А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Пусть x, y — линейно зависимые векторы. Тогда: [x, y] = θ, [x, y]e = θ. Следовательно,[x, y] = [x, y]e .~ 3 , [x, y]e = kxk ·Пусть x,y — линейно независимые векторы. Так как: [x, y]e ∈ Ekyk sin ϕ(x, y) , [x, y]e ⊥ x, y; x, y, [x, y]e — правыйбазис, то [x, y] = [x, y]e .16. Очевидно: (x, y, z) = [x, y], z = [x, y]e , z = (x, y, z)e .Утверждение.1. Пусть: A, B, C ∈ E 3 , S — площадь параллелограмма со сторонами [A, B], [A, C]. −→ −→ Тогда [AB, AC] = S.2.
Пусть: A, B, C, D ∈ E 3 , V — объём параллелепипеда со сторонами [A, B], [A, C], −→ −→ −−→ [A, D]. Тогда (AB, AC, AD) = V .~ 3 . Векторы x, y, z являются линейно зависимыми тогда и только3. Пусть x, y, z ∈ Eтогда, когда (x, y, z) = 0.~ 3 , (x, y, z) > 0. Тогда x, y, z — правый базис пространства E~ 3.4.
Пусть: x, y, z ∈ E~ 3 , (x, y, z) < 0. Тогда x, y, z — левый базис пространства E~ 3.5. Пусть: x, y, z ∈ E~ 3 . Тогда x, [y, z] + z, [x, y] + y, [z, x] = θ (равенство Якоби).6. Пусть x, y, z ∈ EДоказательство.1. Пусть A, B, C — аффинно зависимые точки. Тогда S = 0. Так какA, B, C —−−→ −→→ −→аффинно зависимые точки, то AB, AC — линейно зависимые векторы.
Тогда [AB, AC] = −→ −→ 0. Следовательно, S = [AB, AC].Пусть A, B, C — аффинно независимые точки. Обозначим через l прямую, удовлетворяющую условиям: l — прямая в пространстве E 3 , l ⊆ π∗ (A, B, C), C ∈ l, l ⊥ l∗ (A, B).Обозначим через C1 точку, удовлетворяющую условиям: C1 ∈ l, C1 ∈ l∗ (A, B). Пусть:C1 ∈ l+ (A, B), C1 6= A. Тогда:\[S = ρ(A, B)ρ(C1 , C) = ρ(A, B)ρ(A, C) sin(C1 AC) = ρ(A, B)ρ(A, C) sin(BAC) =−→−→−→ −→ −→ −→ = kABk · kACk sin ϕ(AB, AC) = [AB, AC].Пусть C1 = A. Тогда:S = ρ(A, B)ρ(C1 , C) = ρ(A, B)ρ(A, C) sinπ 2[ == ρ(A, B)ρ(A, C) sin(BAC)4.3. Векторное и смешанное произведения55−→−→−→ −→ −→ −→ = kABk · kACk sin ϕ(AB, AC) = [AB, AC].Пусть C1 ∈/ l+ (A, B).
Тогда:\[S = ρ(A, B)ρ(C1 , C) = ρ(A, B)ρ(A, C) sin(C1 AC) = ρ(A, B)ρ(A, C) sin(π − BAC) = −→ −→ −→−→−→−→[ = kABk · kACk sin ϕ(AB, AC) = [AB, AC].= ρ(A, B)ρ(A, C) sin(BAC)2. Пусть A, B, C, D — аффинно зависимые точки. Тогда V = 0. Так как A, B, C,−→ −→ −−→D—аффиннозависимыеточки,тоAB, AC, AD — линейнозависимые векторы. Тогда −→ −→ −−→ −→−→−−→(AB, AC, AD) = 0. Следовательно, V = (AB, AC, AD).Пусть A, B, C, D — аффинно независимые точки. Обозначим через S площадь параллелограмма со сторонами [A, B], [A, C]. Обозначим через l прямую, удовлетворяющуюусловиям: l — прямая в пространстве E 3 , D ∈ l, l ⊥ π∗ (A, B, C).
Обозначим через D1точку, удовлетворяющую условиям: D1 ∈ l, D1 ∈ π∗ (A, B, C). Тогда: −→ −→ −−→ −→ −→ −−→=\V = Sρ(D1 , D) = Sρ(A, D) cos(D1 DA) = [AB, AC] · kADk · cos ϕ [AB, AC], AD −→ −→ −−→ −→ −→ −−→ = [AB, AC], AD = (AB, AC, AD).3. Пусть x, y, z — линейно зависимые векторы. Тогда (x, y, z) = 0.Пусть (x, y, z) = 0. Очевидно, существуют точки A, B, C, D, удовлетворяющие усло−→−→−−→виям: A, B, C, D ∈ E 3 , x = AB, y = AC, z = AD. Обозначим через V объём параллелепипеда со сторонами [A, B], [A, C], [A, D]. Тогда: V = (x, y, z) = 0. Следовательно, A, B,C, D — аффинно зависимые точки. Тогда x, y, z — линейно зависимые векторы.4.
Так как (x, y, z) 6= 0, то x, y, z — линейно независимые векторы. Так как (x, y, z) > 0,~ 3.то x, y, z — правый базис пространства E5. Так как (x, y, z) 6= 0, то x, y, z — линейно независимые векторы. Так как (x, y, z) < 0,~ 3.то x, y, z — левый базис пространства E6. Очевидно: x, [y, z] + z, [x, y] + y, [z, x] == y(x, z) − z(x, y) + x(z, y) − y(z, x) + z(y, x) − x(y, z) = θ.Утверждение. Пусть x̃, ỹ ∈ R3 .
Столбцы x̃, ỹ являются линейно зависимыми тогда итолько тогда, когда: 2 2 1 1 1 1x̃ ỹ 3 3 = 0, x̃3 ỹ 3 = 0, x̃2 ỹ 2 = 0.x̃ ỹ x̃ ỹ x̃ ỹ Доказательство. Пусть x̃, ỹ — линейно зависимые столбцы. Тогда: (x̃2 , x̃3 )T , (ỹ 2 , ỹ 3 )T —линейно зависимые столбцы, (x̃1 , x̃3 )T , (ỹ 1 , ỹ 3 )T — линейно зависимые столбцы, (x̃1 , x̃2 )T ,(ỹ 1 , ỹ 2 )T — линейно зависимые столбцы.
Следовательно: 2 2 1 1 1 1x̃ ỹ 3 3 = 0, x̃3 ỹ 3 = 0, x̃2 ỹ 2 = 0.x̃ ỹ x̃ ỹ x̃ ỹ Пусть: 2 2x̃ ỹ 3 3 = 0,x̃ ỹ 1 1x̃ ỹ 3 3 = 0,x̃ ỹ 1 1x̃ ỹ 2 2 = 0.x̃ ỹ 564. Скалярное, векторное, смешанное произведенияПусть e — ортонормированный базис пространства E 3 . Обозначим: x = x̃k ek , y = ỹ k ek .Тогда: 2 2 1 1 1 1x̃ ỹ x̃ ỹ x̃ ỹ [x, y] = sgn(e) 3 3 e1 − sgn(e) 3 3 e2 + sgn(e) 2 2 e3 = θ.x̃ ỹx̃ ỹx̃ ỹСледовательно, x, y — линейно зависимые векторы. Тогда x̃, ỹ — линейно зависимыестолбцы.Утверждение.
Пусть x̃, ỹ ∈ R2 . Столбцы x̃, ỹ являются линейно зависимыми тогда итолько тогда, когда det(x̃, ỹ) = 0.Доказательство. Пусть x̃, ỹ — линейно зависимые столбцы. Тогда det(x̃, ỹ) = 0.Пусть det(x̃, ỹ) = 0. Пусть e — ортонормированный базис пространства E 3 . Обозначим:x = x̃1 e1 + x̃2 e2 , y = ỹ 1 e1 + ỹ 2 e2 . Тогда: 2 2 1 1 1 1x̃ ỹ x̃ ỹ x̃ ỹ [x, y] = sgn(e) e1 − sgn(e) e2 + sgn(e) 2 2 e3 = θ.0 00 0x̃ ỹСледовательно, x, y — линейно зависимые векторы. Тогда (x̃1 , x̃2 , 0)T , (ỹ 1 , ỹ 2 , 0)T — линейнозависимые столбцы. Следовательно, x̃, ỹ — линейно зависимые столбцы.Утверждение. Пусть x̃, ỹ, z̃ ∈ R3 . Столбцы x̃, ỹ, z̃ являются линейно зависимымитогда и только тогда, когда det(x̃, ỹ, z̃) = 0.Доказательство.
Пусть x̃, ỹ, z̃ — линейно зависимые столбцы. Тогда det(x̃, ỹ, z̃) = 0.Пусть det(x̃, ỹ, z̃) = 0. Пусть e — ортонормированный базис пространства E 3 . Обозначим: x = x̃k ek , y = ỹ k ek , z = z̃ k ek . Тогда: (x, y, z) = sgn(e) det(x̃, ỹ, z̃) = 0. Следовательно,x, y, z — линейно зависимые векторы. Тогда x̃, ỹ, z̃ — линейно зависимые столбцы.5. Прямые в пространстве E 2 . Прямые и плоскости в пространстве E 357Лекция 5.
Прямые в пространстве E 2. Прямые и плоскости в пространстве E 35.1. Прямые в пространстве E 2Утверждение. Пусть: l — прямая в пространстве E 2 ; A0 ∈ l, O, I1 — аффинно неза−−→висимые точки прямой l, e1 = OI1 . Справедливо утверждение: A ∈ l тогда и только−−→тогда, когда: A ∈ E 2 , A0 A ∈ L(e1 ).−−→−−−→Доказательство. Пусть A ∈ l.
Тогда A ∈ E 2 . Пусть A = A0 . Тогда: A0 A = A0 A0 = θ ∈L(e1 ).Пусть A 6= A0 . Очевидно, существует точка A′ , удовлетворяющая условиям: A′ ∈ E 2 ,−−→′−−→OA = A0 A. Тогда: A′ 6= O, l∗ (O, A′ ) k l∗ (A0 , A). Так как: A0 , A ∈ l, A0 , A — аффиннонезависимые точки, то l∗ (A0 , A) = l. Так как l∗ (O, A′ ) k l∗ (A0 , A), то l∗ (O, A′ ) k l. Так как:−−→O ∈ l∗ (O, A′ ), O ∈ l, то l∗ (O, A′ ) = l. Так как A′ ∈ l∗ (O, A′ ), то A′ ∈ l.
Тогда OA′ ∈ L(e1 ).−−→Следовательно, A0 A ∈ L(e1 ).−−→Пусть: A ∈ E 2 , A0 A ∈ L(e1 ). Пусть A = A0 . Тогда: A = A0 ∈ l.Пусть A 6= A0 . Очевидно, существует точка A′ , удовлетворяющая условиям: A′ ∈ E 2 ,−−→′−−→−−→−−→OA = A0 A. Тогда: A′ 6= O, l∗ (O, A′ ) k l∗ (A0 , A). Так как A0 A ∈ L(e1 ), то OA′ ∈ L(e1 ).Тогда A′ ∈ l. Так как: O ∈ l, O, A′ — аффинно независимые точки, то l∗ (O, A′ ) = l. Таккак l∗ (A0 , A) k l∗ (O, A′ ), то l∗ (A0 , A) k l. Так как: A0 ∈ l∗ (A0 , A), A0 ∈ l, то l∗ (A0 , A) = l.Так как A ∈ l∗ (A0 , A), то A ∈ l.Определение. Пусть l — прямая в пространстве E 2 .−→Пусть: A, B ∈ l, A, B — аффинно независимые точки, τ = AB. Будем говорить, чтоτ — направляющий вектор прямой l.→~ 2 , ∀A ∈ l∀B ∈ l(N ⊥ −Будем говорить, что N — нормаль к прямой l, если: N ∈ EAB).Замечание.
Пусть: l — прямая в пространстве E 2 , P0 ∈ l, τ — направляющий векторпрямой l. Очевидно, τ 6= θ.Пусть P ∈ E 2 . Запишем необходимое и достаточное условие того, что P ∈ l:−−→P0 P ∈ L(τ );−−→∃t ∈ R(P0 P = tτ ).Последнее условие обычно записывают в виде уравнения:−−→P0 P = tτ , t ∈ R.~ 2 ; x̃0 = hO,e (P0 ), τ̃ = [τ ](e). Так как τ 6= θ,Пусть: O ∈ E 2 , e — базис пространства E2то τ̃ 6= θ̃. Пусть: P ∈ E , x̃ = hO,e (P ). Очевидно, необходимое и достаточное условие того,что P ∈ l можно записать в виде:−→ −−→OP − OP0 = tτ , t ∈ R;−→ −−→OP = OP0 + tτ , t ∈ R;x̃ = x̃0 + tτ̃ , t ∈ R.585. Прямые в пространстве E 2 .
Прямые и плоскости в пространстве E 3Очевидно, необходимое и достаточное условие того, что P ∈ l можно записать в виде:x̃ − x̃0 ∈ L(τ̃ ).Так как τ̃ 6= θ̃, то последнее условие можно переписать в виде:x̃ − x̃0 , τ̃ — линейно зависимые столбцы; 1x̃ − x̃10 τ̃ 1 2x̃ − x̃20 τ̃ 2 = 0;τ̃ 2 (x̃1 − x̃10 ) − τ̃ 1 (x̃2 − x̃20 ) = 0;τ̃ 2 (x̃1 − x̃10 ) = τ̃ 1 (x̃2 − x̃20 ).Последнее условие обычно записывают виде пропорции:x̃2 − x̃20x̃1 − x̃10=.τ̃ 1τ̃ 2Обозначим: A1 = τ̃ 2 , A2 = −τ̃ 1 .
Так как τ̃ 6= θ̃, то A1 6= 0 ∨ A2 6= 0. Очевидно,необходимое и достаточное условие того, что P ∈ l можно записать в виде:A1 (x̃1 − x̃10 ) + A2 (x̃2 − x̃20 ) = 0.Обозначим, B = −(A1 x̃10 + A2 x̃20 ). Тогда последнее условие можно переписать в виде:A1 x̃1 + A2 x̃2 + B = 0.Пусть e — ортонормированный базис.
Обозначим, N = A1 e1 +A2 e2 . Так как A1 6= 0∨A2 6= 0,то N 6= θ. Очевидно, необходимое и достаточное условие того, что P ∈ l можно записатьв виде:−→ −−→(N, OP − OP0 ) = 0;−→(N, OP ) + B = 0.−→ −−→Рассмотрим ортогональную проекцию PL(N ) (OP − OP0 ). Обозначим через l1 прямую,удовлетворяющую условиям: l1 — прямая в пространстве E 2 , P ∈ l1 , l1 ⊥ l.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
