А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Пусть: A ∈ lin(L1 , L2 ), A — обратимый оператор. Тогда: A−1 ∈ lin(L2 , L1 ), A−1 —обратимый оператор.AA−1Пусть L1 ≈ L2 . Тогда L2 ≈ L1 .2. Пусть: A ∈ lin(L1 , L2 ), A — обратимый оператор, r ∈ N, x1 , . . . , xr ∈ D(A). Векторы x1 , . . . , xr являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда векторыAx1 , . . . , Axr являются линейно зависимыми.3. Пусть: A ∈ lin(L1 , L2 ), A — обратимый оператор, Q ⊆ D(A). Тогда rank A[Q] =rank(Q).Пусть: A ∈ lin(L1 , L2 ), A — обратимыйоператор, Q ⊆ D(A), Q — подпространствопространства L1 .
Тогда dim A[Q] = dim(Q).Пусть: A ∈ lin(L1 , L2 ), A — обратимый оператор. Тогда dim R(A) = dim D(A) .AПусть L1 ≈ L2 . Тогда dim(L1 ) = dim(L2 ).Доказательство.1. Пусть: A ∈ lin(L1 , L2 ), A — обратимый оператор. Так как A : L1 → L2 , то A−1 : L2 →L1 . Так как: R(A) — подпространство пространства L2 , D(A−1 ) = R(A), то D(A−1 ) —подпространство пространства L2 .Пусть y1 , y2 ∈ R(A). Тогда:A−1 (y1 + y2 ) = A−1 A(A−1 y1 ) + A(A−1 y2 ) = A−1 A(A−1 y1 + A−1 y2 ) = A−1 y1 + A−1 y2 .11. Линейные операторы.
Изоморфизмы линейных пространств119Пусть: λ ∈ K, y ∈ R(A). Тогда:A−1 (λy) = A−1 λA(A−1 y) = A−1 A λA−1 (y) = λA−1 (y).Итак, A−1 ∈ lin(L2 , L1 ). Очевидно, A−1 — обратимый оператор.AПусть L1 ≈ L2 . Так как: A ∈ lin(L1 , L2 ), A — обратимый оператор, то: A−1 ∈lin(L2 , L1 ), A−1 — обратимый оператор. Так как: R(A) = L2 , D(A) = L1 , то: D(A−1 ) =A−1R(A) = L2 , R(A−1 ) = D(A) = L1 . Тогда L2 ≈ L1 .2. Пусть x1 , . . . , xr — линейно зависимые векторы.
Так как: A ∈ lin(L1 , L2 ), x1 , . . . , xr ∈D(A), то Ax1 , . . . , Axr — линейно зависимые векторы.Пусть Ax1 , . . . , Axr — линейно зависимые векторы. Пусть k = 1, r. Так как xk ∈D(A), то: Axk ∈ R(A), xk = A−1 (Axk ). Так как: A−1 ∈ lin(L2 , L1 ), Ax1 , . . . , Axr — линейнозависимые векторы, то x1 , . . . , xr — линейно зависимые векторы.3. Пусть: A ∈ lin(L1 , L2 ), A — обратимый оператор, Q ⊆ D(A). Так как: A ∈ lin(L1 , L2 ),Q ⊆ D(A)⊆L,тоrankA[Q]6 rank(Q). Так как Q ⊆ D(A), то: A[Q] ⊆ R(A) ⊆ L2 ,1−1−1−1A A[Q] = (A A)[Q] = Q∩ D(A) = Q.
Так как A∈ lin(L2 , L1 ), то rank(Q) 6rank A[Q] . Так как rank A[Q] 6 rank(Q), то rank A[Q] = rank(Q).Пусть: A ∈ lin(L1 , L2 ), A — обратимый оператор, Q ⊆ D(A), Q — подпространствопространства L1 . Так как: A ∈ lin(L1 , L2 ), Q — подпространство пространства L1 , то A[Q] —подпространство пространстваL2 . Так как: A ∈ lin(L1 , L2 ), A — обратимый оператор,Q ⊆ D(A), то rank A[Q] = rank(Q). Так как: Q — подпространствопространства L1 ,A[Q] — подпространство пространства L2 , то dim A[Q] = dim(Q).Пусть: A ∈ lin(L1 , L2 ), A — обратимый оператор.Так как: D(A) ⊆ D(A), D(A) —подпространство пространства L1 , R(A) = A D(A) , то dim R(A) = dim D(A) .AПустьL≈L.Таккак:A∈lin(L,L),A—обратимыйоператор,тоdimR(A)1212 =dim D(A) . Так как: D(A) = L1 , R(A) = L2 , то: dim(L1 ) = dim D(A) = dim R(A) =dim(L2 ).Теорема.
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 , L2 — линейные пространства над полем K;dim(L1 ) = dim(L2 ), dim(L2 ) 6= +∞. Тогда L1 ≈ L2 .Доказательство. Обозначим, N = dim(L2 ). Тогда: N ∈ Z+ , dim(L1 ) = N .Пусть N = 0. Так как dim(L1 ), dim(L2 ) = N , то: L1 = {θ1 }, L2 = {θ2 }. Обозначим,AA(θ1 ) = θ2 . Тогда L1 ≈ L2 .Пусть N 6= 0. Тогда N ∈ N. Так как dim(L1 ), dim(L2 ) = N , то существуют векторы e1 , . . .
, eN , f1 , . . . , fN , удовлетворяющие условиям: e1 , . . . , eN — базис пространства L1 ,hehfhef1 , . . . , fN — базис пространства L2 . Тогда: L1 ≈ KN , L2 ≈ KN . Следовательно: L1 ≈ KN ,h−1fh−1f heKN ≈ L2 . Тогда L1 ≈ L2 .Замечание (метод Гаусса—Жордана для нахождения ранга, базисных столбцов, базисныхстрок матрицы). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N1 , N2 ∈ N; A ∈ KN2 ×N1 . Пусть A = Θ. Тогда:rank(A) = 0, у матрицы A нет базисных столбцов, у матрицы A нет базисных строк.Пусть A 6= Θ. Обозначим, B0 = A. Тогда: B0 ∈ KN2 ×N1 , B0 6= Θ.Выберем числа i1 = 1, N1 , j1 = 1, N2 , удовлетворяющие условию (B0 )ji11 6= 0. Обнулим элементы, стоящие над элементом (B0 )ji11 , обнулим элементы, стоящие под элементом(B0 )ji11 . Получим матрицу B1 ∈ KN2 ×N1 , удовлетворяющую условиям: (B1 )ji11 6= 0, (B1 )ji1 = 012011.
Линейные операторы. Изоморфизмы линейных пространствпри: j = 1, N2 , j 6= j1 . Пусть матрица B1 содержит ровно одну ненулевую строку. Остановим процесс. Пусть матрица B1 содержит, по крайней мере, две ненулевые строки. Перейдём к следующему шагу.Выберем числа i2 = 1, N1 , j2 = 1, N2 , удовлетворяющие условиям: j2 6= j1 , (B1 )ji22 6= 0.Очевидно, i2 6= i1 . Тогда: i1 , i2 = 1, N1 , i1 , i2 — различные числа, j1 , j2 = 1, N2 , j1 , j2 —различные числа.
Обнулим элементы, стоящие над элементом (B1 )ji22 , обнулим элементы,стоящие под элементом (B1 )ji22 . Получим матрицу B2 ∈ KN2 ×N1 , удовлетворяющую условиям: (B2 )jikk 6= 0, (B2 )jik = 0 при: k = 1, 2, j = 1, N2 , j 6= jk . Пусть матрица B2 содержитровно две ненулевые строки. Остановим процесс. Пусть матрица B2 содержит, по крайнеймере, три ненулевые строки. Перейдём к следующему шагу.Продолжая рассуждения, получим число r = 1, min{N1 , N2 }, получим числа i1 , . .
. , ir =1, N1 , j1 , . . . , jr = 1, N2 , получим матрицу Br ∈ KN2 ×N1 , удовлетворяющую условиям:i1 , . . . , ir — различные числа, j1 , . . . , jr — различные числа, (Br )jikk 6= 0, (Br )jik = 0 при:k = 1, r, j = 1, N2 , j 6= jk ; матрица Br содержит ровно r ненулевых строк. Очевидно, (Br )i1 , . . .
, (Br )ir — базисные столбцы матрицы Br . Тогда rank(Br ) = r. Так какm=1,r(Br )i1 , . . . , (Br )ir — линейно независимые столбцы, то det (Br )jikm k=1,r 6= 0.Очевидно:detТак как detrank(A) = rank(B0 ) = · · · = rank(Br ) = r;m=1,r m=1,r m=1,rAjikm k=1,r = det (B0 )jikm k=1,r = · · · = det (Br )jikm k=1,r 6= 0.Ajikmm=1,r k=1,r6= 0, то: Ai1 , . . . , Air — линейно независимые столбцы,Aj1 , . .
. , Ajr — линейно независимые строки. Так как rank(A) = r, то: Ai1 , . . . , Air — базисные столбцы матрицы A; Aj1 , . . . , Ajr — базисные строки матрицы A.12. Система линейных алгебраических уравнений121Лекция 12. Система линейных алгебраических уравнений12.1. Линейное операторное уравнениеПусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 , L2 — линейные пространства над полем K; A ∈ lin(L1 , L2 ),y ∈ L2 .
Рассмотрим уравнение:(Ax = y,(1)x ∈ D(A).Будем говорить, что (1) — линейное операторное уравнение. Пусть y = θ2 . Будем говорить,что (1) — линейное однородное операторное уравнение. Пусть y 6= θ2 . Будем говорить, что(1) — линейное неоднородное операторное уравнение.Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 , L2 — линейные пространства над полем K; A ∈ lin(L1 , L2 ).Рассмотрим уравнение:(Ax = θ2 ,(2)x ∈ D(A).Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 , L2 — линейные пространства над полем K; A ∈lin(L1 , L2 ). Рассмотримуравнение (2).1. Пусть dim ker(A) = 0.
Тогда ker(A) = {θ1 }.2. Пусть: m ∈ N, dim ker(A) = m. Тогда существуют векторы e1 , . . . , em , удовлетворяющие условию: e1 , . . . , em — базис подпространства ker(A). Следовательно, ker(A) =L(e1 , . . . , em ).3. Пусть dim ker(A) = +∞. Ничего сказать нельзя.Будем говорить, что e — фундаментальная совокупность решений (ФСР) уравнения (2), если e — базис подпространства ker(A).Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 , L2 — линейные пространстванад полем K; A ∈lin(L1 , L2 ), y ∈ L2 .
Рассмотримуравнение (1). Обозначим, Q = x : x ∈ D(A) ∧ Ax = y .Очевидно, Q = D A, {y} .Пусть x1 , x2 ∈ Q. Тогда: x1 ∈ D(A), Ax1 = y, x2 ∈ D(A), Ax2 = y. Следовательно:x1 − x2 ∈ D(A), A(x1 − x2 ) = Ax1 − Ax2 = y − y = θ2 . Тогда x1 − x2 ∈ ker(A).Пусть: x1 ∈ Q, x2 ∈ ker(A). Тогда: x1 ∈ D(A), Ax1 = y, x2 ∈ D(A), Ax2 = θ2 . Следовательно: x1 + x2 ∈ D(A), A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 = y + θ2 = y. Тогда x1 + x2 ∈ Q.Пусть x0 ∈ Q. Докажем, что Q = {x0 } + ker(A).Пусть x ∈ Q. Так как x0 ∈ Q, то x−x0 ∈ ker(A). Тогда: x = x0 +(x−x0 ) ∈ {x0 }+ker(A).Пусть x ∈ {x0 } + ker(A).
Тогда существует вектор x̃, удовлетворяющий условиям: x̃ ∈ker(A), x = x0 + x̃. Так как x0 ∈ Q, то x ∈ Q.Итак, Q = {x0 } + ker(A).1. Пусть y ∈/ R(A). Тогда Q = ∅.2. Пусть y ∈ R(A). Тогда существует вектор x0 , удовлетворяющий условию x0 ∈ Q.Следовательно, Q = {x0 } + ker(A).2.1. Пусть dim ker(A) = 0. Тогда ker(A) = {θ1 }. Следовательно: Q = {x0 }+ker(A) ={x0 } + {θ1 } = {x0 }.12212. Система линейных алгебраических уравнений2.2. Пусть: m ∈ N, dim ker(A) = m. Тогда существуют векторы e1 , . . . , em , удовлетворяющие условию: e1 , .
. . , em — базис подпространства ker(A). Следовательно, ker(A) =L(e1 , . . . , em ). Тогда: Q = {x0 } + ker(A) = {x0 } + L(e1 , . . . , em ).2.3. Пусть dim ker(A) = +∞. Ничего сказать нельзя.12.2. Система линейных алгебраических уравненийПусть: K ∈ {C, R, Q}; N1 , N2 ∈ N; A ∈ KN2 ×N1 , y ∈ KN2 . Рассмотрим уравнение:(Ax = y,x ∈ K N1 .(3)Очевидно, уравнение (3) можно переписать в виде линейного операторного уравнения:(Âx = y,x ∈ D(Â).Очевидно, уравнение (3) можно переписать в виде системы линейных алгебраическихуравнений (СЛАУ):A11 x1 + · · · + A1N1 xN1 = y 1 , ...........................N2 N12 1= y N2 ;AN1 x + · · · + AN1 xx1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
