А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Тогда x + (−1)x = θ.5. Пусть: α, β ∈ K, x ∈ M . Тогда (αβ)x = α(βx).747. Линейное пространство6. Пусть x ∈ M . Тогда 1x = x.7. Пусть: α, β ∈ K, x ∈ M . Тогда (α + β)x = αx + βx.8. Пусть: λ ∈ K, x, y ∈ M . Тогда λ(x + y) = λx + λy.9. Пусть x ∈ M . Тогда 0x = θ.10. Пусть λ ∈ K. Тогда λθ = θ.11. Пусть a, b ∈ M . Существует единственный вектор x, удовлетворяющий условиям:x ∈ M , a + x = b.Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; M — множество, F1 : M 2 =⇒ M , F2 : K × M =⇒ M ,θ ∈ M.Пусть:1. x + y = y + x при x, y ∈ M ;2. (x + y) + z = x + (y + z) при x, y, z ∈ M ;3.
x + θ = x при x ∈ M ;4. ∀x ∈ M ∃y ∈ M (x + y = θ);5. (αβ)x = α(βx) при: α, β ∈ K, x ∈ M ;6. 1x = x при x ∈ M ;7. (α + β)x = αx + βx при: α, β ∈ K, x ∈ M ;8. λ(x + y) = λx + λy при: λ ∈ K, x, y ∈ M .Очевидно: (M, F1 , F2 ) — линейное пространство над полем K, θ — нулевой вектор пространства (M, F1 , F2 ).Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; M — множество, F1 : M 2 =⇒ M , F2 : K × M =⇒ M ,θ ∈ M.Пусть:1. x + y = y + x при x, y ∈ M ;2. (x + y) + z = x + (y + z) при x, y, z ∈ M ;3. x + θ = x при x ∈ M ;4.
x + (−1)x = θ при x ∈ M ;5. (αβ)x = α(βx) при: α, β ∈ K, x ∈ M ;6. 1x = x при x ∈ M ;7. (α + β)x = αx + βx при: α, β ∈ K, x ∈ M ;8. λ(x + y) = λx + λy при: λ ∈ K, x, y ∈ M .Очевидно: (M, F1 , F2 ) — линейное пространство над полем K, θ — нулевой вектор пространства (M, F1 , F2 ).Определение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N ∈ N. Рассмотрим множество KN .Пусть x, y ∈ KN .
Обозначим:x1 + y 1..x+y =..NNx +yОчевидно, x+y ∈ KN . Будем говорить, что {x+y}x,y∈KN — стандартная операция сложенияна множестве KN .Пусть: λ ∈ K, x ∈ KN . Обозначим:λx1λx = ... .λxN7.1. Определение линейного пространства75Очевидно, λx ∈ KN . Будем говорить, что {λx}λ∈K, x∈KN — стандартная внешняя операцияумножения на множестве KN .Обозначим: 0 .. θ̃ = . .0Очевидно, θ̃ ∈ KN .
Будем говорить, что θ̃ — стандартный нулевой элемент множества KN .Утверждение (линейное пространство KN ). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N ∈ N, F1 — стандартная операция сложения на множестве KN , F2 — стандартная внешняя операцияумножения на множестве KN , θ̃ — стандартный нулевой элемент множества KN . Тогда: (KN , F1 , F2 ) — линейное пространство над полем K, θ̃ — нулевой вектор пространства (KN , F1 , F2 ).Доказательство.1.
Пусть x, y ∈ KN . Пусть j = 1, N . Тогда:(x + y)j = xj + y j = y j + xj = (y + x)j .Следовательно, x + y = y + x.2. Пусть x, y, z ∈ KN . Пусть j = 1, N . Тогда:jj(x + y) + z = (xj + y j ) + z j = xj + (y j + z j ) = x + (y + z) .Следовательно, (x + y) + z = x + (y + z).3. Пусть x ∈ KN .
Пусть j = 1, N . Тогда:(x + θ̃)j = xj + θ̃j = xj + 0 = xj .Следовательно, x + θ̃ = x.4. Пусть x ∈ K. Пусть j = 1, N . Тогда:jx + (−1)x = xj + (−1)xj = 0 = θ̃j .Следовательно, x + (−1)x = θ̃.5. Пусть: α, β ∈ K, x ∈ KN . Пусть j = 1, N . Тогда:jj(αβ)x = (αβ)xj = α(βxj ) = α(βx) .Следовательно, (αβ)x = α(βx).6. Пусть x ∈ KN . Пусть j = 1, N . Тогда:(1x)j = 1xj = xj .Следовательно, 1x = x.7. Пусть: α, β ∈ K, x ∈ KN . Пусть j = 1, N . Тогда:j(α + β)x = (α + β)xj = αxj + βxj = (αx + βx)j .Следовательно, (α + β)x = αx + βx.767. Линейное пространство8.
Пусть: λ ∈ K, x, y ∈ KN . Пусть j = 1, N . Тогда:jλ(x + y) = λ(xj + y j ) = λxj + λy j = (λx + λy)j .Следовательно, λ(x + y) = λx + λy.Итак: (KN , F1 , F2 ) — линейное пространство над полем K, θ̃ — нулевой вектор пространства (KN , F1 , F2 ).~ N ). Пусть: N = 1, 3, F1 — стандартная опеУтверждение (линейное пространство E~ N , F2 — стандартная внешняя операция умножерация сложения на множестве E~ N , θ — стандартный нулевой элемент множества E~ N . Тогда:ния на множестве EN~ , F1 , F2 ) — линейное пространство над полем R, θ — нулевой вектор пространства(E~ N , F1 , F2 ).(EОпределение.
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N1 , N2 ∈ N. Рассмотрим множество KN2 ×N1 .Пусть A, B ∈ KN2 ×N1 . Обозначим:(A + B)ji = Aji + Bij , i = 1, N1 , j = 1, N2 .Очевидно, A+B ∈ KN2 ×N1 . Будем говорить, что {A+B}A,B∈KN2 ×N1 — стандартная операциясложения на множестве KN2 ×N1 .Пусть: λ ∈ K, A ∈ KN2 ×N1 . Обозначим:(λA)ji = λAji , i = 1, N1 , j = 1, N2 .Очевидно, λA ∈ KN2 ×N1 . Будем говорить, что {λA}λ∈K, A∈KN2 ×N1 — стандартная внешняяоперация умножения на множестве KN2 ×N1 .Обозначим:Θji = 0, i = 1, N1 , j = 1, N2 .Очевидно, Θ ∈ KN2 ×N1 . Будем говорить, что Θ — стандартный нулевой элемент множестваKN2 ×N1 .Утверждение (линейное пространство KN2 ×N1 ).
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N1 , N2 ∈ N,F1 — стандартная операция сложения на множестве KN2 ×N1 , F2 — стандартная внешняя операция умножения на множестве KN2 ×N1 , Θ — стандартный нулевой элементмножества KN2 ×N1 . Тогда: (KN2 ×N1 , F1 , F2 ) — линейное пространство над полем K, Θ —нулевой вектор пространства (KN2 ×N1 , F1 , F2 ).Доказательство.1. Пусть A, B ∈ KN2 ×N1 . Пусть i = 1, N1 , j = 1, N2 . Тогда:(A + B)ji = Aji + Bij = Bij + Aji = (B + A)ji .Следовательно, A + B = B + A.2. Пусть A, B, C ∈ KN2 ×N1 . Пусть i = 1, N1 , j = 1, N2 . Тогда:jj(A + B) + C i = (Aji + Bij ) + Cij = Aji + (Bij + Cij ) = A + (B + C) i .Следовательно, (A + B) + C = A + (B + C).7.1.
Определение линейного пространства773. Пусть A ∈ KN2 ×N1 . Пусть i = 1, N1 , j = 1, N2 . Тогда:(A + Θ)ji = Aji + Θji = Aji + 0 = Aji .Следовательно, A + Θ = A.4. Пусть A ∈ KN2 ×N1 . Пусть i = 1, N1 , j = 1, N2 . Тогда:jA + (−1)A i = Aji + (−1)Aji = 0 = Θji .Следовательно, A + (−1)A = Θ.5. Пусть: α, β ∈ K, A ∈ KN2 ×N1 . Пусть i = 1, N1 , j = 1, N2 .
Тогда:jj(αβ)A i = (αβ)Aji = α(βAji ) = α(βA) i .Следовательно, (αβ)A = α(βA).6. Пусть A ∈ KN2 ×N1 . Пусть i = 1, N1 , j = 1, N2 . Тогда:(1A)ji = 1Aji = Aji .Следовательно, 1A = A.7. Пусть: α, β ∈ K, A ∈ KN2 ×N1 . Пусть i = 1, N1 , j = 1, N2 . Тогда:j(α + β)A i = (α + β)Aji = αAji + βAji = (αA + βA)ji .Следовательно, (α + β)A = αA + βA.8. Пусть: λ ∈ K, A, B ∈ KN2 ×N1 .
Пусть i = 1, N1 , j = 1, N2 . Тогда:jλ(A + B) i = λ(Aji + Bij ) = λAji + λBij = (λA + λB)ji .Следовательно, λ(A + B) = λA + λB.Итак: (KN2 ×N1 , F1 , F2 ) — линейное пространство над полем K, Θ — нулевой элементпространства (KN2 ×N1 , F1 , F2 ).Определение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K. Рассмотриммножество P (L) (здесь P (L) = {Q : Q ⊆ L}).Пусть Q1 , Q2 ⊆ L. Обозначим:Q1 + Q2 = {x1 + x2 : x1 ∈ Q1 ∧ x2 ∈ Q2 } = u : ∃x1 ∃x2 (x1 ∈ Q1 ∧ x2 ∈ Q2 ∧ u = x1 + x2 ) .Очевидно, Q1 + Q2 ⊆ L. Будем говорить, что {Q1 + Q2 }Q1 ,Q2 ⊆L — стандартная операциясложения на множестве P (L).Пусть: λ ∈ K, Q ⊆ L.
Обозначим:λQ = {λx : x ∈ Q} = u : ∃x(x ∈ Q ∧ u = λx) .Очевидно, λQ ⊆ L. Будем говорить, что {λQ}λ∈K, Q⊆L — стандартная внешняя операцияумножения на множестве P (L).Очевидно, {θ} ⊆ L.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K.1. Пусть Q1 , Q2 ⊆ L. Тогда Q1 + Q2 = Q2 + Q1 .2. Пусть Q1 , Q2 , Q3 ⊆ L. Тогда (Q1 + Q2 ) + Q3 = Q1 + (Q2 + Q3 ).787. Линейное пространство3.4.5.6.7.8.Пусть Q ⊆ L. Тогда Q + {θ} = Q.Пусть: α, β ∈ K, Q ⊆ L. Тогда (αβ)Q = α(βQ).Пусть Q ⊆ L. Тогда 1Q = Q.Пусть: λ ∈ K, Q1 , Q2 ⊆ L. Тогда λ(Q1 + Q2 ) = λQ1 + λQ2 .Справедливо утверждение 0∅ = ∅.
Пусть: Q ⊆ L, Q 6= ∅. Тогда 0Q = {θ}.Пусть λ ∈ K. Тогда λ{θ} = {θ}.Доказательство.1. Пусть x ∈ Q1 + Q2 . Тогда существуют векторы x1 , x2 , удовлетворяющие условиям:x1 ∈ Q1 , x2 ∈ Q2 , x = x1 + x2 . Следовательно:x = x1 + x2 = x2 + x1 ∈ Q2 + Q1 .Пусть x ∈ Q2 + Q1 .
Тогда существуют векторы x2 , x1 , удовлетворяющие условиям:x2 ∈ Q2 , x1 ∈ Q1 , x = x2 + x1 . Следовательно:x = x2 + x1 = x1 + x2 ∈ Q1 + Q2 .Итак, Q1 + Q2 = Q2 + Q1 .2. Пусть x ∈ (Q1 + Q2 ) + Q3 . Тогда существуют векторы x1 , x2 , x3 , удовлетворяющиеусловиям: x1 ∈ Q1 , x2 ∈ Q2 , x3 ∈ Q3 , x = (x1 + x2 ) + x3 . Следовательно:x = (x1 + x2 ) + x3 = x1 + (x2 + x3 ) ∈ Q1 + (Q2 + Q3 ).Пусть x ∈ Q1 + (Q2 + Q3 ). Тогда существуют векторы x1 , x2 , x3 , удовлетворяющиеусловиям: x1 ∈ Q1 , x2 ∈ Q2 , x3 ∈ Q3 , x = x1 + (x2 + x3 ). Следовательно:x = x1 + (x2 + x3 ) = (x1 + x2 ) + x3 ∈ (Q1 + Q2 ) + Q3 .Итак, (Q1 + Q2 ) + Q3 = Q1 + (Q2 + Q3 ).3.
Пусть x ∈ Q + {θ}. Тогда существует вектор x1 , удовлетворяющий условиям: x1 ∈ Q,x = x1 + θ. Следовательно:x = x1 + θ = x1 ∈ Q.Пусть x ∈ Q. Тогда:x = x + θ ∈ Q + {θ}.Итак, Q + {θ} = Q.4. Пусть x ∈ (αβ)Q. Тогда существует вектор x1 , удовлетворяющий условиям: x1 ∈ Q,x = (αβ)x1 .
Следовательно:x = (αβ)x1 = α(βx1 ) ∈ α(βQ).Пусть x ∈ α(βQ). Тогда существует вектор x1 , удовлетворяющий условиям: x1 ∈ Q,x = α(βx1 ). Следовательно:x = α(βx1 ) = (αβ)x1 ∈ (αβ)Q.Итак, (αβ)Q = α(βQ).7.2. Линейная комбинация векторов, линейная зависимость векторов795. Пусть x ∈ 1Q. Тогда существует вектор x1 , удовлетворяющий условиям: x1 ∈ Q,x = 1x1 . Следовательно:x = 1x1 = x1 ∈ Q.Пусть x ∈ Q.
Тогда:x = 1x ∈ 1Q.Итак, 1Q = Q.6. Пусть x ∈ λ(Q1 +Q2 ). Тогда существуют векторы x1 , x2 , удовлетворяющие условиям:x1 ∈ Q1 , x2 ∈ Q2 , x = λ(x1 + x2 ). Следовательно:x = λ(x1 + x2 ) = λx1 + λx2 ∈ λQ1 + λQ2 .Пусть x ∈ λQ1 + λQ2 . Тогда существуют векторы x1 , x2 , удовлетворяющие условиям:x1 ∈ Q, x2 ∈ Q2 , x = λx1 + λx2 . Следовательно:x = λx1 + λx2 = λ(x1 + x2 ) ∈ λ(Q1 + Q2 ).Итак, λ(Q1 + Q2 ) = λQ1 + λQ2 .7.
Очевидно, 0∅ = ∅. Пусть: Q ⊆ L, Q 6= ∅. Пусть x ∈ 0Q. Тогда существует векторx1 , удовлетворяющий условиям: x1 ∈ Q, x = 0x1 . Следовательно:x = 0x1 = θ ∈ {θ}.Пусть x ∈ {θ}. Тогда x = θ. Так как Q 6= ∅, то существует вектор x1 , удовлетворяющий условию x1 ∈ Q. Тогда:x = θ = 0x1 ∈ 0Q.Итак, 0Q = {θ}.8. Пусть x ∈ λ{θ}. Тогда x = λθ. Следовательно:x = λθ = θ ∈ {θ}.Пусть x ∈ {θ}. Тогда x = θ. Следовательно:x = θ = λθ ∈ λ{θ}.7.2. Линейная комбинация векторов, линейная зависимость векторовОпределение (линейная комбинация векторов). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; r ∈ N, λ1 , . .
. , λr ∈ K, x1 , . . . , xr ∈ L.NPλk xk — линейная комбинация векторов x1 , . . . , xr с коэффициБудем говорить, чтоентами λ1 , . . . , λr .k=1Далее часто будем писать λk xk вместоNPk=1Эйнштейна).λk xk (частный случай правила суммирования807. Линейное пространствоОпределение (линейная оболочка векторов, линейная зависимость векторов, линейнаянезависимость векторов). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полемK; r ∈ N, x1 , . .
. , xr ∈ L.Обозначим:L(x1 , . . . , xr ) = {λk xk : λ1 ∈ K ∧ · · · ∧ λr ∈ K} == u : ∃λ1 · · · ∃λr (λ1 ∈ K ∧ · · · ∧ λr ∈ K ∧ u = λk xk ) .Очевидно, L(x1 , . . . , xr ) ⊆ L. Будем говорить, что L(x1 , . . . , xr ) — линейная оболочка векторов x1 , . . . , xr . Пусть k = 1, r. Тогда: xk = δkm xm ∈ L(x1 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
