А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 18
Текст из файла (страница 18)
, xr ) (здесь: δkm = 0 при: k,m = 1, r, k 6= m; δkm = 1 при: k, m = 1, r, k = m).Будем говорить, что по любой линейной комбинации векторов x1 , . . . , xr однозначновосстанавливаются её коэффициенты, если для любых чисел α1 , . . . , αr , β 1 , . . . , β r , удовлетворяющих условиям: α1 , . . . , αr , β 1 , . .
. , β r ∈ K, αk xk = β k xk , справедливо утверждение∀k = 1, r(αk = β k ).Будем говорить, что x1 , . . . , xr — линейно зависимые векторы, если существуют числаλ1 , . . . , λr , удовлетворяющие условиям: λ1 , . . . , λr ∈ K, λk xk = θ, ∃k = 1, r(λk 6= 0).Будем говорить, что x1 , . . .
, xr — линейно независимые векторы, если для любых чиселλ1 , . . . , λr , удовлетворяющих условиям: λ1 , . . . , λr ∈ K, λk xk = θ, справедливо утверждение∀k = 1, r(λk = 0).Утверждение (критерий линейной зависимости векторов). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L —линейное пространство над полем K.1. Пусть x ∈ L. Вектор x является линейно зависимым тогда и только тогда, когдаx = θ.2. Пусть: r ∈ Z, r > 2, x1 , .
. . , xr ∈ L. Векторы x1 , . . . , xr являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда существует номер k0 = 1, r, удовлетворяющийусловию xk0 ∈ L(x1 , . . . , xk0 −1 , xk0 +1 , . . . , xr ).Доказательство.1. Пусть x — линейно зависимый вектор. Тогда существует число λ ∈ K, удовлетворяющее условиям: λx = θ, λ 6= 0. Следовательно, x = θ.Пусть x = θ. Тогда 1x = θ. Так как 1 6= 0, то x — линейно зависимый вектор.2. Пусть x1 , . . . , xr — линейно зависимые векторы.
Тогда существуют числа λ1 , . . . , λN ∈K, удовлетворяющие условиям: λk xk = θ, ∃k = 1, r(λk 6= 0). Выберем номер k0 = 1, r,удовлетворяющий условию λk0 6= 0. Тогда:λ1 x1 + · · · + λk0 −1 xk0 −1 + λk0 xk0 + λk0 +1 xk0 +1 + · · · + λr xr = θ,x k0 =−λk0 −1−λk0 +1−λr−λ1x1 + · · · +xk0 −1 +xk0 +1 + · · · +xr ,λ k0λ k0λ k0λ k0xk0 ∈ L(x1 , . . . , xk0 −1 , xk0 +1 , . .
. , xr ).Пусть существует номер k0 = 1, r, удовлетворяющий условию xk0∈1k0 −1k0 +1rL(x1 , . . . , xk0 −1 , xk0 +1 , . . . , xr ). Тогда существуют числа λ , . . . , λ,λ, . . . , λ ∈ K, удовлетворяющие условию:xk0 = λ1 x1 + · · · + λk0 −1 xk0 −1 + λk0 +1 xk0 +1 + · · · + λr xr .Следовательно:(−λ1 )x1 + · · · + (−λk0 −1 )xk0 −1 + 1xk0 + (−λk0 +1 )xk0 +1 + · · · + (−λr )xr = θ.Так как 1 6= 0, то x1 , . . . , xr — линейно зависимые векторы.7.2.
Линейная комбинация векторов, линейная зависимость векторов81Утверждение (критерий линейной независимости векторов). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L —линейное пространство над полем K; r ∈ N, x1 , . . . , xr ∈ L. Векторы x1 , . . . , xr являются линейно независимыми тогда и только тогда, когда по любой линейной комбинациивекторов x1 , . . . , xr однозначно восстанавливаются её коэффициенты.Доказательство. Пусть x1 , .
. . , xr — линейно независимые векторы. Пусть: α1 , . . . , αr ,β 1 , . . . , β r ∈ K, αk xk = β k xk . Тогда (αk − β k )xk = θ. Так как x1 , . . . , xr — линейно независимые векторы, то ∀k = 1, r(αk − β k = 0). Тогда ∀k = 1, r(αk = β k ). Следовательно, полюбой линейной комбинации векторов x1 , . .
. , xr однозначно восстанавливаются её коэффициенты.Пусть по любой линейной комбинации векторов x1 , . . . , xr однозначно восстанавливаются её коэффициенты. Пусть: λ1 , . . . , λr ∈ K, λk xk = θ. Тогда:λ1 x1 + · · · + λr xr = 0x1 + · · · + 0xr .Так как по любой линейной комбинации векторов x1 , . .
. , xr однозначно восстанавливаютсяеё коэффициенты, то ∀k = 1, r(λk = 0). Тогда x1 , . . . , xr — линейно независимые векторы.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; r ∈ N,x1 , . . . , xr , x ∈ L, x1 , . . . , xr — линейно независимые векторы, x1 , . . . , xr , x — линейнозависимые векторы. Тогда x ∈ L(x1 , . .
. , xr ).Доказательство. Так как x1 , . . . , xr , x — линейно зависимые векторы, то существуютчисла λ1 , . . . , λr+1 ∈ K, удовлетворяющие условиям: λ1 x1 + · · · + λr xr + λr+1 x = θ,∃k = 1, r + 1(λk 6= 0). Предположим, что λr+1 = 0. Тогда: λ1 x1 + · · · + λr xr = θ,∃k = 1, r(λk 6= 0) (что противоречит утверждению: x1 , . .
. , xr — линейно независимыевекторы). Итак, λr+1 6= 0. Тогда:−λ1−λrx+···+xr ,1λr+1λr+1x ∈ L(x1 , . . . , xr ).x=Замечание (перестановки).1. Пусть M — некоторое множество.Будем говорить, что σ — перестановка множества M , если: σ — обратимая функция,D(σ) = M , R(σ) = M .Обозначим через S(M ) множество всех перестановок множества M .Пусть σ1 , σ2 ∈ S(M ). Обозначим, σ2 σ1 = σ2 ◦ σ1 . Очевидно: σ2 σ1 — обратимая функция, D(σ2 σ1 ) = x : x ∈ D(σ1 ) ∧ σ1 (x) ∈ D(σ2 ) = x : x ∈ M ∧ σ1 (x) ∈ M = {x : x ∈ M } = M,R(σ2 σ1 ) = (σ2 σ1 )[M ] = σ2 σ1 [M ] = σ2 R(σ1 ) = σ2 [M ] = R(σ2 ) = M.Тогда σ2 σ1 ∈ S(M ).Обозначим: e(x) = x при x ∈ M . Очевидно, e ∈ S(M ).Пусть σ ∈ S(M ). Очевидно: σ −1 — обратимая функция, D(σ −1 ) = R(σ) = M ,R(σ −1 ) = D(σ) = M . Тогда σ −1 ∈ S(M ).Пусть σ1 , σ2 , σ3 ∈ S(M ).
Очевидно, (σ3 σ2 )σ1 = σ3 (σ2 σ1 ).Пусть σ ∈ S(M ). Очевидно: σe = σ, eσ = σ.Пусть σ ∈ S(M ). Очевидно: σσ −1 = e, σ −1 σ = e.827. Линейное пространство2. Пусть: M — некоторое конечное множество, σ — обратимая функция, D(σ) = M ,R(σ) ⊆ M . Так как D(σ) — конечное множество,то R(σ) — конечное множество. Так какσ — обратимаяфункция, то: card R(σ) = card D(σ) = card(M ). Так как: R(σ) ⊆ M ,card R(σ) = card(M ), то R(σ) = M . Тогда σ ∈ S(M ).3. Обозначим, S0 = S(∅).Пусть r ∈ N. Обозначим, Sr = S {1, . .
. , r} .4. Пусть: r ∈ N, k1 , . . . , kr = 1, r, k1 , . . . , kr — различные числа. Обозначим: σ(1) =k1 , . . . , σ(r) = kr . Очевидно: σ — обратимая функция, D(σ) = {1, . . . , r}, R(σ) ⊆ {1, . . . , r}.Тогда σ ∈ Sr .Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; r ∈ N,x1 , . . . , xr ∈ L, σ ∈ Sr , xσ(1) , . . . , xσ(r) — линейно зависимые векторы. Тогда x1 , .
. . , xr —линейно зависимые векторы.Доказательство. Так как xσ(1) , . . . , xσ(r) — линейно зависимые векторы, то существуютчисла λ1 , . . . , λr ∈ K, удовлетворяющие условиям: λ1 xσ(1) +· · ·+λr xσ(r) = θ, ∃m = 1, r(λm 6=0). Тогда:λσ−1 (1)x1 + · · · + λσ−1 (r)xr = θ,∃k = 1, r(λσ−1 (k)6= 0).Следовательно, x1 , . . . , xr — линейно зависимые векторы.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; r ∈ N,x1 , .
. . , xr ∈ L, r0 ∈ N, k1 , . . . , kr0 = 1, r, k1 < · · · < kr0 , xk1 , . . . , xkr0 — линейно зависимыевекторы. Тогда x1 , . . . , xr — линейно зависимые векторы.Доказательство. Так как xk1 , . . . , xkr0 — линейно зависимые векторы, то существуют числа α1 , . . . , αr0 ∈ K, удовлетворяющие условиям: α1 xk1 +· · ·+αr0 xkr0 = θ, ∃m = 1, r0 (αm 6= 0)./ {k1 , . . . , kr0 }.
Тогда:Обозначим: β k1 = α1 , . . . , β kr0 = αr0 , β k = 0 при: k = 1, r, k ∈β k1 xk1 + · · · + β kr0 xkr0 = θ,β 1 x1 + · · · + β r xr = θ,∃m = 1, r0 (β km 6= 0);∃k = 1, r(β k 6= 0).Следовательно, x1 , . . . , xr — линейно зависимые векторы.7.3. Подпространство линейного пространстваОпределение (ядро векторной функции). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространствонад полем K; F — функция, R(F ) ⊆ L.
Обозначим:ker(F ) = x : x ∈ D(F ) ∧ F (x) = θ .Множество ker(F ) называется ядром функции F или множеством нулей функции F илимножеством корней функции F . Очевидно: ker(F ) = x : x ∈ D(F ) ∧ F (x) = θ = x : x ∈ D(F ) ∧ F (x) ∈ {θ} = D F, {θ} .Определение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; Q — множество, L — линейное пространство над полемK.
Рассмотрим множество Fun(Q, L).7.3. Подпространство линейного пространства83Пусть ϕ1 , ϕ2 : Q =⇒ L. Обозначим:(ϕ1 + ϕ2 )(x) = ϕ1 (x) + ϕ2 (x), x ∈ Q.Очевидно, ϕ1 + ϕ2 : Q =⇒ L. Будем говорить, что {ϕ1 + ϕ2 }ϕ1 ,ϕ2 : Q =⇒ L — стандартнаяоперация сложения на множестве Fun(Q, L).Пусть: λ ∈ K, ϕ : Q =⇒ L. Обозначим:(λϕ)(x) = λϕ(x), x ∈ Q.Очевидно, λϕ : Q =⇒ L. Будем говорить, что {λϕ}λ∈K, ϕ : Q =⇒ L — стандартная внешняяоперация умножения на множестве Fun(Q, L).Обозначим:Θ(x) = θ, x ∈ Q.Очевидно, Θ : Q =⇒ L.
Будем говорить, что Θ — стандартный нулевой элемент множества Fun(Q, L).Утверждение (линейное пространство векторных функций). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; Q —множество, L — линейное пространство над полем K, F1 — стандартная операция сложения на множестве Fun(Q, L), F2 — стандартная внешняя операция умножения намножестве Fun(Q, L), Θ — стандартный нулевой элемент множества Fun(Q, L). Тогда:пространство над полем K, Θ — нулевой вектор пространFun(Q, L), F1 , F2 — линейноества Fun(Q, L), F1 , F2 .Доказательство.1. Пусть ϕ1 , ϕ2 : Q =⇒ L. Пусть x ∈ Q. Тогда:(ϕ1 + ϕ2 )(x) = ϕ1 (x) + ϕ2 (x) = ϕ2 (x) + ϕ1 (x) = (ϕ2 + ϕ1 )(x).Следовательно, ϕ1 + ϕ2 = ϕ2 + ϕ1 .2. Пусть ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 : Q =⇒ L.
Пусть x ∈ Q. Тогда:(ϕ1 + ϕ2 ) + ϕ3 (x) = ϕ1 (x) + ϕ2 (x) + ϕ3 (x) = ϕ1 (x) + ϕ2 (x) + ϕ3 (x) == ϕ1 + (ϕ2 + ϕ3 ) (x).Следовательно, (ϕ1 + ϕ2 ) + ϕ3 = ϕ1 + (ϕ2 + ϕ3 ).3. Пусть ϕ : Q =⇒ L. Пусть x ∈ Q. Тогда:(ϕ + Θ)(x) = ϕ(x) + Θ(x) = ϕ(x) + θ = ϕ(x).Следовательно, ϕ + Θ = ϕ.4. Пусть ϕ : Q =⇒ L. Пусть x ∈ Q. Тогда:ϕ + (−1)ϕ (x) = ϕ(x) + (−1)ϕ(x) = θ = Θ(x).Следовательно, ϕ + (−1)ϕ = Θ.5. Пусть: α, β ∈ K, ϕ : Q =⇒ L. Пусть x ∈ Q. Тогда:(αβ)ϕ (x) = (αβ)ϕ(x) = α βϕ(x) = α(βϕ) (x).Следовательно, (αβ)ϕ = α(βϕ).847. Линейное пространство6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
