А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Следовательно: r1 (M ) = a + εx1 , x1 > 0. Тогдаr1 (M ) = sgn(x1 )(a + εx1 ).Пусть: M ∈ l, x = hO,e (M ), x1 < a. Тогда: r1 (M ) = |a + εx1 |, a + εx1 < 0, x1 < 0.Следовательно: r1 (M ) = −(a + εx1 ), x1 < 0. Тогда r1 (M ) = sgn(x1 )(a + εx1 ).Пусть: M ∈ E 2 , x = hO,e (M ), r1 (M ) = a + εx1 . Тогда r1 (M ) = |a + εx1 |. Следовательно,M ∈ l. Предположим, что x1 < a. Так как M ∈ l, то a + εx1 < 0.
Так как: r1 (M ) = a + εx1 ,r1 (M ) > 0, то a + εx1 > 0. Итак, x1 > a.Пусть: M ∈ E 2 , x = hO,e (M ), r1 (M ) = −(a + εx1 ). Тогда r1 (M ) = |a + εx1 |. Следовательно, M ∈ l. Предположим, что x1 > −a. Так как M ∈ l, то a + εx1 > 0. Так как:r1 (M ) = −(a + εx1 ), r1 (M ) > 0, то a + εx1 6 0.
Итак, x1 6 −a.Пусть: M ∈ l, x = hO,e (M ), x1 > −a. Тогда: r2 (M ) = |a − εx1 |, a − εx1 < 0, x1 > 0.Следовательно: r2 (M ) = −(a − εx1 ), x1 > 0. Тогда r2 (M ) = − sgn(x1 )(a − εx1 ).Пусть: M ∈ l, x = hO,e (M ), x1 < a. Тогда: r2 (M ) = |a − εx1 |, a − εx1 > 0, x1 < 0.Следовательно: r2 (M ) = a − εx1 , x1 < 0. Тогда r2 (M ) = − sgn(x1 )(a − εx1 ).Пусть: M ∈ E 2 , x = hO,e (M ), r2 (M ) = −(a − εx1 ). Тогда r2 (M ) = |a − εx1 |.
Следовательно, M ∈ l. Предположим, что x1 < a. Так как M ∈ l, то a − εx1 > 0. Так как:r2 (M ) = −(a − εx1 ), r2 (M ) > 0, то a − εx1 6 0. Итак, x1 > a.Пусть: M ∈ E 2 , x = hO,e (M ), r2 (M ) = a − εx1 . Тогда r2 (M ) = |a − εx1 |. Следовательно,M ∈ l. Предположим, что x1 > −a.
Так как M ∈ l, то a−εx1 < 0. Так как: r2 (M ) = a−εx1 ,r1 (M ) > 0, то a + εx1 > 0. Итак, x1 6 −a.13.3. Гипербола137Утверждение (фокальные свойства гиперболы).r1 (M ) − r2 (M ) = 2a.1. Пусть M ∈ l. Тогда2. Пусть: M ∈ E 2 , r1 (M ) − r2 (M ) = 2a. Тогда M ∈ l.Доказательство.1. Обозначим, x = hO,e (M ). Так как M ∈l, то: r1 (M ) = sgn(x1 )(a + εx1 ), r2 (M ) =− sgn(x1 )(a − εx1 ), x1 6= 0. Так как a > 0, то: r1 (M ) − r2 (M ) = |2 sgn(x1 )a| = 2a.2. Обозначим, x = hO,e (M ). Очевидно:Тогда r1 (M )22r1 (M ) = (x1 + c)2 + (x2 )2 = (x1 )2 + 2x1 c + c2 + (x2 )2 ,2r2 (M ) = (x1 − c)2 + (x2 )2 = (x1 )2 − 2x1 c + c2 + (x2 )2 .− r2 (M )2= 4x1 c. Следовательно:22r1 (M ) − r2 (M ) r1 (M ) + r2 (M ) = r1 (M ) − r2 (M ) = 4x1 c.Пусть x1 > 0.
Так как: c > 0, r1 (M ) + r2 (M ) > 0, то r1 (M ) − r2 (M ) > 0. Так какr1 (M ) − r2 (M ) = 2a, то r1 (M ) − r2 (M ) = 2a. Тогда:r1 (M ) + r2 (M ) =1 14x c = 2εx1 .2aТак как r1 (M ) − r2 (M ) = 2a, то r1 (M ) = a + εx1 . Тогда M ∈ l.Пусть x1 < 0. Так как: c > 0, r1 (M ) + r2 (M ) > 0, то r1 (M ) − r2 (M ) < 0. Так какr1 (M ) − r2 (M ) = 2a, то r1 (M ) − r2 (M ) = −2a. Тогда:r1 (M ) + r2 (M ) =14x1 c = −2εx1 .−2aТак как r1 (M ) − r2 (M ) = −2a, то r1 (M ) = −(a + εx1 ). Тогда M ∈ l.Пусть: D1 ⊆ E 2 , hO,e [D1 ] — множество всех решений уравнения: x1 = − aε , x ∈ R2 ;D2 ⊆ E 2 , hO,e [D2 ] — множество всех решений уравнения: x1 = aε , x ∈ R2 . Тогда: D1 , D2 —прямые в пространстве E 2 , O, F1 , F2 ∈/ D1 , O, F1 , F2 ∈/ D2 , D1 ∩ l = ∅, D2 ∩ l = ∅,D1 ∩ D2 = ∅. Будем говорить, что D1 , D2 — директрисы гиперболы l.Пусть M ∈ E 2 .
Обозначим: d1 (M ) = ρ(M, D1 ), d2 (M ) = ρ(M, D2 ). Тогда d1 (M ), d2 (M ) ∈[0, +∞). Пусть x = hO,e (M ). Тогда: d1 (M ) = |x1 + aε |, d1 (M ) = |x1 − aε |.Утверждение (фокально-директориальные свойства гиперболы).1. Пусть M ∈ l. Тогда r1 (M ) = εd1 (M ).2. Пусть: M ∈ E 2 , r1 (M ) = εd1 (M ).
Тогда M ∈ l.3. Пусть M ∈ l. Тогда r2 (M ) = εd2 (M ).4. Пусть: M ∈ E 2 , r2 (M ) = εd2 (M ). Тогда M ∈ l.Доказательство.1. Обозначим, x = hO,e (M ). Так как M ∈ l, то: 1 a1r1 (M ) = |a + εx | = εx + = εd1 (M ).ε13813. Кривые второго порядка2. Обозначим, x = hO,e (M ). Очевидно:r1 (M ) = εd1 (M ) = εx1 +a = |a + εx1 |.εТогда M ∈ l.3. Обозначим, x = hO,e (M ). Так как M ∈ l, то: 1 a1r2 (M ) = |a − εx | = εx − = εd1 (M ).ε4.
Обозначим, x = hO,e (M ). Очевидно:Тогда M ∈ l.r1 (M ) = εd1 (M ) = εx1 −a = |a − εx1 |.εОпределение (нормальный вектор к гиперболе, касательный вектор к гиперболе, касательная прямая к гиперболе). Пусть: M0 ∈ l, x0 = hO,e (M0 ).x1x2~ 2 , N∗ (M0 ) 6= θ. Будем говорить,Обозначим, N∗ (M0 ) = a20 e1 − b20 e2 . Тогда: N∗ (M0 ) ∈ Eчто N — нормальный вектор к гиперболе l в точке M0 , если N ∈ L N∗ (M0 ) .x1x2~ 2 , τ∗ (M0 ) ⊥ N∗ (M0 ), τ∗ (M0 ) 6= θ.Обозначим, τ∗ (M0 ) = b20 e1 + a20 e2 . Тогда: τ∗ (M0 ) ∈ EБудем говорить, что τ — касательный вектор к гиперболе l в точке M0 , если τ ∈ L τ∗ (M0 ) .Обозначим через l∗ (M0 ) прямую, удовлетворяющую условиям: l∗ (M0 ) — прямая в пространстве E 2 , M0 ∈ l∗ (M0 ), N∗ (M0 ) — нормальный вектор к прямой l∗ (M0 ).
Будем говорить, что l∗ (M0 ) — касательная прямая к гиперболе l в точке M0 .−−−→Утверждение.Пустьψ:R→l.Обозначим:ψ(t)=Oψ(t) при t ∈ D(ψ); ψ2 (t) =1hO,e ψ(t) при t ∈ D(ψ).Пусть: t0 ∈ R, ψ1 — дифференцируемая функция в точке t0 . Обозначим: M0 = ψ(t0 ),x0 = ψ2 (t0 ). Тогда: ψ̇1 (t0 ) ⊥ N∗ (M0 ), ψ̇1 (t0 ) — касательный вектор к гиперболе l в точкеM0 .Доказательство. Пусть t ∈ D(ψ). Тогда ψ(t) ∈ l. Следовательно:ψ21 (t)a22ψ22 (t)−b22= 1.Так как ψ1 — дифференцируемая функция в точке t0 , то:2ψ21 (t0 )ψ̇21 (t0 ) 2ψ22 (t0 )ψ̇22 (t0 )−= 0,a2b2x10 1x20 2ψ̇(t)−ψ̇ (t0 ) = 0,0a2 2b2 2 N∗ (M0 ), ψ̇1 (t0 ) = 0.Так как: N∗ (M0 ) 6= θ, τ∗ (M0 ) ⊥ N∗ (M0 ), то τ∗ (M0 ), ψ̇1 (t0 ) — линейно зависимые векторы.Так как τ∗ (M0 ) 6= θ, то ψ̇1 (t0 ) ∈ L τ∗ (M0 ) .13.3.
Гипербола139Замечание (уравнение касательной прямой к гиперболе). Пусть: M0 ∈ l, x0 = hO,e (M0 ).(x2 )2(x1 )2Тогда a02 − b02 = 1.Так как: l∗ (M0 ) — прямая в пространствеE 2 , M0 ∈ l∗ (M0 ), N∗ (M0 ) — нормальныйвектор к прямой l∗ (M0 ), то hO,e l∗ (M0 ) — множество решений уравнения:Так как(x10 )2a2−(x20 )2b2x10 1x20 21(x−x)−(x − x20 ) = 0, x ∈ R2 ;0a2b2x10 x1 x20 x2(x10 )2 (x20 )2−=− 2 , x ∈ R2 .a2b2a2b= 1, то hO,e l∗ (M0 ) — множество решений уравнения:x10 x1 x20 x2− 2 = 1, x ∈ R2 .a2bУтверждение (оптическое свойство гиперболы). Пусть−−−→−−−→ϕ N∗ (M0 ), F1 M0 = ϕ N∗ (M0 ), M0 F2 .M0(x1 )2∈l.Тогда(x2 )2Доказательство.
Обозначим, x0 = hO,e (M0 ). Так как M0 ∈ l, то: a02 − b02 = 1, x10 6= 0.−−−→Очевидно: kF1 M0 k = ρ(F1 , M0 ) = ρ(M0 , F1 ) = r1 (M0 ).−−−→Очевидно, [F1 M0 ](e) = (x10 + c, x20 )T . Так как M0 ∈ l, то r1 (M0 ) = sgn(x10 )(a + εx10 ). Так(x2 )2(x1 )2как: a02 − b02 = 1, x10 6= 0, то:−−−→ x1x2(x1 )2 (x2 )2 x111N∗ (M0 ), F1 M0 = 20 (x10 + c) − 20 x20 = 02 − 02 + 20 c = 1 + εx10 = (a + εx10 ) =ababaaa11= sgn(x0 )r1 (M0 ).a−−−→Так как M0 ∈ l, то F1 M0 6= θ. Так как N∗ (M0 ) 6= θ, то:−−−→ 1N∗ (M0 ), F1 M0sgn(x10 )r1 (M0 )−−−→a= arccos ϕ N∗ (M0 ), F1 M0 = arccos −−→N∗ (M0 )r1 (M0 ) =N∗ (M0 ) · k−F 1 M0 ksgn(x10 ) .= arccos aN∗ (M0 )−−−→Очевидно: kM0 F2 k = ρ(M0 , F2 ) = r2 (M0 ).T−−−→Очевидно, [M0 F2 ](e) = −(x10 −c), −x20 .
Так как M0 ∈ l, то r2 (M0 ) = − sgn(x10 )(a−εx10 ).Так как:(x10 )2a2−(x20 )2b2= 1, x10 6= 0, то: x2−−−→ x1(x1 )2 (x2 )2 x1N∗ (M0 ), F2 M0 = 20 −(x10 − c) − 20 (−x20 ) = − 02 + 02 + 20 c =ababa1 11111= −1 + εx0 = − (a − εx0 ) = sgn(x0 )r2 (M0 ).aaa−−−→Так как M0 ∈ l, то M0 F2 6= θ. Так как N∗ (M0 ) 6= θ, то:−−−→ 1N∗ (M0 ), F2 M0sgn(x10 )r2 (M0 )−−−→aϕ N∗ (M0 ), M0 F2 = arccos = arccos −−→N∗ (M0 )r2 (M0 ) =N∗ (M0 ) · k−F 2 M0 ksgn(x10 ) .= arccos aN∗ (M0 )−−−→−−−→sgn(x1 ) Итак: ϕ N∗ (M0 ), F1 M0 = arccos a|N∗ (M00 )| = ϕ N∗ (M0 ), M0 F2 .14013. Кривые второго порядка13.4. ПараболаОпределение.
Будем говорить, что l — парабола в пространстве E 2 , если: l ⊆ E 2 ; существуют объекты O, e, p, удовлетворяющие условиям: O ∈ E 2 , e — правый ортонормированный~ 2 , p ∈ (0, +∞), hO,e [l] — множество всех решений уравнения:базис пространства E(x2 )2 = 2px1 ,x ∈ R2 .~ 2, p ∈Пусть: l ⊆ E 2 ; O ∈ E 2 , e — правый ортонормированный базис пространства E(0, +∞), hO,e [l] — множество всех решений уравнения:(x2 )2 = 2px1 ,x ∈ R2 .Тогда l — парабола в пространстве E 2 .Будем говорить, что hO,e — каноническая система координат для параболы l.
Очевидно,12O ∈ l. Пусть: M ∈ l, x = hO,e (M ). Тогда h−1O,e (x , −x ) ∈ l.Утверждение. Справедливо утверждение: hO,e [l] — множество всех решений уравнения:p|x2 | = 2px1 ,x ∈ R2 , x1 > 0.Справедливо утверждение: hO,e [l] — множество всех решений уравнения:1 2 2(x ) ,2px ∈ R2 .x1 =Обозначим, ε = 1. Будем говорить, что ε — эксцентриситет параболы l.2Обозначим, F = h−1/ l. Будем говорить, что F —O,e (p/2, 0). Тогда: F ∈ E , F 6= O, F ∈фокус параболы l.Пусть M ∈ pE 2 .
Обозначим, r(M ) = ρ(M, F ). Тогда r(M ) ∈ [0, +∞). Пусть x = hO,e (M ).Тогда r(M ) = (x1 − p/2)2 + (x2 )2 .−−→Замечание. Пусть M ∈ l. Так как F ∈/ l, то M 6= F . Тогда: F M 6= θ, r(M ) = ρ(M, F ) > 0.Утверждение. Пусть: M ∈ E 2 , x = hO,e (M ). Тогда:pr(M ) = (x2 )2 − 2px1 + (p/2 + x1 )2 .Доказательство. Очевидно:pp(x2 )2 − 2px1 + (p/2 + x1 )2 = (x2 )2 − 2px1 + p2 /4 + px1 + (x1 )2 =pp= (x1 )2 − px1 + p2 /4 + (x2 )2 = (x1 − p/2)2 + (x2 )2 = r(M ).Утверждение (фокальные свойства параболы).1.
Пусть: M ∈ l, x = hO,e (M ). Тогда r(M ) = |p/2 + x1 |.2. Пусть: M ∈ E 2 , x = hO,e (M ), r(M ) = |p/2 + x1 |. Тогда M ∈ l.13.4. Парабола141Доказательство.1. Так как M ∈ l, то (x2 )2 = 2px1 . Тогда:ppr(M ) = (x2 )2 − 2px1 + (p/2 + x1 )2 = (p/2 + x1 )2 = |p/2 + x1 |.2. Очевидно:pr(M ) = |p/2 + x1 |,(x2 )2 − 2px1 + (p/2 + x1 )2 = |p/2 + x1 |,(x2 )2 − 2px1 + (p/2 + x1 )2 = (p/2 + x1 )2 ,(x2 )2 − 2px1 = 0,(x2 )2 = 2px1 .Тогда M ∈ l.Замечание.
Пусть: M ∈ l, x = hO,e (M ). Тогда x1 > 0. Так какp > 0, то p/2 + x1 > 0.Пусть: M ∈ E 2 , x = hO,e (M ), r(M ) = p/2 + x1 . Тогда r(M ) = |p/2 + x1 |. Так какr(M ) > 0, то r(M ) = |p/2 + x1 |.Замечание (фокальные свойства параболы). Пусть: M ∈ l, x = hO,e (M ). Тогда: r(M ) =|p/2 + x1 |, p/2 + x1 > 0. Следовательно, r(M ) = p/2 + x1 .Пусть: M ∈ E 2 , x = hO,e (M ), r(M ) = p/2 + x1 . Тогда r(M ) = |p/2 + x1 |. Следовательно,M ∈ l.Пусть: D ⊆ E 2 , hO,e [D] — множество всех решений уравнения: x1 = −p/2, x ∈ R2 .Тогда: D — прямая в пространстве E 2 , O, F ∈/ D, D ∩ l = ∅. Будем говорить, что D —директриса параболы l.Пусть M ∈ E 2 . Обозначим, d(M ) = ρ(M, D). Тогда d(M ) ∈ [0, +∞). Пусть x = hO,e (M ).Тогда d(M ) = |x1 + p/2|.Утверждение (фокально-директориальные свойства параболы).1.
Пусть M ∈ l. Тогда r(M ) = εd(M ).2. Пусть: M ∈ E 2 , r(M ) = εd(M ). Тогда M ∈ l.Доказательство.1. Обозначим, x = hO,e (M ). Так как M ∈ l, то:r(M ) = |p/2 + x1 | = ε|x1 + p/2| = εd(M ).2. Обозначим, x = hO,e (M ). Очевидно:r(M ) = εd(M ) = ε|x1 + p/2| = |p/2 + x1 |.Тогда M ∈ l.Определение (нормальный вектор к параболе, касательный вектор к параболе, касательнаяпрямая к параболе).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
