А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Будем говорить, что (−1)j+i ∆i (A) — алгебраическое дополнение элементаAji в матрице A.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N ∈ Z, N > 2; A ∈ KN ×N . Тогда:Ndet(A1 , . . . , AN −1 , IN ) = ∆N (A).Доказательство. Пусть σ̃ ∈ SN −1 . Обозначим: ϕ(σ̃)(k) = σ̃(k) при k = 1, N − 1; ϕ(σ̃)(N ) =N . Тогда: ϕ(σ̃)Очевидно: ϕ — обратимая функция, D(ϕ) = ∈ SN , sgn ϕ(σ̃) = sgn(σ̃).SN −1 , R(ϕ) = σ : σ ∈ SN ∧ σ(N ) = N . Тогда:Xσ(1)σ(N −1) σ(N )sgn(σ)A1 · · · AN −1 IN =det(A1 , . .

. , AN −1 , IN ) =σ∈SN=Xσ(1)sgn(σ)A1σ∈SN=Xσ(N −1) σ(N )· · · AN −1 δNσ(1)sgn(σ)A1σ∈SN , σ(N )=N=Xσ̃∈SN −1=Xσ(1)sgn(σ)A1σ∈SN , σ(N )=Nσ(N −1)· · · AN −1σ(N −1) σ(N )δN· · · AN −1== замена: σ = ϕ(σ̃), σ̃ ∈ SN −1 =X ϕ(σ̃)(1)Nσ̃(1)σ̃(N −1)ϕ(σ̃)(N −1)sgn(σ̃)A1 · · · AN −1 = ∆N (A).sgn ϕ(σ̃) A1· · · AN −1=σ̃∈SN −1Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N ∈ Z, N > 2; A ∈ KN ×N , i0 , j0 = 1, N .

Тогда:j0det(A1 , . . . , Ai0 −1 , Ij0 , Ai0 +1 , . . . , AN ) = (−1)j0 +i0 ∆i0 (A).Доказательство. Обозначим:B = (A1 , . . . , Ai0 −1 , Ai0 +1 , . . . , AN , Ij0 ), 1 B ..  .  j0 −1 BC = B j0 +1  . .  ..  BN B j01069. Определитель матрицыТогда:det(A1 , . . .

, Ai0 −1 , Ij0 , Ai0 +1 , . . . , AN ) = (−1)N −i0 det(A1 , . . . , Ai0 −1 , Ai0 +1 , . . . , AN , Ij0 ) = 1  1 BB ..  ..  .  .  j0 −1  j0 −1 BB j0 +1 N −i0N −i0N −i0N −j0j0= (−1)det(B) = (−1)det  B  = (−1)(−1)det B= j0 +1  . B ..  .  ..  BN BNB j0= (−1)N −i0 (−1)N −j0 det(C) = (−1)N −i0 (−1)N −j0 det(C1 , . . . , CN −1 , CN ) =Nj0= (−1)j0 +i0 det(C1 , . . . , CN −1 , IN ) = (−1)j0 +i0 ∆N (C) = (−1)j0 +i0 ∆i0 (A).Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N ∈ Z, N > 2; A ∈ KN ×N , i0 = 1, N . Тогда:det(A) =NXj(−1)j+i0 ∆i0 (A)Aji0 .j=1Доказательство.

Очевидно:det(A) = det(A1 , . . . , Ai0 −1 , Ai0 , Ai0 +1 , . . . , AN ) = det(A1 , . . . , Ai0 −1 , Ij Aji0 , Ai0 +1 , . . . , AN ) ==det(A1 , . . . , Ai0 −1 , Ij , Ai0 +1 , . . . , AN )Aji0NXj=(−1)j+i0 ∆i0 (A)Aji0 .j=19.4. Метод Гаусса—Жордана для вычисления определителяЗамечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N ∈ Z, N > 2; A ∈ KN ×N .Пусть: ∃i = 1, N (Ai = θ̃) либо ∃j = 1, N (Aj = θ̃).

Тогда det(A) = 0. Остановим процесс.Пусть: ∀i = 1, N (Ai 6= θ̃), ∀j = 1, N (Aj 6= θ̃), N = 2. Тогда det(A) = A11 A22 − A21 A12 .Остановим процесс.Пусть: ∀i = 1, N (Ai 6= θ̃), ∀j = 1, N (Aj 6= θ̃), N > 3. Обозначим, N1 = N − 1. Тогда:N1 ∈ Z, N1 > 2. Выберем числа i0 , j0 = 1, N , удовлетворяющие условию Aji00 6= 0. Первыйвариант. Обнулим элементы, стоящие над элементом Aji00 , обнулим элементы, стоящие подэлементом Aji00 . Разложим полученный определитель по столбцу с номером i0 , получим число λ1 ∈ R, получим матрицу B1 ∈ RN1 ×N1 , удовлетворяющую условию det(A) = λ1 det(B1 ).Второй вариант.

Обнулим элементы, стоящие левее элемента Aji00 , обнулим элементы, стоящие правее элемента Aji00 . Разложим полученный определитель по строке с номеромj0 , получим число λ1 ∈ R, получим матрицу B1 ∈ RN1 ×N1 , удовлетворяющую условиюdet(A) = λ1 det(B1 ). Перейдёмк следующему шагу.Пусть: ∃i = 1, N1 (B1 )i = θ̃ либо ∃j = 1, N1 (B1 )j = θ̃ .

Тогда: det(A) = λ1 det(B1 ) = 0.Остановим процесс.Пусть: ∀i = 1, N1 (B1 )i 6= θ̃ , ∀j = 1, N1 (B1 )j 6= θ̃ , N1 = 2. Тогда: det(A) =λ1 det(B1 ) = λ1 (B1 )11 (B1 )22 − (B1 )21 (B1 )12 . Остановим процесс.Пусть: ∀i = 1, N1 (B1 )i 6= θ̃ , ∀j = 1, N1 (B1 )j 6= θ̃ , N1 > 3. Обозначим, N2 = N1 − 1.Тогда: N2 ∈ Z, N2 > 2. Выберем числа i0 , j0 = 1, N1 , удовлетворяющие условию (B1 )ji00 6= 0.9.4.

Метод Гаусса—Жордана для вычисления определителя107Первый вариант. Обнулим элементы, стоящие над элементом (B1 )ji00 , обнулим элементы,стоящие под элементом (B1 )ji00 . Разложим полученный определитель по столбцу с номеромi0 , получим число λ2 ∈ R, получим матрицу B2 ∈ RN2 ×N2 , удовлетворяющую условиюdet(A) = λ2 det(B2 ).

Второй вариант. Обнулим элементы, стоящие левее элемента (B1 )ji00 ,обнулим элементы, стоящие правее элемента (B1 )ji00 . Разложим полученный определительпо строке с номером j0 , получим число λ2 ∈ R, получим матрицу B2 ∈ RN2 ×N2 , удовлетворяющую условию det(A) = λ2 det(B2 ). Перейдём к следующему шагу.Продолжая рассуждения, получим det(A).10810.

Размерность линейного пространства. Ранг матрицыЛекция 10. Размерность линейного пространства. Рангматрицы10.1. Теорема о базисном минореОпределение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N1 , N2 ∈ N; A ∈ KN2 ×N1 .Пусть: r ∈ N, i1 , . . . , ir = 1, N1 , i1 < · · · < ir , j1 , . . . , jr = 1, N2 , j1 < · · · < jr . Обозначим: j A 1 · Aj 1 ir i1,...,jr(A) = ... ... ... .∆ji11,...,ir jrAi · Aji r 1r,...,jrБудем говорить, что ∆ji11,...,i(A) — минор матрицы A порядка r.rПусть: r1 ∈ N, i1 , . . .

, ir1 = 1, N1 , i1 < · · · < ir1 , j1 , . . . , jr1 = 1, N2 , j1 < · · · < jr1 ; r2 ∈ N,k1 , . . . , kr2 = 1, N1 , k1 < · · · < kr2 , m1 , . . . , mr2 = 1, N2 , m1 < · · · < mr2 . Будем говорить, чтоj ,...,jm ,...,mминор ∆k11,...,kr r2 (A) окаймляет минор ∆i11,...,irr11 (A), если: r1 < r2 , i1 , . . .

, ir1 ∈ {k1 , . . . , kr2 },2j1 , . . . , jr1 ∈ {m1 , . . . , mr2 }.Пусть: r ∈ N, i1 , . . . , ir = 1, N1 , Ai1 , . . . , Air — базис множества {A1 , . . . , AN1 } длины r.Будем говорить, что Ai1 , . . . , Air — базисные столбцы матрицы A.Пусть: r ∈ N, j1 , . .

. , jr = 1, N2 , Aj1 , . . . , Ajr — базис множества {A1 , . . . , AN2 } длины r.Будем говорить, что Aj1 , . . . , Ajr — базисные строки матрицы A.Пусть: r ∈ N, i1 , . . . , ir = 1, N1 , i1 < · · · < ir , j1 , . . . , jr = 1, N2 , j1 < · · · < jr ,Ai1 , . . . , Air — базис множества {A1 , . . . , AN1 } длины r; Aj1 , . . . , Ajr — базис множества,...,jr(A) — базисный минор матрицы A.{A1 , . . . , AN2 } длины r.

Будем говорить, что ∆ji11,...,irТеорема (о базисном миноре). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N1 , N2 ∈ N; A ∈ KN2 ×N1 .Пусть: r ∈ N, i1 , . . . , ir = 1, N1 , i1 < · · · < ir , j1 , . . . , jr = 1, N2 , j1 < · · · < jr ,j1 ,...,jr∆i1 ,...,ir (A) 6= 0.,...,jrПусть все миноры матрицы A порядка r + 1, окаймляющие минор ∆ji11,...,i(A), равныrнулю (если они существуют).Тогда: Ai1 , .

. . , Air — базис множества {A1 , . . . , AN1 } длины r; Aj1 , . . . , Ajr — базисмножества {A1 , . . . , AN2 } длины r.,...,jrДоказательство. Обозначим: δ = ∆ji11,...,i(A),r jAi11Ã =  ...Aji1r· Ajir1.. ..  .. . · AjirrПредположим, что Ai1 , . . . , Air — линейно зависимые столбцы. Тогда Ã1 , . . . , Ãr — линейно зависимые столбцы. Следовательно: δ = det(Ã1 , . .

. , Ãr ) = 0 (что противоречитутверждению: δ 6= 0). Итак, Ai1 , . . . , Air — линейно независимые столбцы.Пусть: i = 1, N1 , j = 1, N2 . Обозначим: j1Ai1 · Ajir1 Aji 1 .. .. ....  . . .. .B(i, j) =  jrjrAi1 · Air Aji r Aji1 · Ajir Aji10.1. Теорема о базисном миноре109Пусть i ∈ {i1 , . . .

, ir }. Тогда последний столбец матрицы B(i, j) равен одному из предыдущих столбцов матрицы B(i, j). Следовательно, det B(i, j) = 0.Пусть j ∈ {j1 , . . . , jr }. Тогда последняя строка матрицы B(i, j) равна одной из предыдущих строк матрицы B(i, j). Следовательно, det B(i, j) = 0.Пусть: i ∈/ {i1 , . . . , ir }, j ∈/ {j1 , . .

. , jr }. Тогда det B(i, j) равен (с точностью до знака)одному из миноров матрицы A порядка r + 1, окаймляющих минор δ. Следовательно,det B(i, j) = 0.Итак, det B(i, j) = 0. Тогда:r+1r+10 = det B(i, j) = (−1)(r+1)+1 ∆1 B(i, j) Aji1 + · · · + (−1)(r+1)+r ∆r B(i, j) Ajir +r+1+ (−1)(r+1)+(r+1) ∆r+1 B(i, j) Aji .r+1Так как: (−1)(r+1)+(r+1) ∆r+1 B(i, j) = δ 6= 0, то:Aji= (−1)r+1(r+2)+1 ∆1r+1B(i, j) jB(i, j) j(r+2)+r ∆rAi1 + · · · + (−1)Air .δδr+1Пусть k = 1, r.

Очевидно, число (−1)(r+2)+k ∆kr+1(B(i,j))δне зависит от выбора номера(r+2)+k ∆k(B(i,j)). Тогда Aji = C 1 (i)Aji1 + · · · + C r (i)Ajir .j = 1, N2 . Обозначим, C k (i) = (−1)δ jСледовательно, (Ai )j = C 1 (i)Ai1 + · · · + C r (i)Air . В силу произвольности выбора номераj = 1, N2 получаем, что Ai = C 1 (i)Ai1 + · · · + C r (i)Air .Аналогично проводятся рассуждения для строк.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q ⊆ L,e — базис множества Q длины r. Тогда rank(Q) = r.Доказательство.

Так как e — базис множества Q длины r, то: r ∈ N, e ∈ Qr , e1 , . . . , er —линейно независимые векторы, Q ⊆ L(e1 , . . . , er ).Итак: e1 , . . . , er ∈ Q, e1 , . . . , er — линейно независимые векторы.Пусть x1 , . . . , xr+1 ∈ Q. Обозначим: x̃ji = [xi ]j (e) при: i = 1, r + 1, j = 1, r. Очевидно:x̃ ∈ Kr×(r+1) , x̃1 = [x1 ](e), . . . , x̃r+1 = [xr+1 ](e).Пусть x̃ = Θ (здесь Θ — нулевой элемент пространства Kr×(r+1) ). Тогда x̃1 , . . . , x̃r+1 =θ̃ (здесь θ̃ — нулевой элемент пространства Kr ).

Характеристики

Список файлов книги