А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 22
Текст из файла (страница 22)
. , er0 ∈ {x1 , . . . , xr }, то существуют числа k1 , . . . , kr0 =1, r, удовлетворяющие условиям: e1 = xk1 , . . . , er0 = xkr0 . Так как r0 < r, то существует/ {k1 , . . . , kr0 }. Тогда k1 , . . . , kr0 ∈ {1, . . . , k −число k = 1, r, удовлетворяющее условию k ∈1, k + 1, . . . , r}. Так как xk ∈ {x1 , . . . , xr }, то: xk ∈ L(e1 , .
. . , er0 ) = L(xk1 , . . . , xkr0 ). Так какk1 , . . . , kr0 ∈ {1, . . . , k−1, k+1, . . . , r}, то xk ∈ L(x1 , . . . , xk−1 , xk+1 , . . . , xr ). Тогда x1 , . . . , xr —линейно зависимые векторы.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q1 ,Q2 — подпространства пространства L, Q1 ⊆ Q2 , dim(Q1 ) = dim(Q2 ), dim(Q2 ) 6= +∞.Тогда Q1 = Q2 .Доказательство. Обозначим, N = dim(Q2 ). Тогда: N ∈ Z+ , dim(Q1 ), dim(Q2 ) = N .Пусть N = 0. Так как dim(Q1 ), dim(Q2 ) = N , то Q1 , Q2 = {θ}.
Тогда Q1 = Q2 .Пусть N 6= 0. Тогда N ∈ N. Так как dim(Q1 ) = N , то существуют векторы e1 , . . . , eN ,удовлетворяющие условиям: e1 , . . . , eN ∈ Q1 , e1 , . . . , eN — линейно независимые векторы. Так как dim(Q1 ) = N , то e1 , . . . , eN — базис подпространства Q1 длины N . Так как:e1 , . . . , eN ∈ Q1 , Q1 ⊆ Q2 , то e1 , . . . , eN ∈ Q2 . Так как: e1 , .
. . , eN — линейно независимые векторы, dim(Q2 ) = N , то e1 , . . . , eN — базис подпространства Q2 длины N . Тогда:Q1 = L(e1 , . . . , eN ) = Q2 .9. Определитель матрицы97Лекция 9. Определитель матрицы9.1. Определение определителя. Теория перестановокОпределение (определитель в пространстве KN ×N ). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N ∈ N;F : KN ×N =⇒ K.Пусть справедливы утверждения.1.
Пусть: k = 1, N , X, Y , A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN ∈ KN . Тогда:F (A1 , . . . , Ak−1 , X + Y, Ak+1 , . . . , AN ) == F (A1 , . . . , Ak−1 , X, Ak+1 , . . . , AN ) + F (A1 , . . . , Ak−1 , Y, Ak+1 , . . . , AN ).2. Пусть: k = 1, N , λ ∈ K, A1 , . . . , AN ∈ KN . Тогда:F (A1 , . . . , Ak−1 , λAk , Ak+1 , . . . , AN ) = λF (A1 , .
. . , AN ).3. Пусть: k, m = 1, N , k < m, A1 , . . . , AN ∈ KN , Ak = Am . Тогда F (A1 , . . . , AN ) = 0.4. F (I) = 1.Будем говорить, что F — определитель в пространстве KN ×N .Замечание. Пусть K ∈ {C, R, Q}.Пусть A ∈ K1×1 . Обозначим, F (A) = A11 . Очевидно, F — определитель в пространствеK1×1 .Пусть A ∈ K2×2 . Обозначим, F (A) = A11 A22 − A21 A12 .
Очевидно, F — определитель впространстве K2×2 .Пусть A ∈ K3×3 . Обозначим, F (A) = A11 A22 A33 + A31 A12 A23 + A21 A32 A13 − A31 A22 A13 − A11 A32 A23 −2 1 3A1 A2 A3 . Очевидно, F — определитель в пространстве K3×3 .Замечание (перестановки).1. Пусть M — некоторое множество.Будем говорить, что σ — перестановка множества M , если: σ — обратимая функция,D(σ) = M , R(σ) = M .Обозначим через S(M ) множество всех перестановок множества M .Пусть σ1 , σ2 ∈ S(M ). Обозначим, σ2 σ1 = σ2 ◦ σ1 . Очевидно: σ2 σ1 — обратимая функция, D(σ2 σ1 ) = x : x ∈ D(σ1 ) ∧ σ1 (x) ∈ D(σ2 ) = x : x ∈ M ∧ σ1 (x) ∈ M = {x : x ∈ M } = M,R(σ2 σ1 ) = (σ2 σ1 )[M ] = σ2 σ1 [M ] = σ2 R(σ1 ) = σ2 [M ] = R(σ2 ) = M.Тогда σ2 σ1 ∈ S(M ).Обозначим: e(x) = x при x ∈ M .
Очевидно, e ∈ S(M ).Пусть σ ∈ S(M ). Очевидно: σ −1 — обратимая функция, D(σ −1 ) = R(σ) = M ,−1R(σ ) = D(σ) = M . Тогда σ −1 ∈ S(M ).Пусть σ1 , σ2 , σ3 ∈ S(M ). Очевидно, (σ3 σ2 )σ1 = σ3 (σ2 σ1 ).Пусть σ ∈ S(M ). Очевидно: σe = σ, eσ = σ.Пусть σ ∈ S(M ). Очевидно: σσ −1 = e, σ −1 σ = e.2. Пусть: M — некоторое конечное множество; σ — обратимая функция, D(σ) = M ,R(σ) ⊆ M . Так как D(σ) — конечное множество,то R(σ) — конечное множество. Так какσ — обратимаяфункция,то:cardR(σ)=cardD(σ)= card(M ).
Так как: R(σ) ⊆ M ,card R(σ) = card(M ), то R(σ) = M . Тогда σ ∈ S(M ).989. Определитель матрицы3. Обозначим, S0 = S(∅).Пусть N ∈ N. Обозначим, SN = S {1, . . . , N } .4. Пусть: N ∈ N; k1 , . . . , kN = 1, N , k1 , . . . , kN — различные числа. Обозначим:σ(1) = k1 , . . . , σ(N ) = kN . Очевидно: σ — обратимая функция, D(σ) = {1, . . . , N },R(σ) ⊆ {1, . . .
, N }. Тогда σ ∈ SN .Замечание (простые и элементарные перестановки). Пусть: N ∈ Z, N > 2.Пусть σ ∈ SN . Будем говорить, что σ — простая перестановка, если существуют числаk, m = 1, N , удовлетворяющие условиям: k < m, σ(k) = m, σ(m) = k, σ(i) = i при:i = 1, N , i 6= k, i 6= m.Пусть σ ∈ SN . Будем говорить, что σ раскладывается в произведение простых перестановок, если существует число r ∈ N, существуют перестановки σ1 , . .
. , σr ∈ SN , удовлетворяющие условиям: σ1 , . . . , σr — простые перестановки, σ = σr · · · σ1 .Пусть σ ∈ SN . Будем говорить, что σ — элементарная перестановка, если существуетчисло k = 1, N − 1, удовлетворяющее условиям: σ(k) = k + 1, σ(k + 1) = k, σ(i) = i при:i = 1, N , i 6= k, i 6= k + 1.Пусть σ ∈ SN . Будем говорить, что σ раскладывается в произведение элементарныхперестановок, если существует число r ∈ N, существуют перестановки σ1 , .
. . , σr ∈ SN ,удовлетворяющие условиям: σ1 , . . . , σr — элементарные перестановки, σ = σr · · · σ1 .Очевидно, e раскладывается в произведение элементарных перестановок.Утверждение. Пусть: N ∈ Z, N > 2; σ ∈ SN . Тогда σ раскладывается в произведениеэлементарных перестановок.Доказательство. Достаточно доказать, что для любого числа Ñ = 1, N существует перестановка σ̃ ∈ SN , удовлетворяющая условиям: σ̃ раскладывается в произведение элементарных перестановок, σ̃(i) = σ(i) при i = 1, Ñ .Так как σ(1) = 1, N , то существует число k = 1, N , удовлетворяющее условиюe(k) = σ(1). Пусть k = 1. Тогда: e ∈ SN , e раскладывается в произведение элементарных перестановок, e(1) = σ(1).
Пусть k > 2. Тогда существует число r ∈ N, существуютперестановки σ1 , . . . , σr ∈ SN , удовлетворяющие условиям: σ1 , . . . , σr — элементарные перестановки, (eσr · · · σ1 )(1) = σ(1). Следовательно: eσr · · · σ1 ∈ SN , eσr · · · σ1 раскладываетсяв произведение элементарных перестановок, (eσr · · · σ1 )(1) = σ(1).Пусть: Ñ = 1, N − 1, σ̃ ∈ SN , σ̃ раскладывается в произведение элементарных перестановок, σ̃(i) = σ(i) при i = 1, Ñ . Так как σ(Ñ + 1) = 1, N , то существует числоk = 1, N , удовлетворяющее условию σ̃(k) = σ(Ñ + 1).
Предположим, что k 6 Ñ . Тогда:σ(Ñ + 1) = σ̃(k) = σ(k). Так как σ — обратимая функция, то Ñ + 1 = k (что противоречит утверждению: k 6 Ñ ). Итак, k > Ñ + 1. Пусть k = Ñ + 1. Тогда: σ̃ ∈ SN , σ̃раскладывается в произведение элементарных перестановок, σ̃(i) = σ(i) при i = 1, Ñ + 1.Пусть k > Ñ + 2. Тогда существует число r ∈ N, существуют перестановки σ1 , .
. . , σr ∈ SN ,удовлетворяющие условиям: σ1 , . . . , σr — элементарные перестановки, (σ̃σr · · · σ1 )(i) = σ(i)при i = 1, Ñ + 1. Следовательно: σ̃σr · · · σ1 ∈ SN , σ̃σr · · · σ1 раскладывается в произведениеэлементарных перестановок, (σ̃σr · · · σ1 )(i) = σ(i) при i = 1, Ñ + 1.Определение. Обозначим: h(x) = 0 при x ∈ (−∞, 0); h(x) = 1 при x ∈ [0, +∞). Очевидно,h : R =⇒ R. Будем говорить, что h — функция Хевисайда.Определение. Пусть: N ∈ Z, N > 2.9.1. Определение определителя. Теория перестановок99Пусть σ ∈ SN . Обозначим:P (σ) =X16i<j6Nh σ(i) − σ(j) .Очевидно, P (σ) ∈ Z+ .
Будем говорить, что P (σ) — число беспорядков в перестановке σ.Пусть σ ∈ SN . Обозначим, sgn(σ) = (−1)P (σ) . Очевидно, sgn(σ) ∈ {−1, 1}. Будем говорить, что sgn(σ) — знак перестановки σ.Очевидно: P (e) = 0, sgn(e) = 1.Определение. Пусть N = 0, 1.Пусть σ ∈ SN . Обозначим, P (σ) = 0. Будем говорить, что P (σ) — число беспорядков вперестановке σ.Пусть σ ∈ SN .
Обозначим, sgn(σ) = 1. Будем говорить, что sgn(σ) — знак перестановкиσ.Пусть σ ∈ SN . Очевидно, sgn(σ) = (−1)P (σ) .Замечание. Пусть: N ∈ Z, N > 2; σ ∈ SN , i0 = 1, N − 1. Тогда:Xh σ(i) − σ(j) =P (σ) =16i<j6NX=16i<j6N,i, j6=i0 , i0 +1NX+j=i0 +2+h σ(i) − σ(j) + h σ(i0 ) − σ(i0 + 1) +h σ(i0 ) − σ(j) +iX0 −1i=1NXj=i0 +2h σ(i) − σ(i0 ) +iX0 −1i=1h σ(i0 + 1) − σ(j) +h σ(i) − σ(i0 + 1) .Утверждение.Пусть: N ∈ Z, N > 2; σ1 , σ2 ∈ SN , σ1 — элементарная перестановка.Тогда: P (σ2 σ1 ) − P (σ2 ) = 1, sgn(σ2 σ1 ) = − sgn(σ2 ).Доказательство.
Так как σ1 — элементарная перестановка, то существует число i0 =1, N − 1, удовлетворяющее условиям: σ1 (i0 ) = i0 + 1, σ1 (i0 + 1) = i0 , σ1 (i) = i при: i = 1, N ,i 6= i0 , i 6= i0 + 1. Тогда:Xh σ2 (i) − σ2 (j) + h σ2 (i0 ) − σ2 (i0 + 1) +P (σ2 ) =16i<j6N,i, j6=i0 , i0 +1+NXj=i0 +2+h σ2 (i0 ) − σ2 (j) +iX0 −1i=1P (σ2 σ1 ) =X16i<j6N,i, j6=i0 , i0 +1+NXj=i0 +2NXj=i0 +2h σ2 (i) − σ2 (i0 ) +iX0 −1i=1h σ2 (i0 + 1) − σ2 (j) +h σ2 (i) − σ2 (i0 + 1) ;h (σ2 σ1 )(i) − (σ2 σ1 )(j) + h (σ2 σ1 )(i0 ) − (σ2 σ1 )(i0 + 1) +h (σ2 σ1 )(i0 ) − (σ2 σ1 )(j) +NXj=i0 +2h (σ2 σ1 )(i0 + 1) − (σ2 σ1 )(j) +1009.
Определитель матрицы+iX0 −1i=1h (σ2 σ1 )(i) − (σ2 σ1 )(i0 ) +X=16i<j6N,i, j6=i0 , i0 +1+NXj=i0 +2+iX0 −1i=1h (σ2 σ1 )(i) − (σ2 σ1 )(i0 + 1) =h σ2 (i) − σ2 (j) + h σ2 (i0 + 1) − σ2 (i0 ) +NXh σ2 (i0 + 1) − σ2 (j) +h σ2 (i0 ) − σ2 (j) +iX0 −1i=1Следовательно:j=i0 +2h σ2 (i) − σ2 (i0 + 1) +iX0 −1i=1h σ2 (i) − σ2 (i0 ) .P (σ2 σ1 ) − P (σ2 ) = h σ2 (i0 + 1) − σ2 (i0 ) − h σ2 (i0 ) − σ2 (i0 + 1) .Так как σ2 — обратимая функция, тоσ2 (i0 ) 6= σ2 (i0 + 1).
Пусть σ2 (i0 ) < σ2 (i0 + 1). ТогдаP (σ2 σ1 ) − P (σ2 ) = 1. Следовательно: P (σ2 σ1 ) − P (σ2 ) = 1, sgn(σ2σ1 ) = − sgn(σ2 ). Пустьσ2 (i0 ) > σ2 (i0 + 1). Тогда P (σ2 σ1 ) − P (σ2 ) = −1. Следовательно: P (σ2 σ1 ) − P (σ2 ) = 1,sgn(σ2 σ1 ) = − sgn(σ2 ).Утверждение.1. Пусть: N ∈ Z, N > 2; r ∈ N, σ1 , . . . , σr ∈ SN , σ1 , . .
. , σr — элементарные перестановки. Тогда sgn(σr · · · σ1 ) = (−1)r .2. Пусть: N ∈ N, N > 2; σ ∈ SN , σ — элементарная перестановка. Тогда sgn(σ) = −1.3. Пусть: N ∈ Z+ ; σ1 , σ2 ∈ SN . Тогда sgn(σ2 σ1 ) = sgn(σ2 ) sgn(σ1 ).4. Пусть: N ∈ Z+ ; σ ∈ SN . Тогда sgn(σ −1 ) = sgn(σ).5.
Пусть: N ∈ Z, N > 2; σ ∈ SN , σ — простая перестановка. Тогда sgn(σ) = −1.6. Пусть: N ∈ Z, N > 2; r ∈ N, σ1 , . . . , σr ∈ SN , σ1 , . . . , σr — простые перестановки.Тогда sgn(σr · · · σ1 ) = (−1)r .Доказательство.1. Очевидно:sgn(σr · · · σ1 ) = sgn(eσr · · · σ1 ) = (−1)r sgn(e) = (−1)r .2. Очевидно: sgn(σ) = (−1)1 = −1.3. Пусть N > 2. Тогда существует число r ∈ N, существуют перестановкиσ1,1 , .
. . , σ1,r ∈ SN , удовлетворяющие условиям: σ1,1 , . . . , σ1,r — элементарные перестановки,σ1 = σ1,r · · · σ1,1 . Следовательно:sgn(σ2 σ1 ) = sgn(σ2 σ1,r · · · σ1,1 ) = sgn(σ2 )(−1)r = sgn(σ2 ) sgn(σ1 ).Пусть N = 0, 1. Тогда σ1 , σ2 = e. Следовательно:sgn(σ2 σ1 ) = sgn(ee) = sgn(e) = sgn(e) sgn(e) = sgn(σ2 ) sgn(σ1 ).4. Очевидно: σσ −1 = e, sgn(σσ −1 ) = sgn(e), sgn(σ) sgn(σ −1 ) = 1, sgn(σ −1 ) = sgn(σ).5. Так как σ — простая перестановка, то существуют числа k, m = 1, N , удовлетворяющие условиям: k < m, σ(k) = m, σ(m) = k, σ(i) = i при: i = 1, N , i 6= k,i 6= m. Тогда существуют перестановки σ1 , .
. . , σ2(m−k)−1 ∈ SN , удовлетворяющие условиям: σ1 , . . . , σ2(m−k)−1 — элементарные перестановки, σ = eσ2(m−k)−1 · · · σ1 . Следовательно:sgn(σ) = sgn(eσ2(m−k)−1 · · · σ1 ) = (−1)2(m−k)−1 sgn(e) = −1.6. Очевидно: sgn(σr · · · σ1 ) = sgn(σr ) · · · sgn(σ1 ) = (−1)r .9.2. Существование и единственность определителя1019.2. Существование и единственность определителяУтверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N ∈ N; F — определитель в пространстве KN ×N .1. Пусть: k, m = 1, N , k < m, A1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
