А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Пусть x1 , . . . , xr — линейно зависимые векторы. Тогда существуют числа λ1 , . . . , λr ∈ K, удовлетворяющие условиям: λk xk = θ, ∃k = 1, r(λk 6= 0). Следовательно:λk [xk ](e) = [λk xk ](e) = [θ](e) = θ̃.Так как ∃k = 1, r(λk 6= 0), то [x1 ](e), . . . , [xr ](e) — линейно зависимые столбцы.Пусть [x1 ](e), .

. . , [xr ](e) — линейно зависимые столбцы. Тогда существуют числа1λ , . . . , λr ∈ K, удовлетворяющие условиям: λk [xk ](e) = θ̃, ∃k = 1, r(λk 6= 0). Следовательно:mmλk xk = [λk xk ](e) em = λk [xk ](e) em = θ̃m em = θ.Так как ∃k = 1, r(λk 6= 0), то x1 , . . . , xr — линейно зависимые векторы.Замечание (линейная система координат в линейном пространстве). Пусть: K ∈ {C, R, Q};L — линейное пространство над полем K; e — базис пространства L длины r.Обозначим: he (x) = [x](e) при x ∈ L. Очевидно: he — обратимая функция, D(he ) = L,krR(he ) = Kr ; h−1e (x̃) = x̃ ek при x̃ ∈ K .

Будем говорить, что he — линейная координатнаякарта (линейная система координат) в пространстве L, соответствующая базису e. Пустьx ∈ L. Будем говорить, что he (x) — столбец координат вектора x в координатной карте he .8.1. Базис линейного пространства93Утверждение. Пусть: r ∈ N, x1 , . . .

, xr — различные объекты, Q = {x1 , . . . , xr }; K ∈{C, R, Q}. Фиксируем номер k = 1, r. Обозначим: ek (xk ) = 1, ek (x) = 0 при: x ∈ Q, x 6= xk .1. Справедливо утверждение: e1 , . . . , er — базис пространства Fun(Q, K) длины r.2. Пусть ϕ : Q =⇒ K. Тогда: [ϕ]k (e) = ϕ(xk ) при k = 1, r.Доказательство.1. Очевидно: r ∈ N, e1 , . . .

, er : Q =⇒ K. Так как x1 , . . . , xr — различные объекты, то:ek (xm ) = δkm при k, m = 1, r. Пусть λ1 , . . . , λr ∈ K. Пусть m = 1, r. Тогда:(λk ek )(xm ) = λk ek (xm ) = λk δkm = λm .Пусть: λ1 , . . . , λr ∈ K, λk ek = Θ (здесь Θ — нулевой вектор пространства Fun(Q, K)).Пусть m = 1, r. Тогда:(λk ek )(xm ) = Θ(xm ),λm = 0.Следовательно, e1 , . . . , er — линейно независимые функции.Пусть ϕ : Q =⇒ K. Пусть x ∈ Q.

Тогда существует номер m = 1, r, удовлетворяющий условию x = xm . Следовательно:rXk=1ТогдаrPϕ(xk )ek (x) =rXk=1ϕ(xk )ek (xm ) = ϕ(xm ) = ϕ(x).ϕ(xk )ek = ϕ. Итак, e1 , . . . , er — базис пространства Fun(Q, K) длины r.k=12. Очевидно, ϕ = [ϕ]k (e)ek . С другой стороны, ϕ =rPϕ(xk )ek . Тогда: [ϕ]k (e) = ϕ(xk )k=1при k = 1, r.Замечание (простейший базис пространства KN ). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N ∈ N. Обозначим: e1 = (1, 0, . . . , 0)T , . . . , eN = (0, . . . , 0, 1)T . Тогда e1 , . . .

, eN — базис пространства KNдлины N . Будем говорить, что e — простейший базис пространства KN .Пусть x ∈ KN . Тогда: [x]k (e) = xk при k = 1, r. Следовательно, [x](e) = x.Замечание (простейший базис пространстваОбозначим:1 0 00 0 0e1 =  ... ... ...0 0 00 0 00 1 00 0 0e2 =  ... ... ...0 0 00 0 0KN2 ×N1 ). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N1 , N2 ∈ N.·································00...00...0 00 000...00...0 00 000..  ,.0000..  ,.00948. Базис линейного пространства00eN2 N1 −1 =  ...0000eN2 N1 =  ...0000...0 ···0 ···... ···0 0 ···0 0 ···00...0 ···0 ···...

···0 0 ···0 0 ···00...00...0 00 100...00...0 00 000..  ,.0000..  ..01Тогда e — базис пространства KN2 ×N1 длины N2 N1 . Будем говорить, что e — простейшийбазис пространства KN2 ×N1 .2Пусть A ∈ KN2 ×N1 . Тогда: [A]1 (e) = A11 , [A]2 (e) = A12 , . . . , [A]N2 N1 −1 (e) = ANN1 −1 ,N[A]N2 N1 (e) = AN21 .Замечание. Пусть: N = 1, 3; O, I1 , . .

. , IN — аффинно независимые точки пространства−−→E N , h — соответствующая аффинная координатная карта, ek = OIk при k = 1, N . Тогда~ N длины N .e1 , . . . , eN — базис пространства EЗамечание (аффинная система координат в аффинном пространстве). Пусть: K ∈{C, R, Q}; Q — аффинное пространство над полем K; O ∈ Q, e — базис пространстваQ длины r.−→Обозначим: hO,e (p) = [Op](e) при p ∈ Q.

Очевидно: hO,e — обратимая функция,krD(hO,e ) = Q, R(hO,e ) = Kr ; h−1O,e (x) = O + x ek при x ∈ K . Будем говорить, что: hO,e —аффинная координатная карта (аффинная система координат) в пространстве Q, соответствующая точке O и базису e. Пусть p ∈ Q. Будем говорить, что hO,e (p) — столбец−→ mmкоординат точки p в координатной карте hO,e . Очевидно: hmO,e (O) = [OO] (e) = [θ] (e) = 0−−−−−−−→ mпри m = 1, r; hm(e) = [ek ]m (e) = δkm при k, m = 1, r.O,e (O + ek ) = O(O + ek )8.2. Размерность линейного пространстваОпределение (ранг множества векторов).

Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q ⊆ L.Обозначим через µ∗ (Q) множество всех номеров k, удовлетворяющих условиям: k ∈N, существуют векторы x1 , . . . , xk ∈ Q, удовлетворяющие условию: x1 , . . . , xk — линейнонезависимые векторы.Пусть µ∗ (Q) = ∅. Обозначим, rank(Q) = 0.Пусть: µ∗ (Q) 6= ∅, ∃r ∈ N∀k ∈ µ∗ (Q)(k 6 r). Обозначим, rank(Q) = max µ∗ (Q) .Пусть ∀r ∈ N∃k ∈ µ∗ (Q)(k > r + 1). Обозначим, rank(Q) = +∞.Будем говорить, что rank(Q) — ранг множества Q.Определение (размерность подпространства). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q — подпространство пространства L. Обозначим, dim(Q) =rank(Q).

Будем говорить, что dim(Q) — размерность подпространства Q.Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q ⊆ L.Пусть r ∈ µ∗ (Q). Тогда ∀k = 1, r k ∈ µ∗ (Q) .Пусть: r ∈ N, r ∈/ µ∗ (Q). Тогда ∀k[k ∈ Z ∧ k > r] k ∈/ µ∗ (Q) .8.2. Размерность линейного пространства95Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q ⊆ L.1.

Пусть rank(Q) = 0. Тогда для любого номера k ∈ N, для любых векторов x1 , . . . , xk ∈Q справедливо утверждение: x1 , . . . , xk — линейно зависимые векторы.Пусть для любого вектора x ∈ Q справедливо утверждение: x — линейно зависимыйвектор. Тогда rank(Q) = 0.2. Пусть: r ∈ N, rank(Q) = r.

Тогда: для любого номера k = 1, r существуют векторыx1 , . . . , xk ∈ Q, удовлетворяющие условию: x1 , . . . , xk — линейно независимые векторы;для любого номера k, удовлетворяющего условиям: k ∈ Z, k > r + 1, для любых векторовx1 , . . . , xk ∈ Q справедливо утверждение: x1 , . . . , xk — линейно зависимые векторы.Пусть: r ∈ N; существуют векторы x1 , .

. . , xr ∈ Q, удовлетворяющие условию:x1 , . . . , xr — линейно независимые векторы; для любых векторов x1 , . . . , xr+1 ∈ Q справедливо утверждение: x1 , . . . , xr+1 — линейно зависимые векторы. Тогда rank(Q) = r.3. Пусть rank(Q) = +∞.

Тогда для любого номера k ∈ N существуют векторыx1 , . . . , xk ∈ Q, удовлетворяющие условию: x1 , . . . , xk — линейно независимые векторы.Пусть для любого номера r ∈ N существует номер k, удовлетворяющий условиям:k ∈ Z, k > r+1, такой, что существуют векторы x1 , . . . , xk ∈ Q, удовлетворяющие условию:x1 , . . . , xk — линейно независимые векторы. Тогда rank(Q) = +∞.Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K.1. Пусть: Q ⊆ L, rank(Q) = 0.

Тогда: Q — множество, ∀x ∈ Q(x = θ).Пусть: Q — множество, ∀x ∈ Q(x = θ). Тогда: Q ⊆ L, rank(Q) = 0.2. Пусть: Q ⊆ L, rank(Q) = 0. Тогда Q = ∅ ∨ Q = {θ}.Пусть Q = ∅ ∨ Q = {θ}. Тогда: Q ⊆ L, rank(Q) = 0.3. Пусть: Q ⊆ L, Q — конечное множество. Тогда rank(Q) 6 card(Q).4. Пусть: r ∈ N, x1 , . .

. , xr ∈ L, Q = {x1 , . . . , xr }. Тогда: Q ⊆ L, Q — конечное множество,card(Q) 6 r. Следовательно rank(Q) 6 r.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q2 ⊆ L,Q1 ⊆ Q2 . Тогда rank(Q1 ) 6 rank(Q2 ).Доказательство. Обозначим: r1 = rank(Q1 ), r2 = rank(Q2 ). Тогда r1 , r2 ∈ Z+ . Предположим, что r2 < r1 . Тогда: r1 ∈ N, r2 ∈ Z+ . Так как: rank(Q1 ) = r1 , r2 + 1 6 r1 , то существуютвекторы x1 , . . .

, xr2 +1 , удовлетворяющие условиям: x1 , . . . , xr2 +1 ∈ Q1 , x1 , . . . , xr2 +1 — линейно независимые векторы. Так как: x1 , . . . , xr2 +1 ∈ Q1 , Q1 ⊆ Q2 , то x1 , . . . , xr2 +1 ∈ Q2 .Так как rank(Q2 ) = r2 , то x1 , . . . , xr2 +1 — линейно зависимые векторы (что противоречитутверждению: x1 , . .

. , xr2 +1 — линейно независимые векторы). Итак, r1 6 r2 .Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q ⊆ L,r ∈ N, rank(Q) = r, e1 , . . . , er ∈ Q, e1 , . . . , er — линейно независимые векторы. Тогдаe1 , . . . , er — базис множества Q длины r.Доказательство. По условию: r ∈ N, e1 , . . . , er ∈ Q, e1 , . .

. , er — линейно независимыевекторы.Пусть x ∈ Q. Так как: rank(Q) = r, e1 , . . . , er ∈ Q, то e1 , . . . , er , x — линейно зависимыевекторы. Так как e1 , . . . , er — линейно независимые векторы, то x ∈ L(e1 , . . . , er ). Итак,e — базис множества Q длины r.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q ⊆ L,r ∈ N, rank(Q) = r.

Тогда существуют векторы e1 , . . . , er , удовлетворяющие условию:e1 , . . . , er — базис множества Q длины r.968. Базис линейного пространстваДоказательство. Так как rank(Q) = r, то существуют векторы e1 , . . . , er , удовлетворяющие условиям: e1 , . . . , er ∈ Q, e1 , . . . , er — линейно независимые векторы.

Так какrank(Q) = r, то e1 , . . . , er — базис множества Q длины r.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; r ∈ N,x1 , . . . , xr ∈ L.Пусть: r0 ∈ N, e ∈ {x1 , . . . , xr }r0 , {x1 , . . . , xr } ⊆ L(e1 , . . . , er0 ), r0 < r. Тогда x1 , . . . , xr —линейно зависимые векторы.Доказательство. Так как e1 , . .

Характеристики

Список файлов книги