А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пусть ϕ1 , ϕ2 ∈ R. Тогда:cos(ϕ1 ) + i sin(ϕ1 ) cos(ϕ2 ) + i sin(ϕ2 ) == cos(ϕ1 ) cos(ϕ2 ) + i cos(ϕ1 ) sin(ϕ2 ) + i sin(ϕ1 ) cos(ϕ2 ) − sin(ϕ1 ) sin(ϕ2 ) == cos(ϕ1 ) cos(ϕ2 ) − sin(ϕ1 ) sin(ϕ2 ) + i sin(ϕ1 ) cos(ϕ2 ) + cos(ϕ1 ) sin(ϕ2 ) == cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 ).Пусть ϕ ∈ R. Очевидно, cos(ϕ) + i sin(ϕ) 6= 0. Очевидно:−1cos(ϕ) + i sin(ϕ) cos(ϕ) + i sin(ϕ)= 1.С другой стороны:cos(ϕ) + i sin(ϕ) cos(−ϕ) + i sin(−ϕ) = cos(0) + i sin(0) = 1.−1= cos(−ϕ) + i sin(−ϕ).Так как cos(ϕ) + i sin(ϕ) 6= 0, то cos(ϕ) + i sin(ϕ)Замечание.
Пусть: z1 , z2 ∈ C, ϕ1 ∈ Arg(z1 ), ϕ2 ∈ Arg(z2 ). Тогда:|z2 | cos(ϕ2 ) + i sin(ϕ2 ) =z1 z2 = |z1 | cos(ϕ1 ) + i sin(ϕ1 )= |z1 | · |z2 | cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 ) .Следовательно: |z1 z2 | = |z1 | · |z2 |, ϕ1 + ϕ2 ∈ Arg(z1 z2 ).Пусть: z ∈ C, z 6= 0, ϕ ∈ Arg(z). Тогда:−1= |z|−1 cos(−ϕ) + i sin(−ϕ) .z −1 = |z| cos(ϕ) + i sin(ϕ)Следовательно: |z −1 | = |z|−1 , −ϕ ∈ Arg(z −1 ).«Малый аргумент»Пусть: α ∈ R, z ∈ C, z 6= 0. Существует единственное число ϕ, удовлетворяющее условиям:ϕ ∈ Arg(z), α 6 ϕ < α + 2π.
Обозначим, argα (z) = ϕ.Пусть: α ∈ R, z = 0. Обозначим, argα (z) = α.Пусть: α ∈ R, z ∈ C, z 6= 0. Существует единственное число ϕ, удовлетворяющееусловиям: ϕ ∈ Arg(z), α < ϕ 6 α + 2π. Обозначим, arg∗α (z) = ϕ.Пусть: α ∈ R, z = 0. Обозначим, arg∗α (z) = α + 2π.6.3.
Основные функции комплексной переменной69Замечание(выражение для arg∗−π (z)). Пусть: z ∈ C, z 6= 0, x = Re(z), y = Im(z). Тогдаp|z| = x2 + y 2 . Пусть ϕ = arg∗−π (z). Тогда:ϕ ∈ (−π, π], cos(ϕ) = p x,x2 + y 2y. sin(ϕ) = p 2x + y2Пусть x 6= 0. Тогда: ϕ ∈ R, cos(ϕ) 6= 0, tg(ϕ) = xy . Следовательно, существует число k,удовлетворяющее условиям: k ∈ Z, ϕ = arctg xy + πk.1. Пусть x > 0. Тогда: ϕ ∈ (−π, π], cos(ϕ) > 0.
Следовательно, ϕ ∈ − π2 , π2 . Тогдаϕ = arctg xy .2. Пусть: x = 0, y > 0. Тогда: ϕ ∈ (−π, π], cos(ϕ) = 0, sin(ϕ) > 0. Следовательно, ϕ = π2 .3. Пусть: x = 0, y < 0. Тогда: ϕ ∈ (−π, π], cos(ϕ) = 0, sin(ϕ) < 0. Следовательно,ϕ = − π2 .4. Пусть:ϕ ∈ (−π, π], cos(ϕ) < 0, sin(ϕ) > 0. Следовательно, x < 0, y > 0. yТогда:πϕ ∈ 2 , π . Тогда ϕ = arctg x + π.5. Пусть: x < 0, y < 0. Тогда: ϕ ∈ (−π, π], cos(ϕ) < 0, sin(ϕ) < 0. Следовательно,yπϕ ∈ −π, − 2 . Тогда ϕ = arctg x − π.Пусть z = 0.
Тогда: |z| = 0, arg∗−π (z) = π.6.3. Основные функции комплексной переменнойКомплексная экспонентаПусть z ∈ C. Обозначим, expC (z) = exp(Re z) cos(Im z) + i sin(Im z) . Справедливы утверждения:1. expC (z1 ) expC (z2 ) = expC (z1 + z2 ) при z1 , z2 ∈ C;2. expC (x) = exp(x) при x ∈ R;3. expC (ix) = cos(x) + i sin(x) при x ∈ R (формула Эйлера).Замечание (показательная форма записи комплексного числа).
Пусть: z ∈ C, ϕ ∈ Arg(z).Тогда: z = |z| cos(ϕ) + i sin(ϕ) = |z| expC (iϕ).Пусть: ρ ∈ [0, +∞), ϕ ∈ R, z = ρ · expC (iϕ). Тогда: ρ ∈ [0, +∞), ϕ ∈ R, z = ρ cos(ϕ) +i sin(ϕ) . Следовательно: ρ = |z|, ϕ ∈ Arg(z).Комплексный логарифмПусть: z ∈ C, z 6= 0. Обозначим, Ln(z) = w : w ∈ C ∧ expC (w) = z .Замечание. Пусть: z ∈ C, z 6= 0.
Очевидно:w ∈ Ln(z);w ∈ C, expC (w) = z;замена: w ∈ C, u = Re(w), v = Im(w); u, v ∈ R, w = u + ivu, v ∈ R, expC (u + iv) = z;u, v ∈ R, exp(u) expC (iv) = z;706. Комплексные числаu, v ∈ R,exp(u) = |z| , v ∈ Arg(z);(u = ln |z| ,v ∈ Arg(z).Комплексные тригонометрические и гиперболические тригонометрическиефункцииПусть x ∈ R. Тогда:expC (ix) = cos(x) + i sin(x),expC (−ix) = cos(x) − i sin(x).Следовательно:1expC (ix) + expC (−ix) ,21expC (ix) − expC (−ix) .sin(x) =2icos(x) =Пусть z ∈ C.
Обозначим: cosC (z) = 12 expC (iz) + expC (−iz) , sinC (z) =expC (−iz) .sinC (z)Пусть: z ∈ C, cosC (z) 6= 0. Обозначим, tgC (z) = cos.C (z)C (z)Пусть: z ∈ C, sinC (z) 6= 0. Обозначим, ctgC (z) = cos.sinC (z)Пусть z ∈ C. Обозначим: chC (z) = 21 expC (z) + expC (−z) , shC (z) =expC (−z) .shC (z).Пусть: z ∈ C, chC (z) 6= 0. Обозначим, thC (z) = chC (z)Пусть: z ∈ C, shC (z) 6= 0. Обозначим, cthC (z) =12i12expC (iz) −expC (z) −chC (z).shC (z)Возведение комплексного числа в целую степеньПусть z ∈ C. Обозначим: z 0 = 1, z 1 = z. Пусть: z ∈ C, n ∈ Z, n > 2. Обозначим:z1 , . .
. , zn = z, z n = z1 · · · zn . Справедливы утверждения:1. z n+1 = z n z при: z ∈ C, n ∈ Z+ ;2. z n1 +n2 = z n1 z n2 при: z ∈ C, n1 , n2 ∈ Z+ ;3. (z1 z2 )n = z1n z2n при: z1 , z2 ∈ C, n ∈ Z+ .Пусть: z ∈ C, z 6= 0, n ∈ Z, n 6 −2. Обозначим, z n = (z −1 )−n . Справедливы утверждения:1. z n+1 = z n z при: z ∈ C, z 6= 0, n ∈ Z;2. z n−1 = z n z −1 при: z ∈ C, z 6= 0, n ∈ Z;3. z n1 +n2 = z n1 z n2 при: z ∈ C, z 6= 0, n1 , n2 ∈ Z;4.
(z1 z2 )n = z1n z2n при: z1 , z2 ∈ C, z1 , z2 6= 0, n ∈ Z.nЗамечание. Пусть: ϕ ∈ R, n ∈ Z. Тогда: cos(ϕ) + i sin(ϕ) 6= 0, cos(ϕ) + i sin(ϕ) =cos(nϕ) + i sin(nϕ) (формула Муавра).nПусть: z ∈ C, n ∈ Z. Тогда: expC (z) 6= 0, expC (z) = expC (nz).6.3. Основные функции комплексной переменной71Возведение комплексного числа в рациональную степень√Пусть: z ∈ C, n ∈ N. Обозначим, n z = {w : w ∈ C ∧ wn = z}.Замечание.
Пусть: z ∈ C, z 6= 0, n ∈ N, ϕ1 ∈ Arg(z). Тогда:√w ∈ n z;w ∈ C, wn = z;замена: w ∈ C, ρ2 = |w|, ϕ2 ∈ Arg(w); ρ2 ∈ [0, +∞), ϕ2 ∈ R, w = ρ2 expC (iϕ2 )nρ2 ∈ [0, +∞), ϕ2 ∈ R, ρ2 expC (iϕ2 ) = z;ρ2 ∈ [0, +∞), ϕ2 ∈ R, (ρ2 )n expC (inϕ2 ) = z; ρ2 ∈ [0, +∞), ϕ2 ∈ R,(ρ2 )n = |z| ,nϕ2 ∈ Arg(z); ρ2 ∈ [0, +∞), ϕ2 ∈ R,(ρ2 )n = |z| ,∃k ∈ Z nϕ2 = ϕ1 + 2πk ;pρ2 = n |z|, ∃k ∈ Z ϕ2 = ϕ1 + 2πk .nnПусть: z = 0, n ∈ N. Тогда:√w ∈ n z;w ∈ C, wn = z;w = 0.Пусть: z ∈ C, α ∈ Q, z 6= 0 ∨ α > 0.
Выберем числа m, n, удовлетворяющиеm условиям:√mαnm ∈ Z, n ∈ N, m, n — взаимно простые числа, α = n . Обозначим, z =z .Возведение комплексного числа в комплексную степеньПусть: z, α ∈ C, z 6= 0. Обозначим, z α = expC α Ln(z) .727. Линейное пространствоЛекция 7. Линейное пространство7.1. Определение линейного пространстваЗамечание.
Пусть M — множество.Пусть: F — функция, D(F ) = M 2 . Далее часто будем писать x + y вместо F (x, y).Пусть: F — функция, D(F ) = M 2 , ∀x ∈ M ∀y ∈ M (x + y ∈ M ). Тогда: F — функция,D(F ) = M 2 , R(F ) ⊆ M . Следовательно, F : M 2 =⇒ M .Пусть F : M 2 =⇒ M . Тогда: F — функция, D(F ) = M 2 , R(F ) ⊆ M . Следовательно:F — функция, D(F ) = M 2 , ∀x ∈ M ∀y ∈ M (x + y ∈ M ).Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; M — множество.Пусть: F — функция, D(F ) = K × M . Далее часто будем писать λx вместо F (λ, x).Пусть: F — функция, D(F ) = K × M , ∀λ ∈ K∀x ∈ M (λx ∈ M ).
Тогда: F — функция,D(F ) = K × M , R(F ) ⊆ M . Следовательно, F : K × M =⇒ M .Пусть F : K × M =⇒ M . Тогда: F — функция, D(F ) = K × M , R(F ) ⊆ M . Следовательно: F — функция, D(F ) = K × M , ∀λ ∈ K∀x ∈ M (λx ∈ M ).Определение (линейное пространство). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; M — множество,F1 : M 2 =⇒ M , F2 : K × M =⇒ M .Пусть существует объект u ∈ M , удовлетворяющий условиям:1. x + y = y + x при x, y ∈ M ;2. (x + y) + z = x + (y + z) при x, y, z ∈ M ;3. x + u = x при x ∈ M ;4. ∀x ∈ M ∃y ∈ M (x + y = u);5. (αβ)x = α(βx) при: α, β ∈ K, x ∈ M ;6. 1x = x при x ∈ M ;7. (α + β)x = αx + βx при: α, β ∈ K, x ∈ M ;8. λ(x + y) = λx + λy при: λ ∈ K, x, y ∈ M .Будем говорить, что F1 , F2 — линейные операции на множестве M .Будем говорить, что: (M, F1 , F2 ) — линейное пространство над полем K; M — носитель пространства (M, F1 , F2 ); F1 — операция сложения пространства (M, F1 , F2 ); F2 —операция умножения пространства (M, F1 , F2 ); F1 , F2 — линейные операции пространства(M, F1 , F2 ).
Будем говорить, что x — вектор пространства (M, F1 , F2 ), если x ∈ M . Далеечасто будем отождествлять пространство (M, F1 , F2 ) и множество M .Определение (нулевой вектор линейного пространства). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K. Будем говорить, что u — нулевой вектор пространства L,если: u ∈ L, ∀x ∈ L(x + u = x).Утверждение.
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K. Существует единственный объект u, удовлетворяющий условию: u — нулевой вектор пространства L.Доказательство. Так как L — линейное пространство над полем K, то существует объектu, удовлетворяющий условию: u — нулевой вектор пространства L.Пусть u1 , u2 — нулевые векторы пространства L.
Так как: u1 ∈ L, u2 — нулевой векторпространства L, то u1 + u2 = u1 . Так как: u1 — нулевой вектор пространства L, u2 ∈ L, то:u1 + u2 = u2 + u1 = u2 . Тогда u1 = u2 .Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K. Далее частобудем обозначать через θ нулевой вектор пространства L.7.1. Определение линейного пространства73Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K.
Тогда∀x ∈ L∃y ∈ L(x + y = θ).Доказательство. Так как L — линейное пространство над полем K, то существует объектu, удовлетворяющий условиям: u — нулевой вектор пространства L, ∀x ∈ L∃y ∈ L(x + y =u). Так как u, θ — нулевые векторы пространства L, то u = θ. Тогда ∀x ∈ L∃y ∈ L(x + y =θ).Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; a, b ∈ L.Существует единственный вектор x, удовлетворяющий условиям: x ∈ L, a + x = b.Доказательство.
Так как a ∈ L, то существует вектор ã, удовлетворяющий условиям:ã ∈ L, a + ã = θ.Пусть: x ∈ L, a + x = b. Тогда:ã + (a + x) = ã + b,(ã + a) + x = ã + b,(a + ã) + x = ã + b,θ + x = ã + b,x + θ = ã + b,x = ã + b.Пусть: x1 ∈ L, a + x1 = b, x2 ∈ L, a + x2 = b. Тогда: x1 = ã + b, x2 = ã + b. Следовательно,x1 = x2 .Пусть x = ã + b. Тогда: x ∈ L, a + x = a + (ã + b) = (a + ã) + b = θ + b = b + θ = b.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K.1.
Пусть x ∈ L. Тогда 0x = θ.2. Пусть x ∈ L. Тогда x + (−1)x = θ.3. Пусть λ ∈ K. Тогда λθ = θ.Доказательство.1. Очевидно: 0x + 0x = (0 + 0)x = 0x. С другой стороны,0x + θ = 0x. Тогда 0x = θ.2. Очевидно: x + (−1)x = 1x + (−1)x = 1 + (−1) x = 0x = θ.3. Очевидно: λθ = λ(0θ) = 0(λθ) = θ.Определение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K.Пусть x ∈ L. Обозначим, −x = (−1)x. Очевидно: −x ∈ L, x+(−x) = θ.
Будем говорить,что −x — противоположный вектор к вектору x.Пусть x, y ∈ L. Обозначим, y − x = (−1)x + y. Очевидно: y − x ∈ L, x + (y − x) = y.Будем говорить, что y − x — разность векторов y, x.Замечание (основные свойства линейного пространства). Пусть: K ∈ {C, R, Q};(M, F1 , F2 ) — линейное пространство над полем K, θ — нулевой элемент пространства(M, F1 , F2 ). Тогда: M — множество, F1 : M 2 =⇒ M , F2 : K × M =⇒ M , θ ∈ M .1. Пусть x, y ∈ M . Тогда x + y = y + x.2. Пусть x, y, z ∈ M . Тогда (x + y) + z = x + (y + z).3. Пусть x ∈ M . Тогда x + θ = x.4. Пусть x ∈ M .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
