А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Обозначим: N1 = A11 e1 + A12 e2 + A13 e3 , N2 = A21 e1 +A22 e2 + A23 e3 . Так как (A11 , A12 , A13 ), (A21 , A22 , A23 ) — линейно независимые строки, то N1 , N2 —линейно независимые векторы. Очевидно, необходимое и достаточное условие того, чтоP ∈ l можно записать в виде:−→ −−→(N1 , OP − OP0 ) = 0,−→ −−→(N2 , OP − OP0 ) = 0;−→(N1 , OP ) + B 1 = 0,−→(N2 , OP ) + B 2 = 0.−→ −−→Рассмотрим ортогональную проекцию PL(τ ) (OP − OP0 ). Обозначим через π1 плоскость,удовлетворяющую условиям: π1 — плоскость в пространстве E 3 , P ∈ π1 , π1 ⊥ l.
Обозначимчерез P1 точку, удовлетворяющую условиям: P1 ∈ π1 , P1 ∈ l. Обозначим через P2 точку,симметричную точке P относительно прямой l. Очевидно:−→ −−→−→ −−→(τ, OP − OP0 )τ,PL(τ ) (OP − OP0 ) =kτ k2−→ −−→−−→PL(τ ) (OP − OP0 ) = P0 P1 ,−→ −−→−−→ −−→OP1 = OP0 + PL(τ ) (OP − OP0 ),−−→−−→−→ −−→ −→OP2 = 2 OP0 + PL(τ ) (OP − OP0 ) − OP .646. Комплексные числаЛекция 6. Комплексные числа6.1. Определение комплексного числаОбозначим: noC = (x, y) : x ∈ R ∧ y ∈ R = z : ∃x∃y x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z = (x, y) .Внимание! Очевидно: C = R × R = R2 . Будем говорить, что z — ко́мплексное число,если z ∈ C. Внимание! Иными словами, комплексное число это упорядоченнаяпара вещественных чисел.Пусть z ∈ C.
Выберем объекты x, y, удовлетворяющие условию z = (x, y). Обозначим:Re(z) = x, Im(z) = y. Очевидно, Re(z), Im(z) ∈ R. Число Re(z) называется вещественнойчастью числа z. Число Im(z) называется мнимой частью числа z.Пусть z1 , z2 ∈ C. Обозначим, z1 + z2 = Re(z1 ) + Re(z2 ), Im(z1 ) + Im(z2 ) . Очевидно,z1 + z2 ∈ C. Число z1 + z2 называется суммой чисел z1 , z2 .Обозначим, 0C = (0, 0). Очевидно, 0C ∈ C.
Число 0C называется нулём на множестве C.Пусть z ∈ C. Обозначим, −z = − Re(z), − Im(z) . Очевидно, −z ∈ C. Число −z называется противоположным числом к числу z.Пусть z1 , z2 ∈ C. Обозначим, z1 z2 = Re(z1 ) Re(z2 ) − Im(z1 ) Im(z2 ), Re(z1 ) Im(z2 ) +Im(z1 ) Re(z2 ) . Очевидно, z1 z2 ∈ C. Число z1 z2 называется произведением чисел z1 , z2 .Обозначим, 1C = (1, 0). Очевидно, 1C ∈ C.
Число 1C называется единицей на множествеC.Re(z)− Im(z)−1Пусть: z ∈ C, z 6= 0C . Обозначим, z = (Re z)2 +(Im z)2 , (Re z)2 +(Im z)2 . Очевидно, z −1 ∈ C.Число z −1 называется обратным числом к числу z.Обозначим, i = (0, 1). Очевидно, i ∈ C.
Число i называется мнимой единицей на множестве C.Обозначим через ψ функцию, удовлетворяющую условиям: D(ψ) = R, ψ(x) = (x, 0)при x ∈ R. Очевидно, ψ : R =⇒ C. Функция ψ называется вложением множества R вмножество C.Справедливы утверждения:1. z1 + z2 = z2 + z1 при z1 , z2 ∈ C;2. (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) при z1 , z2 , z3 ∈ C;3. z + 0C = z при z ∈ C;4. z + (−z) = 0C при z ∈ C;5. z1 z2 = z2 z1 при z1 , z2 ∈ C;6.
(z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ) при z1 , z2 , z3 ∈ C;7. 1C 6= 0C , z1C = z при z ∈ C;8. zz −1 = 1C при: z ∈ C, z 6= 0C ;9. z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 при z1 , z2 , z3 ∈ C;10. ii = −1C ;11. ψ — обратимая функция, ψ(x1 + x2 ) = ψ(x1 ) + ψ(x2 ), ψ(x1 x2 ) = ψ(x1 )ψ(x2 ) при x1 ,x2 ∈ R;12. z = ψ(Re z) + iψ(Im z) при z ∈ C.Утверждение.1. Пусть a, b ∈ C. Существует единственное число z, удовлетворяющее условиям:z ∈ C, a + z = b.6.1. Определение комплексного числа652. Пусть: a, b ∈ C, a 6= 0C . Существует единственное число z, удовлетворяющееусловиям: z ∈ C, az = b.Доказательство.1. Пусть: z ∈ C, a + z = b.
Тогда:a + z = b,−a + (a + z) = −a + b,(−a + a) + z = −a + b,a + (−a) + z = −a + b,0C + z = −a + b,z + 0C = −a + b,z = −a + b.Пусть: z1 ∈ C, a + z1 = b, z2 ∈ C, a + z2 = b. Тогда: z1 = −a + b, z2 = −a + b.Следовательно, z1 = z2 .Пусть z = −a+b. Тогда: z ∈ C, a+z = a+(−a+b) = a+(−a) +b = 0C +b = b+0C = b.2. Пусть: z ∈ C, az = b. Тогда:az = b,a (az) = a−1 b,(a−1 a)z = a−1 b,(aa−1 )z = a−1 b,1C z = a−1 b,z1C = a−1 b,z = a−1 b.−1Пусть: z1 ∈ C, az1 = b, z2 ∈ C, az2 = b. Тогда: z1 = a−1 b, z2 = a−1 b.
Следовательно,z1 = z2 .Пусть z = a−1 b. Тогда: z ∈ C, az = a(a−1 b) = (aa−1 )b = 1C b = b1C = b.Пусть z1 , z2 ∈ C. Обозначим, z1 −z2 = z1 +(−z2 ). Очевидно: z1 −z2 ∈ C, (z1 −z2 )+z2 = z1 .Число z1 − z2 называется разностью чисел z1 , z2 .Пусть: z1 , z2 ∈ C, z2 6= 0.
Обозначим, zz21 = z1 z2−1 . Очевидно: zz21 ∈ C, zz12 z2 = z1 . Число zz12называется отношением чисел z1 , z2 или частным чисел z1 , z2 .Утверждение.1. Пусть z ∈ C. Тогда −(−z) = z.2. Пусть z1 , z2 ∈ C. Тогда −(z1 + z2 ) = −z1 + (−z2 ).3. Пусть z ∈ C. Тогда z0C = 0C .4. Пусть z1 , z2 ∈ C. Тогда −(z1 z2 ) = z1 (−z2 ).5. Пусть z ∈ C. Тогда −z = z(−1C ).6. Пусть: z ∈ C, z 6= 0C . Тогда: z −1 6= 0C , (z −1 )−1 = z.7. Пусть: z1 , z2 ∈ C, z1 , z2 6= 0C . Тогда: z1 z2 6= 0C , (z1 z2 )−1 = z1−1 z2−1 .8.
Справедливо утверждение ψ(0) = 0C .9. Пусть x ∈ R. Тогда ψ(−x) = −ψ(x).10. Справедливо утверждение ψ(1) = 1C .6611.12.13.14.6. Комплексные числаПусть: x ∈ R, x 6= 0. Тогда: ψ(x) 6= 0C , ψ(x−1 ) = ψ(x)−1 .Пусть: x, y ∈ R, z = ψ(x) + iψ(y). Тогда: Re(z) = x, Im(z) = y.Справедливо утверждение z ∈ R(ψ) ⇐⇒ z ∈ C ∧ Im(z) = 0 .Пусть: z ∈ C, n ∈ N. Тогда zψ(n) = z + · · · + z.Доказательство.6. Предположим, что z −1 = 0C . Тогда: 1C = zz −1 = z0C = 0C (что противоречит тому,что 1C 6= 0C ). Итак, z −1 6= 0C .Очевидно, z −1 (z −1 )−1 = 1C . С другой стороны: z −1 z = zz −1 = 1C .
Так как z −1 6= 0C ,то (z −1 )−1 = z.7. Предположим, что z1 z2 = 0C . Очевидно, z1 0C = 0C . Так как z1 6= 0C , то z2 = 0C (чтопротиворечит утверждению: z2 6= 0C ). Итак, z1 z2 6= 0C .Очевидно,(z1 z2 )(z1 z2 )−1 = 1C . С другой стороны: (z1 z2 )(z1−1 z2−1 ) = (z1 z2 )(z2−1 z1−1 ) =z1 (z2 z2−1 ) z1−1 = (z1 1C )z1−1 = z1 z1−1 = 1C . Так как z1 z2 6= 0C , то (z1 z2 )−1 = z1−1 z2−1 .11. Так как x 6= 0, то: ψ(x) 6= ψ(0) = 0C . Очевидно: ψ(x)ψ(x−1 ) = ψ(xx−1 ) = ψ(1) = 1C .С другой стороны, ψ(x)ψ(x)−1 = 1C .
Так как ψ(x) 6= 0C , то ψ(x−1 ) = ψ(x)−1 .Замечание. Пусть: λ ∈ R, z ∈ C. Тогда:ψ(λ)z = ψ(λ) ψ(Re z) + iψ(Im z) = ψ(λ)ψ(Re z) + i ψ(λ)ψ(Im z) == ψ λ Re(z) + iψ λ Im(z) .Следовательно: Re ψ(λ)z = λ Re(z), Im ψ(λ)z = λ Im(z).Внимание! Далее обычно будем писать: 0, 1, x вместо: 0C , 1C , ψ(x).Пусть z ∈ C. Обозначим, z = Re(z) − i Im(z).
Очевидно, z ∈ C. Число z называетсясопряжённым числом к числу z. Справедливы утверждения:1. Re(z) = 0 ⇐⇒ z = −z, Im(z) = 0 ⇐⇒ z = z при z ∈ C;2. z = z при z ∈ C;3. z1 + z2 = z1 + z2 при z1 , z2 ∈ C;4. −z = −(z) при z ∈ C;5. z1 z2 = (z1 )(z2 ) при z1 , z2 ∈ C;6. z 6= 0, z −1 = (z)−1 при: z ∈ C, z 6= 0.6.2. Модуль и аргумент комплексного числаСкалярное произведение комплексных чиселПусть z1 , z2 ∈ C. Обозначим, (z1 , z2 ) = Re(z1 ) Re(z2 ) + Im(z1 ) Im(z2 ). Очевидно, (z1 , z2 ) ∈ R.Число (z1 , z2 ) называется скалярным произведением чисел z1 , z2 .
Справедливы утверждения:1. (z1 , z2 ) = (z2 , z1 ) при z1 , z2 ∈ C;2. (z1 , z2 + z3 ) = (z1 , z2 ) + (z1 , z3 ) при z1 , z2 , z3 ∈ C;3. (z1 , λz2 ) = λ(z1 , z2 ) при: z1 , z2 ∈ C, λ ∈ R;4. (z, z) > 0 при: z ∈ C, z 6= 0.Утверждение (неравенство Коши—Буняковского). Пусть z1 , z2 ∈ C. Тогда (z1 , z2 ) 6pp(z1 , z1 ) (z2 , z2 ).6.2. Модуль и аргумент комплексного числа67ppДоказательство. Пусть z2 = 0.
Тогда: (z1 , z2 ) = 0 = (z1 , z1 ) (z2 , z2 ).Пусть z2 6= 0. Тогда (z2 , z2 ) > 0. Пусть λ ∈ R. Тогда:(z1 + λz2 , z1 + λz2 ) > 0,(z1 , z1 ) + (z1 , λz2 ) + (λz2 , z1 ) + (λz2 , λz2 ) > 0,(z1 , z1 ) + (z1 , z2 )λ + (z2 , z1 )λ + (z2 , z2 )λλ > 0,(z1 , z1 ) + 2(z1 , z2 )λ + (z2 , z2 )λ2 > 0.2Вp выбора λ ∈ R получаем, что 4(z1 , z2 ) − 4(z1 , z1 )(z2 , z2 ) 6 0.
Тогдаp силу произвольности(z1 , z2 ) 6 (z1 , z1 ) (z2 , z2 ).Модуль комплексного числаПусть z ∈ C. Обозначим, |z|C =вается модулем числа z.p(Re z)2 + (Im z)2 . Очевидно, |z|C ∈ R. Число |z|C назы-Утверждение.p1. Пусть z ∈ C. Тогда |z|C = (z, z).2. Пусть x ∈ R. Тогда |x|C = |x|.3. Пусть: z ∈ C, z 6= 0. Тогда |z|C > 0.4. Пусть z1 , z2 ∈ C.
Тогда |z1 + z2 |C 6 |z1 |C + |z2 |C .Доказательство.4. Очевидно:pp|z1 + z2 |C = (z1 + z2 , z1 + z2 ) = (z1 , z1 ) + (z1 , z2 ) + (z2 , z1 ) + (z2 , z2 ) =qp= (z1 , z1 ) + 2(z1 , z2 ) + (z2 , z2 ) 6 (z1 , z1 ) + 2(z1 , z2 ) + (z2 , z2 ) 6qqpp6 (z1 , z1 ) + 2 (z1 , z1 ) (z2 , z2 ) + (z2 , z2 ) = |z1 |2C + 2 |z1 |C |z2 |C + |z2 |2C =q2|z1 |C + |z2 |C = |z1 |C + |z2 |C .=«Большой аргумент»Пусть z ∈ C. Обозначим:nArg(z) = ϕ : ϕ ∈ R ∧ z = |z| cos(ϕ) + i sin(ϕ)Будем говорить, что ϕ — аргумент числа z, если ϕ ∈ Arg(z).o.Замечание (выражение для Arg(z)).
Пусть: z ∈ C, z 6= 0. Очевидно:Arg(z) = ϕ : ϕ ∈ R ∧ |z| cos(ϕ) = Re(z) ∧ |z| sin(ϕ) = Im(z) =Re(z)Im(z)= ϕ : ϕ ∈ R ∧ cos(ϕ) =.∧ sin(ϕ) =|z||z|Пусть: ϕ0 ∈ Arg(z), k ∈ Z. Очевидно, ϕ0 + 2πk ∈ Arg(z).Пусть ϕ, ϕ0 ∈ Arg(z). Нетрудно доказать, что существует число k, удовлетворяющееусловиям: k ∈ Z, ϕ = ϕ0 + 2πk.686. Комплексные числа2 2Im(z)Так как Re(z)+= 1, то существует число ϕ0 , удовлетворяющее условию|z||z|ϕ0 ∈ Arg(z).
Тогда:Arg(z) = {ϕ0 + 2πk : k ∈ Z} = ϕ : ∃k(k ∈ Z ∧ ϕ = ϕ0 + 2πk) .Пусть z = 0. Очевидно, Arg(z) = R.Замечание (тригонометрическая форма записи комплексного числа). Пусть: z ∈ C, ϕ ∈Arg(z). Тогда z = |z| cos(ϕ) + i sin(ϕ) .Пусть: ρ ∈ [0, +∞), ϕ ∈ R, z = ρ cos(ϕ) + i sin(ϕ) . Тогда:qp22 p22ρ cos(ϕ) + ρ sin(ϕ) = ρ2 = ρ.|z| = (Re z) + (Im z) =Следовательно, z = |z| cos(ϕ) + i sin(ϕ) . Тогда ϕ ∈ Arg(z).Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
