А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Тогда: τ∗ (M0 ) ∈ EБудем говорить, что τ — касательный вектор к эллипсу l в точке M0 , если τ ∈ L τ∗ (M0 ) .Обозначим через l∗ (M0 ) прямую, удовлетворяющую условиям: l∗ (M0 ) — прямая в пространстве E 2 , M0 ∈ l∗ (M0 ), N∗ (M0 ) — нормальный вектор к прямой l∗ (M0 ). Будем говорить, что l∗ (M0 ) — касательная прямая к эллипсу l в точке M0 .−−−→Утверждение.Пустьψ:R→l.Обозначим:ψ(t)=Oψ(t) при t ∈ D(ψ); ψ2 (t) =1hO,e ψ(t) при t ∈ D(ψ).Пусть: t0 ∈ R, ψ1 — дифференцируемая функция в точке t0 .
Обозначим: M0 = ψ(t0 ),x0 = ψ2 (t0 ). Тогда: ψ̇1 (t0 ) ⊥ N∗ (M0 ), ψ̇1 (t0 ) — касательный вектор к эллипсу l в точкеM0 .Доказательство. Пусть t ∈ D(ψ). Тогда ψ(t) ∈ l. Следовательно:ψ21 (t)a22ψ22 (t)+b22= 1.Так как ψ1 — дифференцируемая функция в точке t0 , то:2ψ21 (t0 )ψ̇21 (t0 ) 2ψ22 (t0 )ψ̇22 (t0 )+= 0,a2b2x10 1x20 2ψ̇(t)+ψ̇ (t0 ) = 0,0a2 2b2 2 N∗ (M0 ), ψ̇1 (t0 ) = 0.Так как: N∗ (M0 ) 6= θ, τ∗ (M0 ) ⊥ N∗ (M0 ), то τ∗ (M0 ), ψ̇1 (t0 ) — линейно зависимые векторы.Так как τ∗ (M0 ) 6= θ, то ψ̇1 (t0 ) ∈ L τ∗ (M0 ) .13213. Кривые второго порядкаЗамечание (уравнение касательной прямой к эллипсу).
Пусть: M0 ∈ l, x0 = hO,e (M0 ).(x2 )2(x1 )2Тогда a02 + b02 = 1.Так как: l∗ (M0 ) — прямая в пространствеE 2 , M0 ∈ l∗ (M0 ), N∗ (M0 ) — нормальныйвектор к прямой l∗ (M0 ), то hO,e l∗ (M0 ) — множество решений уравнения:Так как(x10 )2a2+(x20 )2b2x10 1x20 21(x−x)+(x − x20 ) = 0, x ∈ R2 ;0a2b2x10 x1 x20 x2(x10 )2 (x20 )2+=+ 2 , x ∈ R2 .222abab= 1, то hO,e l∗ (M0 ) — множество решений уравнения:x10 x1 x20 x2+ 2 = 1, x ∈ R2 .a2b−−−→Утверждение (оптическое свойство эллипса). Пусть M0 ∈ l. Тогда ϕ N∗ (M0 ), F1 M0 =−−−→ϕ N∗ (M0 ), F2 M0 .(x1 )2(x2 )2Доказательство.
Обозначим, x0 = hO,e (M0 ). Так как M0 ∈ l, то a02 + b02 = 1.−−−→Очевидно: kF1 M0 k = ρ(F1 , M0 ) = ρ(M0 , F1 ) = r1 (M0 ).−−−→Очевидно, [F1 M0 ](e) = (x10 + c, x20 )T . Так как M0 ∈ l, то r1 (M0 ) = a + εx10 . Так как(x2 )2(x10 )2+ b02 = 1, то:a2−−−→ x1x2(x1 )2 (x2 )2 x111N∗ (M0 ), F1 M0 = 20 (x10 + c) + 20 x20 = 02 + 02 + 20 c = 1 + εx10 = (a + εx10 ) =ababaaa1= r1 (M0 ).a−−−→Так как M0 ∈ l, то F1 M0 6= θ. Так как N∗ (M0 ) 6= θ, то:−−−→ 1N∗ (M0 ), F1 M0r1 (M0 )−−−→aϕ N∗ (M0 ), F1 M0 = arccos = arccos −−→N∗ (M0 )r1 (M0 ) =N∗ (M0 ) · k−F 1 M0 k1 .= arccos aN∗ (M0 )−−−→Очевидно: kF2 M0 k = ρ(F2 , M0 ) = ρ(M0 , F2 ) = r2 (M0 ).−−−→Очевидно, [F2 M0 ](e) = (x10 − c, x20 )T . Так как M0 ∈ l, то r2 (M0 ) = a − εx10 .
Так как(x10 )2(x2 )2+ b02 = 1, то:a2−−−→ x1x2(x1 )2 (x2 )2 x111N∗ (M0 ), F2 M0 = 20 (x10 − c) + 20 x20 = 02 + 02 − 20 c = 1 − εx10 = (a − εx10 ) =ababaaa1= r2 (M0 ).a−−−→Так как M0 ∈ l, то F2 M0 6= θ. Так как N∗ (M0 ) 6= θ, то:−−−→ 1N∗ (M0 ), F2 M0r2 (M0 )−−−→a= arccos ϕ N∗ (M0 ), F2 M0 = arccos −−→N∗ (M0 )r2 (M0 ) =N∗ (M0 ) · k−F 2 M0 k13.3. Гипербола1331= arccos .a N∗ (M0 )−−−→Итак: ϕ N∗ (M0 ), F1 M0 = arccos13.3. Гипербола1a|N∗ (M0 )|−−−→= ϕ N∗ (M0 ), F2 M0 .Определение. Будем говорить, что l — гипербола в пространстве E 2 , если: l ⊆ E 2 ; существуют объекты O, e, a, b, удовлетворяющие условиям: O ∈ E 2 , e — правый ортонор~ 2 , a, b ∈ (0, +∞), hO,e [l] — множество всех решениймированный базис пространства Eуравнения:(x1 )2 (x2 )2− 2 = 1,a2bx ∈ R2 .~ 2 , a,Пусть: l ⊆ E 2 ; O ∈ E 2 , e — правый ортонормированный базис пространства Eb ∈ (0, +∞), hO,e [l] — множество всех решений уравнения:(x1 )2 (x2 )2− 2 = 1,a2bx ∈ R2 .Тогда l — гипербола в пространстве E 2 .Будем говорить, что: hO,e — каноническая система координат для гиперболы l; a —вещественная полуось гиперболы l; b — мнимая полуось гиперболы l.
Очевидно, O ∈/ l.−1−1121212Пусть: M ∈ l, x = hO,e (M ). Тогда: h−1(−x,x)∈l,h(x,−x)∈l,h(−x,−x)∈l.O,eO,eO,eУтверждение. Справедливо утверждение: hO,e [l] — множество всех решений уравнения:r(x1 )22|x | = b− 1,a2x ∈ R2 , |x1 | > a.Справедливо утверждение: hO,e [l] — множество всех решений уравнения:r(x2 )2|x1 | = a 1 + 2 ,b2x∈R .Замечание. Пусть: M ∈ l, x = hO,e (M ), x1 > −a. Тогда: |x1 | > a, x1 > −a. Следовательно,x1 > a.Пусть: M ∈ l, x = hO,e (M ), x1 < a.
Тогда: |x1 | > a, x1 < a. Следовательно, x1 6 −a.Пусть: l1 ⊆ E 2 , hO,e [l1 ] — множество всех решений уравнения: x2 = ab x1 , x ∈ R2 ; l2 ⊆ E 2 ,hO,e [l2 ] — множество всех решений уравнения: x2 = − ab x1 , x ∈ R2 . Тогда: l1 , l2 — прямые впространстве E 2 , F1 , F2 ∈/ l1 , F 1 , F 2 ∈/ l2 , l1 ∩ l = ∅, l2 ∩ l = ∅, l1 ∩ l2 = {O}. Будем говорить,что l1 , l2 — асимптоты гиперболы l.q1 21Утверждение. Обозначим: F1 (x ) = b (xa2) − 1 при: x1 ∈ R, |x1 | > a.
Тогда:13413. Кривые второго порядка1. F1 (x1 ) < ab x1 при x1 ∈ [a, +∞); F1 (x1 ) = ab x1 + o(1) при: x1 ∈ R, x1 → +∞;2. F1 (x1 ) < − ab x1 при x1 ∈ (−∞, −a]; F1 (x1 ) = − ab x1 + o(1) при: x1 ∈ R, x1 → −∞.q1 2Обозначим: F2 (x1 ) = −b (xa2) − 1 при: x1 ∈ R, |x1 | > a. Тогда:1. F2 (x1 ) > − ab x1 при x1 ∈ [a, +∞); F2 (x1 ) = − ab x1 + o(1) при: x1 ∈ R, x1 → +∞;2. F2 (x1 ) > ab x1 при x1 ∈ (−∞, −a]; F2 (x1 ) = ab x1 + o(1) при: x1 ∈ R, x1 → −∞.Доказательство.
Пусть x1 ∈ [a, +∞). Так как a, b, x1 > 0, то:bF1 (x1 ) − x1 = barb 1x1(x1 )2−1−x=ba2aasa2bb1 − 1 2 − x1 = x1(x )aa2sa21− 1 2 −1 =(x )1 − (xa1 )2 − 1bab1q= x1 q=−< 0.1a2a2ax1 − (x1 )2 + 11 − (x1 )2 + 1Тогда: F1 (x1 ) < ab x1 при x1 ∈ [a, +∞). Очевидно: F1 (x1 ) − ab x1 → 0 при x1 → +∞. Тогда:F1 (x1 ) − ab x1 = o(1) при: x1 ∈ R, x1 → +∞. Следовательно: F1 (x1 ) = ab x1 + o(1) при: x1 ∈ R,x1 → +∞.Так как: F1 (−x1 ) = F1 (x1 ) при: x1 ∈ R, |x1 | > a, то: F1 (x1 ) < − ab x1 при x1 ∈ (−∞, −a];F1 (x1 ) = − ab x1 + o(1) при: x1 ∈ R, x1 → −∞.Так как: −F1 (x1 ) = F2 (x1 ) при: x1 ∈ R, |x1 | > a, то: F2 (x1 ) > − ab x1 при x1 ∈ [a, +∞);F2 (x1 ) = − ab x1 + o(1) при: x1 ∈ R, x1 → +∞.Так как: −F1 (x1 ) = F2 (x1 ) при: x1 ∈ R, |x1 | > a, то: F2 (x1 ) > ab x1 при x1 ∈ (−∞, −a];F2 (x1 ) = ab x1 + o(1) при: x1 ∈ R, x1 → −∞.√Обозначим, c = a2 + b2 .
Тогда c ∈ (a, +∞).Обозначим, ε = ac . Тогда ε ∈ (1, +∞). Будем говорить, что ε — эксцентриситет гиперболы l.−12Обозначим: F1 = h−1O,e (−c, 0), F2 = hO,e (c, 0). Тогда: F1 , F2 ∈ E , F1 , F2 6= O, F1 6= F2 ,F1 , F2 ∈/ l, ρ(F1 , F2 ) = 2c. Будем говорить, что: F1 , F2 — фокусы гиперболы l; ρ(F1 , F2 ) —фокусное расстояние гиперболы l.Пусть M ∈ E 2 . Обозначим: r1 (M ) = ρ(M, F1 ), r2 (M )p= ρ(M, F2 ).
Тогда r1 (M ),r2 (M ) ∈ [0, +∞). Пусть x = hO,e (M ). Тогда: r1 (M ) =(x1 + c)2 + (x2 )2 , r2 (M ) =p(x1 − c)2 + (x2 )2 .−−→Замечание. Пусть M ∈ l. Так как F1 ∈/ l, то M 6= F1 . Тогда: F1 M 6= θ, r1 (M ) = ρ(M, F1 ) >0.−−→Пусть M ∈ l. Так как F2 ∈/ l, то M 6= F2 . Тогда: F2 M 6= θ, r2 (M ) = ρ(M, F2 ) > 0.Пусть M ∈ E 2 . Так как F1 6= F2 , то M 6= F1 ∨ M 6= F2 . Тогда r1 (M ) > 0 ∨ r2 (M ) > 0.Так как r1 (M ), r2 (M ) > 0, то r1 (M ) + r2 (M ) > 0.Утверждение. Пусть: M ∈ E 2 , x = hO,e (M ). Тогда:r(x1 )2 (x2 )2 + (a + εx1 )2 ,b2 1 − 2 + 2abr(x1 )2 (x2 )2 2r2 (M ) = b 1 − 2 + 2+ (a − εx1 )2 .abr1 (M ) =13.3. Гипербола135Доказательство.
Очевидно:rr1 )22 )2 c 2(x(x1 )2 (x2 )2 (x+ (a + εx1 )2 = b2 1 − 2 + 2+ a + x1 =b2 1 − 2 + 2aabarb12222(x )c(x )= b2 1 − 2 + 2+ a2 + 2cx1 + 2 (x1 )2 =abar122222p(x )a +b 1 2(x )+ a2 + 2cx1 += b2 1 − 2 + 2(x ) = (x1 )2 + 2x1 c + c2 + (x2 )2 =2abap= (x1 + c)2 + (x2 )2 = r1 (M );rr1 )22 )2 (x1 )2 (x2 )2 (xc 2(x+ (a − εx1 )2 = b2 1 − 2 + 2+ a − x1 =b2 1 − 2 + 2aabarb(x1 )2 (x2 )2c2+ a2 − 2cx1 + 2 (x1 )2 == b2 1 − 2 + 2abar122222p(x )a +b 1 2(x )+ a2 − 2cx1 += b2 1 − 2 + 2(x ) = (x1 )2 − 2x1 c + c2 + (x2 )2 =2abap= (x1 − c)2 + (x2 )2 = r2 (M ).Утверждение (фокальные свойства гиперболы).1. Пусть: M ∈ l, x = hO,e (M ). Тогда r1 (M ) = |a + εx1 |.2. Пусть: M ∈ E 2 , x = hO,e (M ), r1 (M ) = |a + εx1 |.
Тогда M ∈ l.3. Пусть: M ∈ l, x = hO,e (M ). Тогда r2 (M ) = |a − εx1 |.4. Пусть: M ∈ E 2 , x = hO,e (M ), r2 (M ) = |a − εx1 |. Тогда M ∈ l.Доказательство.1. Так как M ∈ l, тоr1 (M ) =(x1 )2a2−(x2 )2b2= 1. Тогда:rp(x1 )2 (x2 )2 + (a + εx1 )2 = (a + εx1 )2 = |a + εx1 |.b2 1 − 2 + 2ab2. Очевидно:r1 (M ) = |a + εx1 |,r(x1 )2 (x2 )2 2+ (a + εx1 )2 = |a + εx1 |,b 1− 2 + 2ab2 21 2(x)(x)+ (a + εx1 )2 = (a + εx1 )2 ,b2 1 − 2 + 2ab(x1 )2 (x2 )2 2b 1− 2 + 2= 0,ab(x1 )2 (x2 )2− 2 = 1.a2bТогда M ∈ l.3.
Так как M ∈ l, тоr2 (M ) =rb2(x1 )2a2−(x2 )2b2= 1. Тогда:p(x1 )2 (x2 )2 1− 2 + 2+ (a − εx1 )2 = (a − εx1 )2 = |a − εx1 |.ab13613. Кривые второго порядка4. Очевидно:r2 (M ) = |a − εx1 |,r(x1 )2 (x2 )2 + (a − εx1 )2 = |a − εx1 |,b2 1 − 2 + 2ab2 21 2(x)(x)+ (a − εx1 )2 = (a − εx1 )2 ,b2 1 − 2 + 2ab(x1 )2 (x2 )2 2b 1− 2 + 2= 0,ab(x1 )2 (x2 )2− 2 = 1.a2bТогда M ∈ l.Замечание. Пусть: M ∈ l, x = hO,e (M ), x1 > −a. Тогда x1 > a.
Так как: a > 0, ε > 1, тоa + εx1 > 2a. Так как: a + εx1 > 0, x1 > 0, то sgn(a + εx1 ) = sgn(x1 ).Пусть: M ∈ l, x = hO,e (M ), x1 < a. Тогда x1 6 −a. Так как: a > 0, ε > 1, то a + εx1 < 0.Так как x1 < 0, то sgn(a + εx1 ) = sgn(x1 ).Пусть: M ∈ E 2 , x = hO,e (M ), r1 (M ) = ±(a + εx1 ). Тогда r1 (M ) = |a + εx1 |. Так какr1 (M ) > 0, то r1 (M ) = |a + εx1 |.Пусть: M ∈ l, x = hO,e (M ), x1 > −a. Тогда x1 > a. Так как: a > 0, ε > 1, то a − εx1 < 0.Так как x1 > 0, то sgn(a − εx1 ) = − sgn(x1 ).Пусть: M ∈ l, x = hO,e (M ), x1 < a.
Тогда x1 6 −a. Так как: a > 0, ε > 1, то a−εx1 > 2a.Так как: a − εx1 > 0, x1 < 0, то sgn(a − εx1 ) = − sgn(x1 ).Пусть: M ∈ E 2 , x = hO,e (M ), r2 (M ) = ±(a − εx1 ). Тогда r2 (M ) = |a − εx1 |. Так какr2 (M ) > 0, то r2 (M ) = |a − εx1 |.Замечание (фокальные свойства гиперболы). Пусть: M ∈ l, x = hO,e (M ), x1 > −a. Тогда:r1 (M ) = |a + εx1 |, a + εx1 > 0, x1 > 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
