А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пусть N = 1, 3.~ N . Будем говорить, что e, e′ — одинаково ориенПусть e, e′ — базисы пространстваEтированные базисы, если det α(e, e′ ) > 0. Будем говорить, что e, e′ — противоположноориентированные базисы, если det α(e, e′ ) < 0.~ N . Базисы e, e′ являются противоположно ориенПусть e, e′ — базисы пространства Eтированными тогда и только тогда, когда базисы e, e′ не являются одинаково ориентированными.~ N .
Тогда e, e — одинаково ориентированные базисы.Пусть e — базис пространства E~ N ; e, e′ — одинаково ориентированные базисы.Пусть: e, e′ — базисы пространства E′Тогда e , e — одинаково ориентированные базисы.~ N ; e, e′ — одинаково ориентированные базисы,Пусть: e, e′ , e′′ — базисы пространства Ee′ , e′′ — одинаково ориентированные базисы.
Тогда e, e′′ — одинаково ориентированныебазисы.~ N ; e, e′ — противоположно ориентированныеПусть: e, e′ , e′′ — базисы пространства Eбазисы, e′ , e′′ — противоположно ориентированные базисы. Тогда e, e′′ — одинаково ориентированные базисы.Замечание (правые и левые базисы, знак базиса). Пусть: N = 1, 3; e0 — базис пространства~N.E~ N . Будем говорить, что e — правый базис, если e, e0 —Пусть e — базис пространства Eодинаково ориентированные базисы. Будем говорить, что e — левый базис, если e, e0 —противоположно ориентированные базисы.Очевидно, e0 — правый базис.~ N . Базис e является левым тогда и только тогда, когдаПусть e — базис пространства Eбазис e не является правым.~ N .
Пусть e, e′ — правые базисы. Тогда e, e′ —Пусть e, e′ — базисы пространства Eодинаково ориентированные базисы. Пусть e, e′ — левые базисы. Тогда e, e′ — одинаково ориентированные базисы. Пусть: e — правый базис, e′ — левый базис. Тогда e, e′ —противоположно ориентированные базисы.~ N . Пусть e — правый базис. Обозначим, sgn(e) = 1.Пусть e — базис пространства EПусть e — левый базис. Обозначим, sgn(e) = −1.
Будем говорить, что sgn(e) — знакбазиса e.4.3. Векторное и смешанное произведения514.3. Векторное и смешанное произведения~ 3 , x, y — линейно независимые векторы, kzk = kxk ·Замечание. Пусть:x, y, z ∈ E~ 3.kyk sin ϕ(x, y) , z ⊥ x, y. Докажем, что x, y, z — базис пространства EТак как x, y — линейно независимые векторы, то x, y 6= θ. Тогда kxk, kyk 6= 0. Так как x,y — линейно независимые векторы, то ϕ(x, y) ∈ (0, π).
Тогда: kzk = kxk·kyk sin ϕ(x, y) 6= 0.Следовательно, z 6= θ. Так как: x, y — линейно независимые векторы, z ⊥ x, y, то x, y,~ 3.z — линейно независимые векторы. Тогда x, y, z — базис пространства E~ 3 . Пусть x, y —Определение (векторное и смешанное произведения). Пусть x, y ∈ Eлинейно зависимые векторы.
Обозначим, [x, y] = θ. Пусть x, y — линейно независи~3мыевекторы.Обозначим через [x, y] вектор, удовлетворяющий условиям: [x, y] ∈ E ,[x, y] = kxk · kyk sin ϕ(x, y) , [x, y] ⊥ x, y; x, y, [x, y] — правый базис. Будем говорить,что [x, y] — векторное произведение векторов x, y.~ 3 . Обозначим, (x, y, z) = [x, y], z . Будем говорить, что (x, y, z) —Пусть x, y, z ∈ Eсмешанное произведение векторов x, y, z.Замечание («векторное» и «смешанное» произведения).
Пусть e — ортонормированныйбазис пространства E 3 .P~ 3 . Обозначим, [x, y]e =Пусть x, y ∈ Esgn(e)ε̃k1 ,k2 ,k3 [x]k1 (e)[y]k2 (e)ek3 . Будемk1 ,k2 ,k3 =1,3говорить, что [x, y]e — «векторное» произведение векторовОбозначим: x̃ = [x](e), ỹ = [y](e). Тогда: 1 1x̃ ỹXk1 k2[x, y]e =sgn(e)ε̃k1 ,k2 ,k3 x̃ ỹ ek3 = sgn(e) x̃2 ỹ 2x̃3 ỹ 3k1 ,k2 ,k3 =1,3 e1 e2 e3 = sgn(e) x̃1 x̃2 x̃3 .ỹ 1 ỹ 2 ỹ 3 x, y.e1 x̃1 ỹ 1 e1 e2 = sgn(e) e2 x̃2 ỹ 2 =e3 x̃3 ỹ 3 e3 ~ 3 . Обозначим, (x, y, z)e = sgn(e)ε̃k1 ,k2 ,k3 [x]k1 (e)[y]k2 (e)[z]k3 (e). БудемПусть x, y, z ∈ Eговорить, что (x, y, z)e — «смешанное» произведение векторов x, y, z.Обозначим: x̃ = [x](e), ỹ = [y](e), z̃ = [z](e). Тогда: 1 1 1 1 2 3x̃ ỹ z̃ x̃ x̃ x̃ k1 k2 k3222(x, y, z)e = sgn(e)ε̃k1 ,k2 ,k3 x̃ ỹ z̃ = sgn(e) x̃ ỹ z̃ = sgn(e) ỹ 1 ỹ 2 ỹ 3 .x̃3 ỹ 3 z̃ 3 z̃ 1 z̃ 2 z̃ 3 ~ 3.Утверждение.
Пусть e — ортонормированный базис пространства E1. «Смешанное» произведение линейно по каждому аргументу.2. «Смешанное» произведение антисимметрично.~ 3 , x, y, z — линейно зависимые векторы. Тогда (x, y, z)e = 0.3. Пусть: x, y, z ∈ E~ 3 , x, y, z — линейно независимые векторы, (x, y, z)e > 0. Тогда x,4. Пусть: x, y, z ∈ E~ 3.y, z — правый базис пространства E3~ , x, y, z — линейно независимые векторы, (x, y, z)e < 0. Тогда x,5.
Пусть: x, y, z ∈ E~ 3.y, z — левый базис пространства E~ 3 . Тогда (x, y, z)e = [x, y]e , z .6. Пусть x, y, z ∈ E~ 3 . Тогда (x, y, z)e = x, [y, z]e .7. Пусть x, y, z ∈ E8. «Векторное» произведение линейно по каждому аргументу.524. Скалярное, векторное, смешанное произведения9. «Векторное» произведение антисимметрично.~ 3 .
Тогда a, [b, c]e = b(a, c) − c(a, b).10. Пусть a, b, c ∈ E e~ 3 . Тогда [x, y]e = kxk · kyk sin ϕ(x, y) .11. Пусть x, y ∈ E~ 3 , x, y — линейно зависимые векторы. Тогда [x, y]e = θ.12. Пусть: x, y ∈ E~ 3 . Тогда [x, y]e ⊥ x, y.13. Пусть x, y ∈ E~ 3 , x, y — линейно независимые векторы. Тогда x, y, [x, y]e — правый14. Пусть: x, y ∈ E~ 3.базис пространства E~ 3 . Тогда [x, y] = [x, y]e .15. Пусть x, y ∈ E~ 3 . Тогда (x, y, z) = (x, y, z)e .16. Пусть x, y, z ∈ EДоказательство.1. Утверждение непосредственно следует из определения «смешанного» произведения.2. Утверждение непосредственно следует из определения «смешанного» произведения.3.
Обозначим: x̃ = [x](e), ỹ = [y](e), z̃ = [z](e). Так как x, y, z — линейно зависимыевекторы, то x̃, ỹ, z̃ — линейно зависимые столбцы. Тогда: 1 1 1x̃ ỹ z̃ (x, y, z)e = sgn(e) x̃2 ỹ 2 z̃ 2 = 0.x̃3 ỹ 3 z̃ 3 4. Так как x, y, z — линейно независимые векторы, то x, y, zОбозначим: x̃ = [x](e), ỹ = [y](e), z̃ = [z](e). Тогда: 1 1 1 1 1x̃ ỹx̃ ỹ z̃ 2 2 2det α(e1 , e2 , e3 , x, y, z) = x̃ ỹ z̃ = sgn(e) sgn(e) x̃2 ỹ 2x̃3 ỹ 3x̃3 ỹ 3 z̃ 3 Пусть e — правый базис. Тогда:~ 3.— базис пространства Ez̃ 1 z̃ 2 = sgn(e)(x, y, z)e .z̃ 3 det α(e1 , e2 , e3 , x, y, z) = sgn(e)(x, y, z)e > 0.Следовательно, e1 , e2 , e3 и x, y, z — одинаково ориентированные базисы. Так как e —правый базис, то x, y, z — правый базис.Пусть e — левый базис.
Тогда:det α(e1 , e2 , e3 , x, y, z) = sgn(e)(x, y, z)e < 0.Следовательно, e1 , e2 , e3 и x, y, z — противоположно ориентированные базисы. Так какe — левый базис, то x, y, z — правый базис.~ 3.5. Так как x, y, z — линейно независимые векторы, то x, y, z — базис пространства EОбозначим: x̃ = [x](e), ỹ = [y](e), z̃ = [z](e).
Тогда: 1 1 1 1 1 1x̃ ỹ z̃ x̃ ỹ z̃ 222det α(e1 , e2 , e3 , x, y, z) = x̃ ỹ z̃ = sgn(e) sgn(e) x̃2 ỹ 2 z̃ 2 = sgn(e)(x, y, z)e .x̃3 ỹ 3 z̃ 3 x̃3 ỹ 3 z̃ 3 Пусть e — правый базис. Тогда:det α(e1 , e2 , e3 , x, y, z) = sgn(e)(x, y, z)e < 0.4.3. Векторное и смешанное произведения53Следовательно, e1 , e2 , e3 и x, y, z — противоположно ориентированные базисы. Так какe — правый базис, то x, y, z — левый базис.Пусть e — левый базис. Тогда:det α(e1 , e2 , e3 , x, y, z) = sgn(e)(x, y, z)e > 0.Следовательно, e1 , e2 , e3 и x, y, z — одинаково ориентированные базисы. Так как e —левый базис, то x, y, z — левый базис.6.
Обозначим: x̃ = [x](e), ỹ = [y](e), z̃ = [z](e). Тогда:X X Xjjk1 k2[x, y]e , z =z̃ j =[x, y]e (e)z̃ =sgn(e)ε̃k1 ,k2 ,j x̃ ỹj=1,3j=1,3X=k1 ,k2 =1,3k1 k2 jsgn(e)ε̃k1 ,k2 ,j x̃ ỹ z̃ = (x, y, z)e .k1 ,k2 ,j=1,37.8.9.10.Очевидно: (x, y, z)e = (y, z, x)e = [y, z]e , x = x, [y, z]e .Утверждение непосредственно следует из определения «векторного» произведения.Утверждение непосредственно следует из определения «векторного» произведения.Обозначим: ã = [a](e), b̃ = [b](e), c̃ = [c](e).
Пусть j = 1, 3. Тогда:h=a, [b, c]eX ije(e) =Xk1 ,k2 =1,3Xsgn(e)ε̃k1 ,k2 ,j ãk1k1 ,k2 =1,3sgn(e)ε̃m1 ,m2 ,k2 b̃m1 c̃m2 =m1 ,m2 =1,3X=ksgn(e)ε̃k1 ,k2 ,j ãk1 [b, c]e 2 (e) =Xε̃k1 ,k2 ,j ε̃m1 ,m2 ,k2 ãk1 b̃m1 c̃m2 =k1 ,k2 =1,3 m1 ,m2 =1,3X=k1 ,k2 =1,3,k1 , k2 , j — различные числаXε̃k1 ,k2 ,j ε̃m1 ,m2 ,k2 ãk1 b̃m1 c̃m2 =m1 ,m2 =1,3,m1 , m2 , k2 — различные числаih= m1 = k1 , m2 = j либо m1 = j, m2 = k1 =Xε̃k1 ,k2 ,j ε̃k1 ,j,k2 ãk1 b̃k1 c̃j + ε̃k1 ,k2 ,j ε̃j,k1 ,k2 ãk1 b̃j c̃k1 ==k1 ,k2 =1,3,k1 , k2 , j — различные числаX=k1 ,k2 =1,3,k1 , k2 , j — различные числа=X k1 =1,3,k1 6=jXb̃j ãk1 c̃k1 − c̃j ãk1 b̃k1 =X k1 =1,3, k2 =1,3,k1 6=j k2 =6 k1 ,jb̃j ãk1 c̃k1 − c̃j ãk1 b̃k1 =Xb̃j ãk1 c̃k1 − c̃j ãk1 b̃k1 = b̃j (a, c) − c̃j (a, b) =b̃j ãk1 c̃k1 − c̃j ãk1 b̃k1 =k1 =1,3j= b(a, c) − c(a, b) (e).Следовательно, a, [b, c]e e = b(a, c) − c(a, b).11.
Так как: kxk, kyk > 0, ϕ(x, y) ∈ [0, π], то:r q q[x, y]e =[x, y]e , [x, y]e =x, y, [x, y]e e =x, x(y, y) − y(y, x) =544. Скалярное, векторное, смешанное произведения=p(x, x)(y, y) − (x, y)2 =r=22kxk kykr 2kxk2 kyk2 − kxk · kyk cos ϕ(x, y)=sin ϕ(x, y)2= kxk · kyk sin ϕ(x, y) .12. Пусть x = θ ∨ y = θ. Тогда kxk = 0 ∨ kyk = 0. Следовательно: [x, y]e = kxk ·kyk sin ϕ(x, y) = 0. Тогда [x, y]e = θ.Пустьx,y 6= θ. Так как x, y — линейнозависимые векторы, то ϕ(x, y) = 0∨ϕ(x, y) = π.Тогда: [x, y]e = kxk · kyk sin ϕ(x, y) = 0.
Следовательно, [x, y]e = θ.13. Так как x, y, x — линейно зависимые векторы, то: [x, y]e , x = (x,y, x)e = 0. Тогда[x, y]e ⊥ x. Так как x, y, y — линейно зависимые векторы, то: [x, y]e , y = (x, y, y)e = 0.Тогда [x, y]e ⊥ y.14. Так как: x, y — линейно независимые векторы, [x, y]e = kxk · kyk sin ϕ(x, y) ,~ 3 . Так как [x, y]e 6= θ, то: x, y, [x, y]e =[x, y]e ⊥ x, y, то x, y, [x, y]e — базис пространства Ee[x, y]e , [x, y]e > 0. Так как x, y, [x, y]e — линейно независимые векторы, то x, y, [x, y]e —правый базис пространства E 3 .15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
