А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Тогда существуют числа α1 , . . . , αN1 ∈αm Am + αk θ̃2 . Следовательно:K, удовлетворяющие условию X =m=1,N1 , m6=kXX=Xαm Am + αk θ̃2 =m=1,N1 , m6=km=1,N1 , m6=kαm Am ∈ L(A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN1 ).4. Так как Ak ∈ L(A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN1 ), то:−Ak ∈ L(A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN1 ).Тогда:rank(A1 , .
. . , AN1 ) = rank A1 , . . . , Ak−1 , Ak + (−Ak ), Ak+1 , . . . , AN1 == rank(A1 , . . . , Ak−1 , θ̃2 , Ak+1 , . . . , AN1 ) = rank(A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN1 ).5. Достаточно доказать, что:L(A1 , . . . , Ak−1 , λAk , Ak+1 , . . . , AN1 ) = L(A1 , . . . , AN1 ).Пусть X ∈ L(A1 , . . . , Ak−1 , λAk , Ak+1существуют числа α1 , . . . , αN1 ∈P, . . . , AmN1 ). ТогдаK, удовлетворяющие условию X =α Am + αk (λAk ).
Следовательно:m=1,N1 , m6=kX=Xαm Am + αk (λAk ) =m=1,N1 , m6=kXm=1,N1 , m6=kαm Am + (αk λ)Ak ∈ L(A1 , . . . , AN1 ).1N1∈ K, удовлетворяюПусть X ∈ L(AP1 , . . . , AN1 ). Тогда существуют числа α , . . . , αmщие условию X =α Am . Так как λ 6= 0, то:m=1,N1X=Xm=1,N1αm Am =Xm=1,N1 , m6=kαm Am + αk Ak =Xm=1,N1 , m6=k∈ L(A1 , . .
. , Ak−1 , λAk , Ak+1 , . . . , AN1 ).αm Am +αk(λAk ) ∈λ11411. Линейные операторы. Изоморфизмы линейных пространствЛекция 11. Линейные операторы. Изоморфизмы линейных пространствЗамечание. Пусть F1 , F2 — функции. Очевидно: D(F2 ◦ F1 ) = x : x ∈ D(F1 ) ∧ F1 (x) ∈ D(F2 ) ⊆ x : x ∈ D(F1 ) = D(F1 );D(F2 ◦ F1 ) = x : x ∈ D(F1 ) ∧ F1 (x) ∈ D(F2 ) = D F1 , D(F2 ) ;h iR(F2 ◦ F1 ) = (F2 ◦ F1 ) D(F1 ) = F2 F1 D(F1 ) ⊆ R(F2 );h iR(F2 ◦ F1 ) = (F2 ◦ F1 ) D(F1 ) = F2 F1 D(F1 ) = F2 R(F1 ) .Пусть: F1 , F2 — функции, R(F1 ) ⊆ D(F2 ). Тогда: D(F2 ◦ F1 ) = x : x ∈ D(F1 ) ∧ F1 (x) ∈ D(F2 ) = x : x ∈ D(F1 ) = D(F1 ).Пусть: F1 , F2 — функции, D(F2 ) ⊆ R(F1 ).
Тогда:R(F2 ◦ F1 ) = F2 R(F1 ) = R(F2 ).Определение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 , L2 — линейные пространства над полем K.1. Пусть A : L1 → L2 . Будем говорить, что A — линейный оператор, если: D(A) —подпространство пространства L1 , A(x + y) = A(x) + A(y) при x, y ∈ D(A); A(λx) = λA(x)при: λ ∈ K, x ∈ D(A).2. Обозначим через lin(L1 , L2 ) множество всех функций A, удовлетворяющих условиям:A : L1 → L2 , A — линейный оператор.3. Обозначим через Lin(L1 , L2 ) множество всех функций A, удовлетворяющих условиям: A : L1 =⇒ L2 , A — линейный оператор.4.
Будем говорить, что A — изоморфизм пространства L1 на пространство L2 , если:A — обратимая функция, D(A) = L1 , R(A) = L2 , A(x + y) = A(x) + A(y) при x, y ∈ L1 ;A(λx) = λA(x) при: λ ∈ K, x ∈ L1 .A5. Будем писать L1 ≈ L2 , если A — изоморфизм пространства L1 на пространствоAL2 . Утверждение L1 ≈ L2 можно читать: «пространство L1 изоморфно пространству L2относительно функции A».A6. Будем писать L1 ≈ L2 если ∃A(L1 ≈ L2 ). Утверждение L1 ≈ L2 читается: «пространство L1 изоморфно пространству L2 ».Замечание.
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 , L2 — линейные пространства над полем K;A : L1 =⇒ L2 .Пусть A — линейный оператор. Тогда: A(x + y) = A(x) + A(y) при x, y ∈ D(A); A(λx) =λA(x) при: λ ∈ K, x ∈ D(A). Так как D(A) = L1 , то: A(x + y) = A(x) + A(y) при x, y ∈ L1 ;A(λx) = λA(x) при: λ ∈ K, x ∈ L1 .Пусть: A(x + y) = A(x) + A(y) при x, y ∈ L1 ; A(λx) = λA(x) при: λ ∈ K, x ∈ L1 . Таккак D(A) = L1 , то: A(x + y) = A(x) + A(y) при x, y ∈ D(A); A(λx) = λA(x) при: λ ∈ K,x ∈ D(A). Так как D(A) = L1 , то D(A) — подпространство пространства L1 . Итак, A —линейный оператор.Замечание (примеры линейных операторов). Пусть K ∈ {C, R, Q}.11. Линейные операторы.
Изоморфизмы линейных пространств1151. Пусть L1 , L2 — линейные пространства над полем K. Обозначим: Θ(x) = θ2 приx ∈ L1 . Докажем, что Θ ∈ Lin(L1 , L2 ). Очевидно, Θ : L1 =⇒ L2 .Пусть x, y ∈ L1 . Тогда: Θ(x + y) = θ2 = θ2 + θ2 = Θ(x) + Θ(y).Пусть: λ ∈ K, x ∈ L1 . Тогда: Θ(λx) = θ2 = λθ2 = λΘ(x).Итак, Θ ∈ Lin(L1 , L2 ).2. Пусть L — линейное пространство над полем K. Обозначим: I(x) = x при x ∈ L.IДокажем, что L ≈ L. Очевидно: I — обратимая функция, D(I) = L, R(I) = L.Пусть x, y ∈ L.
Тогда: I(x + y) = x + y = I(x) + I(y).Пусть: λ ∈ K, x ∈ L. Тогда: I(λx) = λx = λI(x).IИтак, L ≈ L.3. Пусть: L — линейное пространство над полем K, N ∈ N, dim(L) = N ; e — базисheпространства L. Обозначим: he (x) = [x](e) при x ∈ L. Докажем, что L ≈ KN . Очевидно:he — обратимая функция, D(he ) = L, R(he ) = KN .Пусть x, y ∈ L. Тогда: he (x + y) = [x + y](e) = [x](e) + [y](e) = he (x) + he (y).Пусть: λ ∈ K, x ∈ L. Тогда: he (λx) = [λx](e) = λ[x](e) = λhe (x).heИтак, L ≈ KN .4.
Пусть: N1 , N2 ∈ N; A ∈ KN2 ×N1 . Обозначим: Â(x) = Ax при x ∈ KN1 . Будем говорить,что  — оператор умножения на матрицу A. Докажем, что  ∈ Lin(KN1 , KN2 ). Очевидно, : KN1 =⇒ KN2 .Пусть x, y ∈ KN1 . Тогда: Â(x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = Â(x) + Â(y).Пусть: λ ∈ K, x ∈ KN1 . Тогда: Â(λx) = A(λx) = λ(Ax) = λÂ(x).Итак,  ∈ Lin(KN1 , KN2 ).Очевидно:R(Â) = Â(x) : x ∈ KN1 = {Ax : x ∈ KN1 } == {A1 x1 + · · · + AN1 xN1 : x1 ∈ K ∧ · · · ∧ xN1 ∈ K} = L(A1 , . . .
, AN1 ).Тогда: R(Â) — подпространство пространства KN2 ,dim R(Â) = dim L(A1 , . . . , AN1 ) = rank(A).5. Пусть: N ∈ Z, N > 2; k = 1, N , λ1 , . . . , λk−1 , λk+1 , . . . , λN ∈ K. Обозначим:x1...k−1xP kmλm x , x ∈ K N .A(x) = x +m=1,N , m6=kk+1x...NxAОчевидно, KN ≈ KN .11611. Линейные операторы. Изоморфизмы линейных пространств6. Пусть: N ∈ N; k = 1, N , λ ∈ K, λ 6= 0. Обозначим: 1 x .. .
k−1 x A(x) = λxk , x ∈ KN . k+1 x . .. xNAОчевидно, KN ≈ KN .Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 , L2 — линейные пространства над полем K;A ∈ lin(L1 , L2 ).1. Справедливы утверждения: θ1 ∈ D(A), Aθ1 = θ2 .2. Пусть Q — подпространство пространства L2 . Тогда D(A, Q) — подпространствопространства L1 .Справедливо утверждение: ker(A) — подпространство пространства L1 .3. Пусть Q — подпространство пространства L1 . Тогда A[Q] — подпространствопространства L2 .Справедливо утверждение: R(A) — подпространство пространства L2 .4. Пусть Q — подпространство пространства L1 .
Тогда: A|Q ∈ lin(L1 , L2 ), ker( A|Q ) =Q ∩ ker(A).5. Пусть: r ∈ N, x1 , . . . , xr ∈ D(A). Пусть x1 , . . . , xr — линейно зависимые векторы.Тогда Ax1 , . . . , Axr — линейно зависимыевекторы.6. Пусть Q ⊆ L1 . Тогда rank A[Q] 6 rank(Q).Пусть Q — подпространство пространстваL.ТогдаdimA[Q]6 dim(Q).1Справедливо утверждение: dim R(A) 6 dim D(A) .Доказательство.1. Так как D(A) — подпространство пространства L1 , то θ1 ∈ D(A). Очевидно: Aθ1 =A(0θ1 ) = 0A(θ1 ) = θ2 .2.
Пусть Q — подпространство пространства L2 . Очевидно: D(A, Q) ⊆ D(A) ⊆ L1 . Таккак: θ1 ∈ D(A), Aθ1 = θ2 ∈ Q, то θ1 ∈ D(A, Q).Пусть x1 , x2 ∈ D(A, Q). Тогда: x1 , x2 ∈ D(A), Ax1 , Ax2 ∈ Q. Следовательно: x1 + x2 ∈D(A), A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 ∈ Q. Тогда x1 + x2 ∈ D(A, Q).Пусть: λ ∈ K, x ∈ D(A, Q). Тогда: x ∈ D(A), Ax ∈ Q. Следовательно: λx ∈ D(A),A(λx) = λA(x) ∈ Q.
Тогда λx ∈ D(A, Q).Итак, D(A, Q) — подпространство пространства L1 .Так как: {θ2 } — подпространство пространства L2 , ker(A) = D A, {θ2 } , то ker(A) —подпространство пространства L1 .3. Пусть Q — подпространство пространства L1 . Очевидно: A[Q] ⊆ R(A) ⊆ L2 . Так как:θ1 ∈ Q, θ1 ∈ D(A), то Aθ1 ∈ A[Q].Пусть y1 , y2 ∈ A[Q]. Тогда существуют векторы x1 , x2 , удовлетворяющие условиям:x1 , x2 ∈ Q, x1 , x2 ∈ D(A), y1 = Ax1 , y2 = Ax2 . Следовательно: x1 + x2 ∈ Q, x1 + x2 ∈ D(A),y1 + y2 = Ax1 + Ax2 = A(x1 + x2 ).
Тогда y1 + y2 ∈ A[Q].Пусть: λ ∈ K, y ∈ A[Q]. Тогда существует вектор x, удовлетворяющий условиям:x ∈ Q, x ∈ D(A), y = Ax. Следовательно: λx ∈ Q, λx ∈ D(A), λy = λA(x) = A(λx). Тогдаλy ∈ A[Q].11. Линейные операторы. Изоморфизмы линейных пространств117Итак, A[Q] — подпространство пространства L2 .Так как: D(A) — подпространство пространства L1 , R(A) = A D(A) , то R(A) —подпространство пространства L2 .4. Так как A : L1 → L2 , то A|Q : L1 → L2 . Так как: Q, D(A) — подпространства пространства L1 , D( A|Q ) = Q ∩ D(A), то D( A|Q ) — подпространство пространства L1 .Пусть x, y ∈ D( A|Q ). Тогда: A|Q (x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = A|Q x + A|Q y.Пусть: λ ∈ K, x ∈ D( A|Q ). Тогда: A|Q (λx) = A(λx) = λA(x) = λ A|Q (x).Итак, A|Q ∈ lin(L1 , L2 ).Очевидно: ker( A|Q ) = x : x ∈ D( A|Q ) ∧ A|Q x = θ2 = x : x ∈ Q ∧ x ∈ D(A) ∧ Ax = θ2 == x : x ∈ Q ∧ x ∈ ker(A) = Q ∩ ker(A).5. Так как x1 , .
. . , xr — линейно зависимые векторы, то существуют числа λ1 , . . . , λr ∈ K,удовлетворяющие условиям: λk xk = θ1 , ∃k = 1, r(λk 6= 0). Тогда: λk A(xk ) = A(λk xk ) =Aθ1 = θ2 . Так как ∃k = 1, r(λk 6= 0), то Ax1 , . . . , Axr — линейнозависимые векторы.6. Пусть Q ⊆ L1 . Обозначим: r1 = rank(Q), r2 = rank A[Q] . Тогда r1 , r2 ∈ Z+ . Предположим, что r1 < r2 . Тогда: r1 ∈ Z+ , r2 ∈ N. Так как: rank A[Q] = r2 , r1 + 1 6 r2 ,то существуют векторы y1 , . . . , yr1 +1 , удовлетворяющие условиям: y1 , .
. . , yr1 +1 ∈ A[Q],y1 , . . . , yr1 +1 — линейно независимые векторы. Пусть k = 1, r1 + 1. Так как yk ∈ A[Q], тосуществует вектор xk , удовлетворяющий условиям: xk ∈ Q, xk ∈ D(A), yk = Axk . Так как:rank(Q) = r1 , x1 , . . . , xr1 +1 ∈ Q, то x1 , . . . , xr1 +1 — линейно зависимые векторы. Так как:x1 , . . . , xr1 +1 ∈ D(A), y1 = Ax1 , . . . , yr1 +1 = Axr1 +1 , то y1 , . . . , yr1 +1 — линейно зависимыевекторы (что противоречит утверждению: y1 , .
. . , yr1 +1 — линейно независимые векторы).Итак, r2 6 r1 .Пусть Q — подпространство пространстваL1 . Тогда A[Q] — подпространство пространства L2 . Так как Q ⊆ L1 , то rank A[Q] 6 rank(Q). Так как: Q — подпространствопространства L1 , A[Q] — подпространство пространства L2 , то dim A[Q] 6 dim(Q). Так как: D(A) — подпространство пространства L1 , R(A) = A D(A) , то dim R(A) 6dim D(A) .Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 , L2 — линейные пространства над полем K; A ∈lin(L1 , L2 ). Обозначим, rank(A) = dim R(A) . Тогда:rank(A) = dim R(A) 6 dim(L2 );rank(A) = dim R(A) 6 dim D(A) 6 dim(L1 ).Определение.
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 , L2 , L3 — линейные пространства над полем K;A ∈ lin(L1 , L2 ), B ∈ lin(L2 , L3 ). Обозначим, BA = B ◦ A.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 , L2 , L3 — линейные пространства над полемK.Пусть: A ∈ lin(L1 , L2 ), B ∈ lin(L2 , L3 ). Тогда BA ∈ lin(L1 , L3 ).Пусть: A ∈ Lin(L1 , L2 ), B ∈ Lin(L2 , L3 ). Тогда BA ∈ Lin(L1 , L3 ).ABBAПусть: L1 ≈ L2 , L2 ≈ L3 . Тогда L1 ≈ L3 .Доказательство. Пусть: A ∈ lin(L1 , L2 ), B ∈ lin(L2 , L3 ). Так как: A : L1 → L2 , B : L2 → L3 ,то BA : L1 → L3 .
Так как: A ∈ lin(L1 , L2 ), D(B) — подпространство пространства L2 ,D(BA) = D A, D(B) , то D(BA) — подпространство пространства L1 .11811. Линейные операторы. Изоморфизмы линейных пространствПусть x1 , x2 ∈ D(BA). Тогда:(BA)(x1 + x2 ) = B A(x1 + x2 ) = B(Ax1 + Ax2 ) = B(Ax1 ) + B(Ax2 ) = (BA)x1 + (BA)x2 .Пусть: λ ∈ K, x ∈ D(A). Тогда:(BA)(λx) = B A(λx) = B λA(x) = λB(Ax) = λ(BA)(x).Итак, BA ∈ lin(L1 , L2 ).Пусть: A ∈ Lin(L1 , L2 ), B ∈ Lin(L2 , L3 ). Так как: A ∈ lin(L1 , L2 ), B ∈ lin(L2 , L3 ), тоBA ∈ lin(L1 , L3 ). Так как: R(A) ⊆ L2 = D(B), то: D(BA) = D(A) = L1 . Тогда BA ∈Lin(L1 , L2 ).ABПусть: L1 ≈ L2 , L2 ≈ L3 . Так как: A ∈ Lin(L1 , L2 ), B ∈ Lin(L2 , L3 ), то BA ∈ Lin(L1 , L3 ).Так как: D(B) = L2 ⊆ L2 = R(A), то: R(BA) = R(B) = L3 .
Так как A, B — обратимыеBAфункции, то BA — обратимая функция. Тогда L1 ≈ L3 .Утверждение (критерий обратимости линейного оператора). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 ,L2 — линейные пространства над полем K; A ∈ lin(L1 , L2 ). Оператор A является обратимым тогда и только тогда, когда ker(A) = {θ1 }.Доказательство.1. Пусть A — обратимый оператор.
Так как: θ1 ∈ D(A), Aθ1 = θ2 , то θ1 ∈ ker(A). Пустьx ∈ ker(A). Тогда: x ∈ D(A), Ax = θ2 . Так как: θ1 ∈ D(A), Aθ1 = θ2 , A — обратимыйоператор, то x = θ1 . Итак, ker(A) = {θ1 }.2. Пусть ker(A) = {θ1 }. Пусть: x1 , x2 ∈ D(A), Ax1 = Ax2 . Тогда: x1 − x2 ∈ D(A),A(x1 − x2 ) = Ax1 − Ax2 = θ2 . Следовательно, x1 − x2 ∈ ker(A). Так как ker(A) = {θ1 }, тоx1 − x2 = θ1 . Тогда x1 = x2 . Итак, A — обратимый оператор.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 , L2 — линейные пространства над полем K.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
