векторное, смешанное произведения4.1. Скалярное произведениеОпределение. Пусть N = 1, 3.~ N . Будем говорить, что x, y — сонаправленные векторы, если ∃λ ∈Пусть x, y ∈ E(0, +∞)(y = λx). Будем говорить, что x, y — противоположно направленные векторы,если ∃λ ∈ (−∞, 0)(y = λx).→~ N . Пусть: A, B ∈ E N , x = −Пусть x ∈ EAB. Обозначим, kxk = ρ(A, B) (|x| = ρ(A, B)).Будем говорить, что kxk — норма вектора x (модуль вектора x, длина вектора x).Определение. Пусть N = 2, 3.~ N .

Пусть x = θ ∨ y = θ. Обозначим, ϕ(x, y) = 0. Пусть x, y 6= θ. Пусть: A,Пусть x, y ∈ E−→−→[ Будем говорить, что ϕ(x, y) —B, C ∈ E N , x = AB, y = AC. Обозначим, ϕ(x, y) = BAC.угол между векторами x, y.~ N . Обозначим, (x, y) = kxk·kyk cos ϕ(x, y) . Будем говорить, что (x, y) —Пусть x, y ∈ Eскалярное произведение векторов x, y.Утверждение. Пусть N = 2, 3.1.

Справедливо утверждение kθk = 0 (непосредственно следует из определениянормы вектора).~ N , x 6= θ. Тогда kxk > 0 (непосредственно следует из определе2. Пусть: x ∈ Eния нормы вектора).~ N . Тогда ϕ(x, y) = ϕ(y, x) (непосредственно следует из опреде3. Пусть x, y ∈ Eления угла между векторами).~ N , x, y 6= θ, x, y — сонаправленные векторы. Тогда ϕ(x, y) = 04. Пусть: x, y ∈ E(нетрудно доказать, используя определение угла между векторами).~ N , x, y 6= θ, x, y — противоположно направленные векторы. Тогда5.

Пусть: x, y ∈ Eϕ(x, y) = π (нетрудно доказать, используя определение угла между векторами).~ N , x, y — линейно независимые векторы. Тогда ϕ(x, y) ∈ (0, π)6. Пусть: x, y ∈ E(нетрудно доказать, используя определение угла между векторами).~ N . Тогда (θ, x) = 0 (непосредственно следует из определения7. Пусть x ∈ Eскалярного произведения).~ N . Тогда (x, θ) = 0 (непосредственно следует из определения8. Пусть x ∈ Eскалярного произведения).−→~ N ; I1 ∈ l+ (O, A), I2 , . .

. , IN ∈ E N ,9. Пусть: O, A ∈ E N , x = OA, x 6= θ, y ∈ Eρ(O, I1 ), . . . , ρ(O, IN ) = 1, l∗ (O, I1 ), . . . , l∗ (O, IN ) — попарно перпендикулярные прямые;h — аффинная координатная карта в пространстве E N , соответствующая точкам O,I1 , . . . , IN .

Характеристики

Список файлов книги