А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Тогда (x, y) = kxk · [y]1 (h) (нетрудно доказать, используя средства элементарной геометрии).Утверждение. Пусть N = 2, 3.~ N . Тогда (x, y) = (y, x).1. Пусть x, y ∈ E~ N . Тогда (x, y1 + y2 ) = (x, y1 ) + (x, y2 ).2. Пусть x, y1 , y2 ∈ E~ N . Тогда (x, λy) = λ(x, y).3. Пусть: λ ∈ R, x, y ∈ E~ N , x 6= θ.

Тогда (x, x) > 0.4. Пусть: x ∈ E464. Скалярное, векторное, смешанное произведенияДоказательство.1. Очевидно:(x, y) = kxk · kyk cos ϕ(x, y) = kyk · kxk cos ϕ(y, x) = (y, x).2. Пусть x = θ. Тогда: (x, y1 + y2 ) = 0, (x, y1 ) + (x, y2 ) = 0. Следовательно, (x, y1 + y2 ) =(x, y1 ) + (x, y1 ).Пусть x 6= θ. Очевидно, существуют точки O, A, I1 , .

. . , IN , удовлетворяющие усло−→виям: O, A ∈ E N , x = OA, I1 ∈ l+ (O, A), I2 , . . . , IN ∈ E N , ρ(O, I1 ), . . . , ρ(O, IN ) = 1,l∗ (O, I1 ), . . . , l∗ (O, IN ) — попарно перпендикулярные прямые. Пусть h — аффинная координатная карта в пространстве E N , соответствующая точкам O, I1 , . . . , IN . Тогда:1(x, y1 + y2 ) = kxk · [y1 + y2 ]1 (h) = kxk [y1 ](h) + [y2 ](h) = kxk [y1 ]1 (h) + [y2 ]1 (h) == kxk · [y1 ]1 (h) + kxk · [y2 ]1 (h) = (x, y1 ) + (x, y2 ).3. Пусть x = θ. Тогда: (x, λy) = 0, λ(x, y) = 0. Следовательно, (x, λy) = λ(x, y).Пусть x 6= θ. Очевидно, существуют точки O, A, I1 , . .

. , IN , удовлетворяющие усло−→виям: O, A ∈ E N , x = OA, I1 ∈ l+ (O, A), I2 , . . . , IN ∈ E N , ρ(O, I1 ), . . . , ρ(O, IN ) = 1,l∗ (O, I1 ), . . . , l∗ (O, IN ) — попарно перпендикулярные прямые. Пусть h — аффинная координатная карта в пространстве E N , соответствующая точкам O, I1 , . . . , IN . Тогда:1(x, λy) = kxk · [λy]1 (h) = kxk λ[y](h) = kxk λ[y]1 (h) = λ kxk · [y]1 (h) = λ(x, y).4. Очевидно:(x, x) = kxk · kxk cos ϕ(x, x) = kxk · kxk > 0.Замечание. Пусть N = 2, 3.~ N . Так как kxk > 0, то:Пусть x ∈ Eqp q(x, x) = kxk · kxk cos ϕ(x, x) = kxk2 = kxk .~ N , x, y 6= θ. Так как ϕ(x, y) ∈ [0, π], то:Пусть: x, y ∈ E(x, y)parccos p(x, x) (y, y)kxk · kyk cos ϕ(x, x)= arccoskxk · kyk= ϕ(x, y).= arccos cos ϕ(x, x)~ N .

Так как kxk, kyk > 0, то:Пусть x, y ∈ Epp (x, y) = kxk · kyk cos ϕ(x, y) 6 kxk · kyk = (x, x) (y, y).(Неравенство Коши—Буняковского.)Утверждение. Пусть N = 2, 3.~ N , x 6= θ. Тогда kxk > 0.1. Справедливо утверждение kθk = 0. Пусть: x ∈ E~ N . Тогда kx + yk 6 kxk + kyk.2. Пусть x, y ∈ E~ N . Тогда kλxk = |λ| · kxk.3. Пусть: λ ∈ R, x ∈ E=4.1. Скалярное произведение47Доказательство.1. Утверждения обсуждались выше.2. Очевидно, существуют точки A, B, C, удовлетворяющие условиям: A, B, C ∈ E N ,−→−−→x = AB, y = BC.

Тогда:−→kx + yk = kACk = ρ(A, C) 6 ρ(A, B) + ρ(B, C) = kxk + kyk .3. Очевидно:kλxk =p(λx, λx) =pλ2 (x, x) = |λ| · kxk .Замечание. Пусть N = 2, 3.~ N . Будем писать x ⊥ y если (x, y) = 0. Утверждение x ⊥ y читается:Пусть x, y ∈ E«вектор x ортогонален вектору y» или «вектор x перпендикулярен вектору y».~ N . Будем говорить, что x1 , . . . , xr — ортогональная послеПусть: r ∈ N, x1 , . . . , xr ∈ Eдовательность векторов, если: xk ⊥ xm при: k, m = 1, r, k 6= m.~ N . Будем говорить, что x1 , . . .

, xr — ортонормированнаяПусть: r ∈ N, x1 , . . . , xr ∈ Eпоследовательность векторов, если: xk ⊥ xm при: k, m = 1, r, k 6= m; kxk k = 1 при k = 1, r.~ N , x1 , . . . , xr — ортогональная последовательность векторов,Пусть: r ∈ N, x1 , . . .

, xr ∈ Ex1 , . . . , xr 6= θ. Докажем, что x1 , . . . , xr — линейно независимые векторы.rPλm xm = θ. Пусть k = 1, r. Так как xk 6= θ, то:Пусть: λ1 , . . . , λr ∈ R,m=1rXλm xm = θ,m=1r Xxk ,λm xm = (xk , θ),m=1rXλm (xk , xm ) = (xk , θ),m=1λk (xk , xk ) = 0,λk = 0.Итак, x1 , . . . , xr — линейно независимые векторы.~ N , x1 , . . . , xr — линейно независимые векторы, xr+1 ⊥ xkПусть: r ∈ N, x1 , .

. . , xr+1 ∈ Eпри k = 1, r; xr+1 6= θ. Докажем, что x1 , . . . , xr+1 — линейно независимые векторы.r+1P mλ xm = θ. Так как xr+1 6= θ, то:Пусть: λ1 , . . . , λr+1 ∈ R,m=1r+1Xxr+1 ,r+1Xλm xm = θ,m=1r+1Xm=1λm xm = (xr+1 , θ),λm (xr+1 , xm ) = (xr+1 , θ),m=1λr+1 (xr+1 , xr+1 ) = 0,484. Скалярное, векторное, смешанное произведенияλr+1 = 0.ТогдаrPλm xm = θ. Так как x1 , . . . , xr — линейно независимые векторы, то λ1 , . . .

, λr = 0.m=1Итак, x1 , . . . , xr+1 — линейно независимые векторы.~N, Q ⊆ E~ N . Будем писать x ⊥ Q если ∀u ∈ Q(x ⊥ u). УтверждениеПусть: x ∈ Ex ⊥ Q читается: «вектор x ортогонален множеству Q» или «вектор x перпендикуляренмножеству Q».~ N . Будем писать Q1 ⊥ Q2 если ∀x1 ∈ Q1 ∀x2 ∈ Q2 (x1 ⊥ x2 ). УтверПусть Q1 , Q2 ⊆ Eждение Q1 ⊥ Q2 читается: «множество Q1 ортогонально множеству Q2 » или «множествоQ1 перпендикулярно множеству Q2 ».~N.Замечание.

Пусть: N = 2, 3; e — базис пространства EМатрица g(e). Обозначим: gk,m (e) = (ek , em ) при k, m = 1, N . Очевидно: g(e) ∈ RN ×N ,g(e)T = g(e).Пусть e — ортогональный базис (ОБ). Тогда g(e) — диагональная матрица (gk,m (e) = 0при: k, m = 1, N , k 6= m).Пусть g(e) — диагональная матрица. Тогда e — ортогональный базис.Пусть e — ортонормированный базис (ОНБ). Тогда g(e) = I.Пусть g(e) = I. Тогда e — ортонормированный базис.Выражение для скалярного произведения в произвольном базисе. Пусть: x,~ N , x̃ = [x](e), ỹ = [y](e).

Тогда:y∈E(x, y) = (x̃k ek , ỹ m em ) = (ek , em )x̃k ỹ m = gk,m (e)x̃k ỹ m .~ N . Докажем, что g(e) = A.Пусть: A ∈ RN ×N , (x, y) = Ak,m [x]k (e)[y]m (e) при x, y ∈ EПусть k, m = 1, N . Тогда:jgk,m (e) = (ek , em ) = Ai,j [ek ]i (e)[em ]j (e) = Ai,j δki δm= Ak,m .Следовательно, g(e) = A.Выражение для скалярного произведения в ортогональном базисе. Пусть: x,~ N , x̃ = [x](e), ỹ = [y](e), e — ортогональный базис.

Тогда:y∈E(x, y) = gk,m (e)x̃k ỹ m = gk,k (e)x̃k ỹ k .Выражение для скалярного произведения в ортонормированном базисе.~ N , x̃ = [x](e), ỹ = [y](e), e — ортонормированный базис. Тогда:Пусть: x, y ∈ E(x, y) =NXgk,k (e)x̃k ỹ k =k=1NXx̃k ỹ k .k=1~N,Выражение для координат вектора в ортогональном базисе. Пусть: x ∈ Ex̃ = [x](e), e — ортогональный базис. Пусть k = 1, N . Тогда:NN X Xm(ek , x) = ek ,x̃ em =(ek , em )x̃m = (ek , ek )x̃k ;m=1m=1x̃k =(ek , x).(ek , ek )~N4.2. Правые и левые базисы пространства E49Следовательно:x=NXk=1x̃k ek =NX(ek , x)ek .(ek , ek )k=1Выражение для координат вектора в ортонормированном базисе. Пусть: x ∈N~E , x̃ = [x](e), e — ортонормированный базис. Пусть k = 1, N . Тогда:x̃k =(ek , x)= (ek , x).(ek , ek )Следовательно:NNXX(ek , x)ek =(ek , x)ek .x=(ek , ek )k=1k=1~ N , e1 6= θ.Замечание.

Пусть: N = 2, 3; e1 ∈ E~ N . Будем говорить, что x1 — ортогональная проекция вектора x на мноПусть x ∈ Eжество L(e1 ), если: x1 ∈ L(e1 ), x − x1 ⊥ L(e1 ).~ N , x′1 , x′′1 — ортогональные проекции вектора x на множество L(e1 ). ДоПусть: x ∈ Eкажем, что x′1 = x′′1 .Так как: x′1 , x′′1 ∈ L(e1 ), x − x′1 , x − x′′1 ⊥ L(e1 ), то:(x′1 − x′′1 , x′1 − x′′1 ) = (x − x′′1 ) − (x − x′1 ), x′1 − x′′1 == (x − x′′1 , x′1 ) − (x − x′′1 , x′′1 ) − (x − x′1 , x′1 ) + (x − x′1 , x′′1 ) = 0.Тогда x′1 − x′′1 = θ. Следовательно, x′1 = x′′1 .~ N .

Обозначим, x1 = (e1 ,x) e1 . Докажем, что x1 — ортогональная проекцияПусть x ∈ E(e1 ,e1 )вектора x на множество L(e1 ).Очевидно, x1 ∈ L(e1 ). Пусть u ∈ L(e1 ). Тогда существует число λ ∈ R, удовлетворяющее условию u = λe1 . Следовательно:(e1 , x)(e1 , x)(x − x1 , u) = x −e1 , λe1 = λ (x, e1 ) −(e1 , e1 ) = 0.(e1 , e1 )(e1 , e1 )Тогда x − x1 ⊥ L(e1 ).~ N . Пусть x1 — ортогональная проекция вектора x на множество L(e1 ).Пусть x ∈ EОбозначим, PL(e1 ) (x) = x1 . Будем говорить, что PL(e1 ) — оператор ортогонального проектирования на множество L(e1 ).~ N .

Очевидно, PL(e ) (x) = (e1 ,x) e1 .Пусть x ∈ E1(e1 ,e1 )~N4.2. Правые и левые базисы пространства E~ N . ОбоОпределение (матрица перехода). Пусть: N = 1, 3; e, e′ — базисы пространства E′′′ ii′N ×Nзначим: αi′ (e, e ) = [ei′ ] (e) при i, i = 1, N . Очевидно, α(e, e ) ∈ R. Будем говорить, что′′α(e, e ) — матрица перехода от базиса e к базису e .Утверждение (без доказательства). Пусть N = 1, 3.~ N . Тогда α(e, e) = I.1. Пусть e — базис пространства E504. Скалярное, векторное, смешанное произведения~ N .

Тогда α(e, e′ )α(e′ , e′′ ) = α(e, e′′ ).2. Пусть e, e′ , e′′ — базисы пространства E~ N . Тогда α(e, e′ )α(e′ , e) = I.3. Пусть e, e′ — базисы пространства EДоказательство.1. Пусть i, j = 1, N . Тогда: αij (e, e) = [ei ]j (e) = δij . Следовательно, α(e, e) = I.2. Пусть i′′ = 1, N .

Очевидно:i′′′e′′i′′ = αii′′ (e′ , e′′ )e′i′ = αii′′ (e′ , e′′ ) αii′ (e, e′ )ei = αii′ (e, e′ )αii′′ (e′ , e′′ ) ei = α(e, e′ )α(e′ , e′′ ) i′′ ei .С другой стороны, e′′i′′ = αii′′ (e, e′′ )ei . Тогда: α(e, e′ )α(e′ , e′′ )Следовательно, α(e, e′ )α(e′ , e′′ ) = α(e, e′′ ).3. Очевидно: α(e, e′ )α(e′ , e) = α(e, e) = I.ii′′= αii′′ (e, e′′ ) при i = 1, N .Замечание (одинаково ориентированные базисы, противоположно ориентированные базисы).

Характеристики

Список файлов книги