А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Обозначимчерез P1 точку, удовлетворяющую условиям: P1 ∈ l1 , P1 ∈ l. Обозначим через P2 точку,симметричную точке P относительно прямой l. Очевидно:−→ −−→−→ −−→(N, OP − OP0 )PL(N ) (OP − OP0 ) =N,kN k2−→ −−→−−→PL(N ) (OP − OP0 ) = P1 P ,−→ −−→ (N, OP − OP0 )−→−−→ρ(P, l) = PL(N ) (OP − OP0 ) =,kN k−−→ −→−→ −−→OP1 = OP − PL(N ) (OP − OP0 ),−−→ −→−→ −−→OP2 = OP − 2PL(N ) (OP − OP0 ).−→ −−→Очевидно, утверждение P ∈ l справедливо тогда и только тогда, когда PL(N ) (OP − OP0 ) =θ.5.2. Плоскости в пространстве E 3Обозначим: n =1N,kN k59−→ −−→δ(P, l; n) = (n, OP − OP0 ). Очевидно:−→ −−→(N, OP − OP0 ),δ(P, l; n) =kN k−→ −−→PL(N ) (OP − OP0 ) = δ(P, l; n)n,ρ(P, l) = δ(P, l; n).Очевидно, утверждение P ∈ l справедливо тогда и только тогда, когда δ(P, l; n) = 0.Очевидно, точка P лежит в той (открытой) полуплоскости, в которую направлен векторN тогда и только тогда, когда δ(P, l; n) > 0.
Очевидно, точка P лежит не в той (открытой)полуплоскости, в которую направлен вектор N тогда и только тогда, когда δ(P, l; n) < 0.5.2. Плоскости в пространстве E 3Утверждение. Пусть: π — плоскость в пространстве E 3 ; A0 ∈ π, O, I1 , I2 — аффинно−−→−−→независимые точки плоскости π, e1 = OI1 , e2 = OI2 . Справедливо утверждение: A ∈ π−−→тогда и только тогда, когда: A ∈ E 3 , A0 A ∈ L(e1 , e2 ).−−→ −−−→Доказательство. Пусть A ∈ π.
Тогда A ∈ E 3 . Пусть A = A0 . Тогда: A0 A = A0 A0 = θ ∈L(e1 , e2 ).Пусть A 6= A0 . Очевидно, существует точка A′ , удовлетворяющая условиям: A′ ∈ E 3 ,−−→′−−→OA = A0 A. Тогда: A′ 6= O, l∗ (O, A′ ) k l∗ (A0 , A). Так как: A0 , A ∈ l∗ (A0 , A), A0 , A ∈ π,A0 , A — аффинно независимые точки, то l∗ (A0 , A) ⊆ π. Так как l∗ (O, A′ ) k l∗ (A0 , A), тоl∗ (O, A′ ) k π.
Так как: O ∈ l∗ (O, A′ ), O ∈ π, то l∗ (O, A′ ) ⊆ π. Так как A′ ∈ l∗ (O, A′ ), то−−→−−→A′ ∈ π. Тогда OA′ ∈ L(e1 , e2 ). Следовательно, A0 A ∈ L(e1 , e2 ).−−→Пусть: A ∈ E 3 , A0 A ∈ L(e1 , e2 ). Пусть A = A0 . Тогда: A = A0 ∈ π.Пусть A 6= A0 . Очевидно, существует точка A′ , удовлетворяющая условиям: A′ ∈ E 3 ,−−→′ −−→−−→−−→OA = A0 A. Тогда: A′ 6= O, l∗ (O, A′ ) k l∗ (A0 , A). Так как A0 A ∈ L(e1 , e2 ), то OA′ ∈ L(e1 , e2 ).Тогда A′ ∈ π. Так как: O, A′ ∈ l∗ (O, A′ ), O ∈ π, O, A′ — аффинно независимые точки, тоl∗ (O, A′ ) ⊆ π. Так как l∗ (A0 , A) k l∗ (O, A′ ), то l∗ (A0 , A) k π.
Так как: A0 ∈ l∗ (A0 , A), A0 ∈ π,то l∗ (A0 , A) ⊆ π. Так как A ∈ l∗ (A0 , A), то A ∈ π.Определение. Пусть π — плоскость в пространстве E 3 .−→ −→Пусть: A, B, C ∈ π, A, B, C — аффинно независимые точки, τ1 = AB, τ2 AC. Будемговорить, что τ1 , τ2 — направляющие векторы плоскости π.~ 3 , ∀A ∈ π∀B ∈ π(N ⊥Будем говорить, что N — нормаль к плоскости π, если: N ∈ E−→AB).Замечание. Пусть: π — плоскость в пространстве E 3 , P0 ∈ π, τ1 , τ2 — направляющиевекторы плоскости π. Очевидно, τ1 , τ2 — линейно независимые векторы.Пусть P ∈ E 3 . Запишем необходимое и достаточное условие того, что P ∈ π:−−→P0 P ∈ L(τ1 , τ2 );−−→∃u1 ∈ R∃u2 ∈ R(P0 P = u1 τ1 + u2 τ2 ).Последнее условие обычно записывают в виде уравнения:−−→P0 P = u1 τ1 + u2 τ2 , u1 ∈ R, u2 ∈ R.5.
Прямые в пространстве E 2 . Прямые и плоскости в пространстве E 360~ 3 ; x̃0 = hO,e (P0 ), τ̃1 = [τ1 ](e), τ̃2 = [τ2 ](e).Пусть: O ∈ E 3 , e — базис пространства EТак как τ1 , τ2 — линейно независимые векторы, то τ̃1 , τ̃2 — линейно независимые столбцы.Пусть: P ∈ E 3 , x̃ = hO,e (P ). Очевидно, необходимое и достаточное условие того, что P ∈ πможно записать в виде:−→ −−→OP − OP0 = u1 τ1 + u2 τ2 , u1 ∈ R, u2 ∈ R;−→ −−→OP = OP0 + u1 τ1 + u2 τ2 , u1 ∈ R, u2 ∈ R;x̃ = x̃0 + u1 τ̃1 + u2 τ̃2 , u1 ∈ R, u2 ∈ R.Очевидно, необходимое и достаточное условие того, что P ∈ π можно записать в виде:x̃ − x̃0 ∈ L(τ̃1 , τ̃2 ).Так как τ̃1 , τ̃2 — линейно независимые столбцы, то последнее условие можно переписатьв виде:Обозначим:x̃ − x̃0 , τ̃1 , τ̃2 — линейно 1x̃ − x̃10 τ̃11 2x̃ − x̃20 τ̃12 3x̃ − x̃30 τ̃13зависимые столбцы;τ̃21 τ̃22 = 0.τ̃23 2 2 1 1 1 1τ̃1 τ̃2 τ̃1 τ̃2 τ̃ τ̃ A1 = 3 3 , A2 = − 3 3 , A3 = 12 22 .τ̃1 τ̃2τ̃1 τ̃2τ̃1 τ̃2Так как τ̃1 , τ̃2 — линейно независимые столбцы, то A1 6= 0 ∨ A2 6= 0 ∨ A3 6= 0.
Очевидно,необходимое и достаточное условие того, что P ∈ π можно записать в виде:A1 (x̃1 − x̃10 ) + A2 (x̃2 − x̃20 ) + A3 (x̃3 − x̃30 ) = 0.Обозначим, B = −(A1 x̃10 +A2 x̃20 +A3 x̃30 ). Тогда последнее условие можно переписать в виде:A1 x̃1 + A2 x̃2 + A3 x̃3 + B = 0.Пусть e — ортонормированный базис. Обозначим, N = A1 e1 + A2 e2 + A3 e3 . Так как A1 6=0 ∨ A2 6= 0 ∨ A3 6= 0, то N 6= θ. Очевидно, необходимое и достаточное условие того, чтоP ∈ π можно записать в виде:−→ −−→(N, OP − OP0 ) = 0;−→(N, OP ) + B = 0.−→ −−→Рассмотрим ортогональную проекцию PL(N ) (OP − OP0 ).
Обозначим через l1 прямую,удовлетворяющую условиям: l1 — прямая в пространстве E 3 , P ∈ l1 , l1 ⊥ π. Обозначимчерез P1 точку, удовлетворяющую условиям: P1 ∈ l1 , P1 ∈ π. Обозначим через P2 точку,симметричную точке P относительно плоскости π.
Очевидно:−→ −−→−→ −−→(N, OP − OP0 )N,PL(N ) (OP − OP0 ) =kN k25.3. Прямые в пространстве E 361−→ −−→−−→PL(N ) (OP − OP0 ) = P1 P ,−→ −−→ (N, OP − OP0 )−→−−→ρ(P, l) = PL(N ) (OP − OP0 ) =,kN k−−→ −→−→ −−→OP1 = OP − PL(N ) (OP − OP0 ),−−→ −→−→ −−→OP2 = OP − 2PL(N ) (OP − OP0 ).−→ −−→Очевидно, утверждение P ∈ π справедливо тогда и только тогда, когда PL(N ) (OP − OP0 ) =θ.−→ −−→Обозначим: n = kN1 k N , δ(P, π; n) = (n, OP − OP0 ). Очевидно:−→ −−→(N, OP − OP0 ),δ(P, π; n) =kN k−→ −−→PL(N ) (OP − OP0 ) = δ(P, π; n)n,ρ(P, l) = δ(P, π; n).Очевидно, утверждение P ∈ π справедливо тогда и только тогда, когда δ(P, π; n) = 0.Очевидно, точка P лежит в том (открытом) полупространстве, в которое направлен векторN тогда и только тогда, когда δ(P, π; n) > 0.
Очевидно, точка P лежит не в том (открытом)полупространстве, в которое направлен вектор N тогда и только тогда, когда δ(P, π; n) < 0.5.3. Прямые в пространстве E 3Утверждение. Пусть: l — прямая в пространстве E 3 ; A0 ∈ l, O, I1 — аффинно неза−−→висимые точки прямой l, e1 = OI1 . Справедливо утверждение: A ∈ l тогда и только−−→тогда, когда: A ∈ E 3 , A0 A ∈ L(e1 ).−−−→−−→Доказательство. Пусть A ∈ l. Тогда A ∈ E 3 . Пусть A = A0 . Тогда: A0 A = A0 A0 = θ ∈L(e1 ).Пусть A 6= A0 . Очевидно, существует точка A′ , удовлетворяющая условиям: A′ ∈ E 2 ,−−→′−−→OA = A0 A. Тогда: A′ 6= O, l∗ (O, A′ ) k l∗ (A0 , A).
Так как: A0 , A ∈ l, A0 , A — аффиннонезависимые точки, то l∗ (A0 , A) = l. Так как l∗ (O, A′ ) k l∗ (A0 , A), то l∗ (O, A′ ) k l. Так как:−−→O ∈ l∗ (O, A′ ), O ∈ l, то l∗ (O, A′ ) = l. Так как A′ ∈ l∗ (O, A′ ), то A′ ∈ l. Тогда OA′ ∈ L(e1 ).−−→Следовательно, A0 A ∈ L(e1 ).−−→Пусть: A ∈ E 3 , A0 A ∈ L(e1 ). Пусть A = A0 . Тогда: A = A0 ∈ l.Пусть A 6= A0 . Очевидно, существует точка A′ , удовлетворяющая условиям: A′ ∈ E 2 ,−−→′−−→−−→−−→OA = A0 A. Тогда: A′ 6= O, l∗ (O, A′ ) k l∗ (A0 , A). Так как A0 A ∈ L(e1 ), то OA′ ∈ L(e1 ).Тогда A′ ∈ l.
Так как: O ∈ l, O, A′ — аффинно независимые точки, то l∗ (O, A′ ) = l. Таккак l∗ (A0 , A) k l∗ (O, A′ ), то l∗ (A0 , A) k l. Так как: A0 ∈ l∗ (A0 , A), A0 ∈ l, то l∗ (A0 , A) = l.Так как A ∈ l∗ (A0 , A), то A ∈ l.Определение. Пусть l — прямая в пространстве E 3 .−→Пусть: A, B ∈ l, A, B — аффинно независимые точки, τ = AB. Будем говорить, чтоτ — направляющий вектор прямой l.→~ 2 , ∀A ∈ l∀B ∈ l(N ⊥ −Будем говорить, что N — нормаль к прямой l, если: N ∈ EAB).625. Прямые в пространстве E 2 . Прямые и плоскости в пространстве E 3Замечание.
Пусть: l — прямая в пространстве E 3 , P0 ∈ l, τ — направляющий векторпрямой l. Очевидно, τ 6= θ.Пусть P ∈ E 3 . Запишем необходимое и достаточное условие того, что P ∈ l:−−→P0 P ∈ L(τ );−−→∃t ∈ R(P0 P = tτ ).Последнее условие обычно записывают в виде уравнения:−−→P0 P = tτ , t ∈ R.~ 2 ; x̃0 = hO,e (P0 ), τ̃ = [τ ](e). Так как τ 6= θ,Пусть: O ∈ E 3 , e — базис пространства E3то τ̃ 6= θ̃. Пусть: P ∈ E , x̃ = hO,e (P ). Очевидно, необходимое и достаточное условие того,что P ∈ l можно записать в виде:−→ −−→OP − OP0 = tτ , t ∈ R;−→ −−→OP = OP0 + tτ , t ∈ R;x̃ = x̃0 + tτ̃ , t ∈ R.Очевидно, необходимое и достаточное условие того, что P ∈ l можно записать в виде:x̃ − x̃0 ∈ L(τ̃ ).Так как τ̃ 6= θ̃, то последнее условие можно переписать в виде:x̃ − x̃0 , τ̃ — линейно 2x̃ − x̃20 3x̃ − x̃30 1x̃ − x̃10 3x̃ − x̃30 1x̃ − x̃10 2x̃ − x̃20зависимые столбцы;τ̃ 2 = 0,τ̃ 3 τ̃ 1 = 0,τ̃ 3 τ̃ 1 = 0;τ̃ 2 τ̃ 3 (x̃2 − x̃20 ) − τ̃ 2 (x̃3 − x̃30 ) = 0,τ̃ 3 (x̃1 − x̃10 ) − τ̃ 1 (x̃3 − x̃30 ) = 0,τ̃ 2 (x̃1 − x̃10 ) − τ̃ 1 (x̃2 − x̃20 ) = 0;τ̃ 3 (x̃2 − x̃20 ) = τ̃ 2 (x̃3 − x̃30 ),τ̃ 3 (x̃1 − x̃10 ) = τ̃ 1 (x̃3 − x̃30 ),τ̃ 2 (x̃1 − x̃10 ) = τ̃ 1 (x̃2 − x̃20 ).Последнее условие обычно записывают виде пропорции:x̃2 − x̃20x̃3 − x̃30x̃1 − x̃10==.τ̃ 1τ̃ 2τ̃ 3Так как τ̃ 6= θ̃, то нетрудно доказать, что среди строк (0, τ̃ 3 , −τ̃ 2 ), (τ̃ 3 , 0, −τ̃ 1 ),(τ̃ 2 , −τ̃ 1 , 0) есть две линейно независимые строки.
Нетрудно доказать, что (0, τ̃ 3 , −τ̃ 2 ),(τ̃ 3 , 0, −τ̃ 1 ), (τ̃ 2 , −τ̃ 1 , 0) — линейно зависимые строки. Тогда существуют числа A11 , A12 ,5.3. Прямые в пространстве E 363A13 , A21 , A22 , A23 ∈ R, удовлетворяющие условиям: (A11 , A12 , A13 ), (A21 , A22 , A23 ) — линейно независимые строки; необходимое и достаточное условие того, что P ∈ l можно записать ввиде:A11 (x̃1 − x̃10 ) + A12 (x̃2 − x̃20 ) + A13 (x̃3 − x̃30 ) = 0,A21 (x̃1 − x̃10 ) + A22 (x̃2 − x̃20 ) + A23 (x̃3 − x̃30 ) = 0.Обозначим: B 1 = −(A11 x̃10 + A12 x̃20 + A13 x̃30 ), B 2 = −(A21 x̃10 + A22 x̃20 + A23 x̃30 ). Тогда последнееусловие можно переписать в виде:A11 x̃1 + A12 x̃2 + A13 x̃3 + B 1 = 0,A21 x̃1 + A22 x̃2 + A23 x̃3 + B 2 = 0.Пусть e — ортонормированный базис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
