А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Тогда Q = ∅. Остановим процесс. Пустьматрица (B1 , z1 ) не содержит квазинулевых строк. Пусть матрица B1 содержит ровно однуненулевую строку. Остановим процесс. Пусть матрица B1 содержит, по крайней мере, двененулевые строки. Перейдём к следующему шагу.Выберем числа i2 = 1, N1 , j2 = 1, N2 , удовлетворяющие условиям: j2 6= j1 , (B1 )ji22 6= 0.Очевидно, i2 6= i1 . Тогда: i1 , i2 = 1, N1 , i1 , i2 — различные числа, j1 , j2 = 1, N2 , j1 , j2 —различные числа.
Обнулим элементы, стоящие над элементом (B1 )ji22 , обнулим элементы,стоящие под элементом (B1 )ji22 . Получим матрицу B2 ∈ KN2 ×N1 , получим столбец z2 ∈ KN2 ,удовлетворяющий условиям: (B2 )jikk 6= 0, (B2 )jik = 0 при: k = 1, 2, j = 1, N2 , j 6= jk ; Q ={x : x ∈ KN1 ∧ B1 x = z1 }. Пусть матрица (B2 , z2 ) содержит квазинулевую строку. ТогдаQ = ∅.
Остановим процесс. Пусть матрица B2 содержит ровно две ненулевые строки.Остановим процесс. Пусть матрица B2 содержит, по крайней мере, три ненулевые строки.Перейдём к следующему шагу.Первый вариант. Продолжая рассуждения, получим, что Q = ∅.Второй вариант. Продолжая рассуждения, получим число r = 1, min{N1 , N2 }, получимчисла i1 , . . . , ir = 1, N1 , j1 , . .
. , jr = 1, N2 , получим матрицу Br ∈ KN2 ×N1 , получим столбецzr ∈ KN2 , удовлетворяющий условиям: i1 , . . . , ir — различные числа, j1 , . . . , jr — различныечисла, (Br )jikk 6= 0, (Br )jik = 0 при: k = 1, r, j = 1, N2 , j 6= jk ; Q = {x : x ∈ KN1 ∧ Br x = zr },матрица (Br , zr ) не содержит квазинулевых строк, матрица Br содержит ровно r ненулевых строк.
Далее можно выписывать ответ.13. Кривые второго порядка127Лекция 13. Кривые второго порядка13.1. Определение кривой второго порядкаОпределение. Будем говорить, что l — кривая второго порядка в пространстве E 2 , если:l ⊆ E 2 ; существуют объекты O, e, A, B, C, удовлетворяющие условиям: O ∈ E 2 , e — базис~ 2 , A ∈ R2×2 , AT = A, A 6= Θ, B ∈ R1×2 , C ∈ R, hO,e [l] — множество всехпространства Eрешений уравнения:Ak,m xk xm + 2Bm xm + C = 0,x ∈ R2 .Утверждение (без доказательства).
Пусть l — кривая второго порядка в пространстве E 2 . Тогда l является одним из следующих множеств.1. Эллипс.2. Множество, состоящее из одной точки.3. Пустое множество.4. Гипербола.5. Объединение двух прямых, имеющих одну общую точку.6. Парабола.7. Объединение двух прямых, не имеющих общих точек.8. Прямая.13.2. ЭллипсОпределение.
Будем говорить, что l — эллипс в пространстве E 2 , если: l ⊆ E 2 ; существуютобъекты O, e, a, b, удовлетворяющие условиям: O ∈ E 2 , e — правый ортонормированный~ 2 , a, b ∈ R, 0 < b 6 a, hO,e [l] — множество всех решений уравнения:базис пространства E(x1 )2 (x2 )2+ 2 = 1,a2bx ∈ R2 .~ 2 , a,Пусть: l ⊆ E 2 ; O ∈ E 2 , e — правый ортонормированный базис пространства Eb ∈ R, 0 < b 6 a, hO,e [l] — множество всех решений уравнения:(x1 )2 (x2 )2+ 2 = 1,a2bx ∈ R2 .Тогда l — эллипс в пространстве E 2 .Будем говорить, что: hO,e — каноническая система координат для эллипса l; a — большая полуось эллипса l; b — малая полуось эллипса l.
Очевидно, O ∈/ l. Пусть: M ∈ l,−1−1121212x = hO,e (M ). Тогда: h−1(−x,x)∈l,h(x,−x)∈l,h(−x,−x)∈l.O,eO,eO,eУтверждение. Справедливо утверждение: hO,e [l] — множество всех решений уравнения:r(x1 )2|x2 | = b 1 − 2 ,a12813. Кривые второго порядкаx ∈ R2 , |x1 | 6 a.Справедливо утверждение: hO,e [l] — множество всех решений уравнения:r(x2 )21|x | = a 1 − 2 ,bx ∈ R2 , |x2 | 6 b.√Обозначим, c = a2 − b2 . Тогда c ∈ [0, a). Пусть a > b.
Тогда c > 0. Пусть a = b. Тогдаc = 0.Обозначим, ε = ac . Тогда ε ∈ [0, 1). Будем говорить, что ε — эксцентриситет эллипса l.Пусть a > b. Тогда ε > 0. Пусть a = b. Тогда ε = 0.−12Обозначим: F1 = h−1/ l, ρ(F1 , F2 ) = 2c.O,e (−c, 0), F2 = hO,e (c, 0). Тогда: F1 , F2 ∈ E , F1 , F2 ∈Будем говорить, что: F1 , F2 — фокусы эллипса l; ρ(F1 , F2 ) — фокусное расстояние эллипсаl.
Пусть a > b. Тогда: F1 , F2 6= O, F1 6= F2 . Пусть a = b. Тогда F1 , F2 = O.Пусть M ∈ E 2 . Обозначим: r1 (M ) = ρ(M, F1 ), r2 (M )p= ρ(M, F2 ). Тогда r1 (M ),(x1 + c)2 + (x2 )2 , r2 (M ) =r2 (M ) ∈ [0, +∞). Пусть x = hO,e (M ). Тогда: r1 (M ) =p(x1 − c)2 + (x2 )2 .−−→Замечание. Пусть M ∈ l. Так как F1 ∈/ l, то M 6= F1 .
Тогда: F1 M 6= θ, r1 (M ) = ρ(M, F1 ) >0.−−→Пусть M ∈ l. Так как F2 ∈/ l, то M 6= F2 . Тогда: F2 M 6= θ, r2 (M ) = ρ(M, F2 ) > 0.Утверждение. Пусть: M ∈ E 2 , x = hO,e (M ). Тогда:r (x1 )2 (x2 )2r1 (M ) = b2+−1+ (a + εx1 )2 ,22abr (x1 )2 (x2 )2r2 (M ) = b2+−1+ (a − εx1 )2 .a2b2Доказательство.
Очевидно:rr (x1 )2 (x2 )2 (x1 )2 (x2 )2 c 1 221 )2 =b2b+−1+(a+εx+−1+a+x=a2b2 ra2b2a (x1 )2 (x2 )2c2 1 22 + 2cx1 += b2+−1+a(x ) =222abar (x1 )2 (x2 )2a2 − b 2 1 2 p 1 222 + 2cx1 += b+−1+a(x ) = (x ) + 2x1 c + c2 + (x2 )2 =2a2b2ap= (x1 + c)2 + (x2 )2 = r1 (M );rr (x1 )2 (x2 )2 (x1 )2 (x2 )2 c 1 221 )2 =b2b+−1+(a−εx+−1+a−x=a2b2 ra2b2a (x1 )2 (x2 )2c2 1 22 − 2cx1 ++−1+a(x ) == b2222abar (x1 )2 (x2 )2a2 − b 2 1 2 p 1 222 − 2cx1 ++−1+a(x ) = (x ) − 2x1 c + c2 + (x2 )2 == b2a2b2ap= (x1 − c)2 + (x2 )2 = r2 (M ).13.2. Эллипс129Утверждение (фокальные свойства эллипса).1. Пусть: M ∈ l, x = hO,e (M ).
Тогда r1 (M ) = |a + εx1 |.2. Пусть: M ∈ E 2 , x = hO,e (M ), r1 (M ) = |a + εx1 |. Тогда M ∈ l.3. Пусть: M ∈ l, x = hO,e (M ). Тогда r2 (M ) = |a − εx1 |.4. Пусть: M ∈ E 2 , x = hO,e (M ), r2 (M ) = |a − εx1 |. Тогда M ∈ l.Доказательство.1 22 21. Так как M ∈ l, то (xa2) + (xb2) = 1. Тогда:r (x1 )2 (x2 )2p1 )2 =r1 (M ) = b2(a + εx1 )2 = |a + εx1 |.+−1+(a+εxa2b22. Очевидно:r1 (M ) = |a + εx1 |, (x1 )2 (x2 )2b2+−1+ (a + εx1 )2 = |a + εx1 |,a2b2 1 2 (x2 )22 (x )+ 2 − 1 + (a + εx1 )2 = (a + εx1 )2 ,b2ab (x1 )2 (x2 )2b2+−1= 0,a2b2(x1 )2 (x2 )2+ 2 = 1.a2brТогда M ∈ l.1 22 23.
Так как M ∈ l, то (xa2) + (xb2) = 1. Тогда:r (x1 )2 (x2 )2p1 )2 =r2 (M ) = b2(a − εx1 )2 = |a − εx1 |.+−1+(a−εxa2b24. Очевидно:r2 (M ) = |a − εx1 |, (x1 )2 (x2 )2b2+−1+ (a − εx1 )2 = |a − εx1 |,a2b2 (x1 )2 (x2 )2+−1+ (a − εx1 )2 = (a − εx1 )2 ,b2a2b2 (x1 )2 (x2 )2b2+−1= 0,a2b2(x1 )2 (x2 )2+ 2 = 1.a2brТогда M ∈ l.Замечание. Пусть: M ∈ l, x = hO,e (M ). Тогда |x1 | 6 a. Так как:a > 0,|ε| < 1, то a+εx1 > 0.Пусть: M ∈ E 2 , x = hO,e (M ), r1 (M ) = a + εx1 .
Тогда r1 (M ) = |a + εx1 |. Так какr1 (M ) > 0, то r1 (M ) = |a + εx1 |.Пусть: M ∈ l, x = hO,e (M ). Тогда |x1 | 6 a. Так как: a > 0, |ε| < 1, то a − εx1 > 0.Пусть: M ∈ E 2 , x = hO,e (M ), r2 (M ) = a − εx1 . Тогда r2 (M ) = |a − εx1 |. Так какr2 (M ) > 0, то r2 (M ) = |a − εx1 |.13013. Кривые второго порядкаЗамечание (фокальные свойства эллипса).
Пусть: M ∈ l, x = hO,e (M ). Тогда: r1 (M ) =|a + εx1 |, a + εx1 > 0. Следовательно, r1 (M ) = a + εx1 .Пусть: M ∈ E 2 , x = hO,e (M ), r1 (M ) = a + εx1 . Тогда r1 (M ) = |a + εx1 |. Следовательно,M ∈ l.Пусть: M ∈ l, x = hO,e (M ). Тогда: r2 (M ) = |a − εx1 |, a − εx1 > 0. Следовательно,r2 (M ) = a − εx1 .Пусть: M ∈ E 2 , x = hO,e (M ), r2 (M ) = a − εx1 . Тогда r2 (M ) = |a − εx1 |. Следовательно,M ∈ l.Утверждение (фокальные свойства эллипса).1. Пусть M ∈ l. Тогда r1 (M ) + r2 (M ) = 2a.2.
Пусть: M ∈ E 2 , r1 (M ) + r2 (M ) = 2a. Тогда M ∈ l.Доказательство.1. Обозначим, x = hO,e (M ). Так как M ∈ l, то: r1 (M ) = a + εx1 , r2 (M ) = a − εx1 . Тогдаr1 (M ) + r2 (M ) = 2a.2. Обозначим, x = hO,e (M ). Очевидно:Тогда r1 (M )22r1 (M ) = (x1 + c)2 + (x2 )2 = (x1 )2 + 2x1 c + c2 + (x2 )2 ,2r2 (M ) = (x1 − c)2 + (x2 )2 = (x1 )2 − 2x1 c + c2 + (x2 )2 .− r2 (M )2= 4x1 c. Следовательно:22r1 (M ) − r2 (M ) r1 (M ) + r2 (M ) = r1 (M ) − r2 (M ) = 4x1 c.Так как r1 (M ) + r2 (M ) = 2a, то:r1 (M ) − r2 (M ) =1 14x c = 2εx1 .2aТак как r1 (M ) + r2 (M ) = 2a, то r1 (M ) = a + εx1 . Тогда M ∈ l.Пусть a > b.
Пусть: D1 ⊆ E 2 , hO,e [D1 ] — множество всех решений уравнения: x1 = − aε ,x ∈ R2 ; D2 ⊆ E 2 , hO,e [D2 ] — множество всех решений уравнения: x1 = aε , x ∈ R2 . Тогда:D1 , D2 — прямые в пространстве E 2 , O, F1 , F2 ∈/ D1 , O, F1 , F2 ∈/ D2 , D1 ∩ l = ∅, D2 ∩ l = ∅,D1 ∩ D2 = ∅. Будем говорить, что D1 , D2 — директрисы эллипса l.Пусть M ∈ E 2 . Обозначим: d1 (M ) = ρ(M, D1 ), d2 (M ) = ρ(M, D2 ). Тогда d1 (M ), d2 (M ) ∈[0, +∞). Пусть x = hO,e (M ). Тогда: d1 (M ) = |x1 + aε |, d1 (M ) = |x1 − aε |.Утверждение (фокально-директориальные свойства эллипса).1. Пусть M ∈ l. Тогда r1 (M ) = εd1 (M ).2. Пусть: M ∈ E 2 , r1 (M ) = εd1 (M ).
Тогда M ∈ l.3. Пусть M ∈ l. Тогда r2 (M ) = εd2 (M ).4. Пусть: M ∈ E 2 , r2 (M ) = εd2 (M ). Тогда M ∈ l.Доказательство.1. Обозначим, x = hO,e (M ). Так как M ∈ l, то: 1 a1r1 (M ) = |a + εx | = εx + = εd1 (M ).ε13.2. Эллипс1312. Обозначим, x = hO,e (M ). Очевидно:r1 (M ) = εd1 (M ) = εx1 +a = |a + εx1 |.εТогда M ∈ l.3. Обозначим, x = hO,e (M ). Так как M ∈ l, то: 1 a1r2 (M ) = |a − εx | = εx − = εd1 (M ).ε4. Обозначим, x = hO,e (M ).
Очевидно:Тогда M ∈ l.r1 (M ) = εd1 (M ) = εx1 −a = |a − εx1 |.εОпределение (нормальный вектор к эллипсу, касательный вектор к эллипсу, касательнаяпрямая к эллипсу). Пусть: M0 ∈ l, x0 = hO,e (M0 ).x1x2~ 2 , N∗ (M0 ) 6= θ. Будем говорить,Обозначим, N∗ (M0 ) = a20 e1 + b20 e2 . Тогда: N∗ (M0 ) ∈ Eчто N — нормальный вектор к эллипсу l в точке M0 , если N ∈ L N∗ (M0 ) .x1x2~ 2 , τ∗ (M0 ) ⊥ N∗ (M0 ), τ∗ (M0 ) 6= θ.Обозначим, τ∗ (M0 ) = − b20 e1 + a20 e2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
