А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 20
Текст из файла (страница 20)
ТогдаQα —α∈Iподпространство пространства L.Доказательство. Так как I T6= ∅, то существует объект α0 , удовлетворяющийусловиюTQα .Qα ⊆ L. Так как ∀α ∈ I(θ ∈ Qα ), то θ ∈α0 ∈ I. Так как Qα0 ⊆ L, тоα∈Iα∈ITQα . Тогда: x1 , x2 ∈ Qα при α ∈ I. Следовательно: x1 + x2 ∈ Qα приПусть x1 , x2 ∈α∈I Tα ∈ I. Тогда x1 + x2 ∈Qα .α∈ITПусть: λ ∈ K, x ∈Qα . Тогда: x ∈ Qα при α ∈ I. Следовательно: λx ∈ Qα при α ∈ I.α∈ITQα .Тогда λx ∈α∈ITИтак,Qα — подпространство пространства L.α∈I7.4.
Аффинное пространствоЗамечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; M — множество, L — линейное пространство над полемK.→Пусть: F — функция, D(F ) = M 2 . Далее часто будем писать −p−1 p2 вместо F (p1 , p2 ).→Пусть: F — функция, D(F ) = M 2 , ∀p1 ∈ M ∀p2 ∈ M (−p−1 p2 ∈ L). Тогда: F — функция,D(F ) = M 2 , R(F ) ⊆ L.
Следовательно, F : M 2 =⇒ L.Пусть F : M 2 =⇒ L. Тогда: F — функция, D(F ) = M 2 , R(F ) ⊆ L. Следовательно:→F — функция, D(F ) = M 2 , ∀p1 ∈ M ∀p2 ∈ M (−p−1 p2 ∈ L).Определение (аффинное пространство). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; M — множество, L — линейное пространство над полем K, F : M 2 =⇒ L.Пусть:1. ∃p(p ∈ M );→ −−→ −−→2. −p−1 p2 + p2 p3 = p1 p3 при p1 , p2 , p3 ∈ M ;3. ∀p0 ∈ M ∀x ∈ L∃!p ∈ M (−p→0 p = x).Будем говорить, что F — операция векторизации на множестве M .Будем говорить, что: (M, L, F ) — аффинное пространство над полем K; M — носитель пространства (M, L, F ); L — линейное пространство, присоединённое к аффинномупространству (M, L, F ); F — операция векторизации пространства (M, L, F ). Будем говорить, что p — точка пространства (M, L, F ), если p ∈ M .
Будем говорить, что x — векторпространства (M, L, F ), если x ∈ L. Далее обычно будем отождествлять пространство(M, L, F ) и множество M .~ = L.Пусть Q = (M, L, F ). Обозначим, QУтверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; Q — аффинное пространство над полем K.→1. Пусть p ∈ Q. Тогда −pp = θ.−−2. Пусть: p1 , p2 ∈ Q, p1→p2 = θ. Тогда p1 = p2 .→ −−→3. Пусть p1 , p2 ∈ Q.
Тогда (−1)−p−1 p2 = p2 p1 .7.4. Аффинное пространство89Доказательство.→→→→→→1. Очевидно: −pp + −pp = −pp. С другой стороны, −pp + θ = −pp. Тогда −pp = θ.−−→−−→2. Очевидно, p1 p1 = θ. С другой стороны, p1 p2 = θ. Тогда p1 = p2 .→−−→−−→ −−→−−→3. Очевидно, −p−1 p2 + (−1)p1 p2 = θ. С другой стороны: p1 p2 + p2 p1 = p1 p1 = θ. Тогда→ −−→(−1)−p−1 p2 = p2 p1 .Замечание (операция откладывания вектора от точки).
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; Q — аффинное пространство над полем K.~ Тогда существует единственная точка p, удовлетворяющаяПусть: p0 ∈ Q, x ∈ Q.−→условиям: p ∈ Q, p0 p = x. Обозначим, p0 ⊕ x = p. Далее часто будем писать p0 + x вместоp0 ⊕ x.~Пусть p0 ∈ Q. Обозначим: ϕp0 (p) = −p→0 p при p ∈ Q. Очевидно, ϕp0 : Q =⇒ Q. Так как−→~~∀x ∈ Q∃!p∈ Q(p0 p = x), то: ϕp0 — обратимая функция, D(ϕp0 ) = Q, R(ϕp0 ) = Q.−−−−−−→−1~ Тогда: p0 ϕ−1= x.
С другой стороны,Пусть: p0 ∈ Q, x ∈ Q.p0 (x) = ϕp0 ϕp0 (x)−−−−−−→p0 (p0 ⊕ x) = x. Тогда ϕ−1p0 (x) = p0 ⊕ x.−1Пусть p0 , p ∈ Q. Тогда: p0 ⊕ −p→0 p = ϕp0 ϕp0 (p) = p.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; Q — аффинное пространство над полем K.~ Тогда (p ⊕ x) ⊕ y = p ⊕ (x + y).1. Пусть: p ∈ Q, x, y ∈ Q.2.
Пусть p ∈ Q. Тогда p ⊕ θ = p.Доказательство.−−−−−→→. Обозначим, p = (p ⊕ x) ⊕ y. Тогда1. Обозначим, p1 = p ⊕ x. Тогда: x = p(p ⊕ x) = −pp12−−−−−−→ −−→→+−→p2 = p1 ⊕ y. Следовательно: y = p1 (p1 ⊕ y) = p1 p2 . Тогда: p ⊕ (x + y) = p ⊕ (−ppp−11 p2 ) =→ = p = (p ⊕ x) ⊕ y.ppp⊕−22→2. Очевидно: p ⊕ θ = p ⊕ −pp = p.Утверждение (аффинное пространство E N ). Пусть: N = 1, 3, F — стандартная опера~ N , F ) — аффинное пространство надция векторизации на множестве E N . Тогда (E N , Eполем R.Определение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K. Рассмотриммножество L.
Рассмотрим линейное пространство L.→−−→Пусть p1 , p2 ∈ L. Обозначим, −p−1 p2 = p2 − p1 . Очевидно, p1 p2 ∈ L. Будем говорить, что→{−p−1 p2 }p1 ,p2 ∈L — стандартная операция векторизации на множестве L.Утверждение (пример аффинного пространства). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейноепространство над полем K, F — стандартная операция векторизации на множестве L.Тогда: (L, L, F ) — аффинное пространство над полем K, p0 ⊕ x = p0 + x при p0 , x ∈ L.Доказательство.1. Так как L — линейное пространство, то ∃p(p ∈ L).2. Пусть p1 , p2 , p3 ∈ L. Тогда:−→ −−→−−→p−1 p2 + p2 p3 = (p2 − p1 ) + (p3 − p2 ) = p3 − p1 = p1 p3 .3.
Пусть p0 , x ∈ L. Докажем, что существует единственный объект p, удовлетворяющийусловиям: p ∈ L, −p→0 p = x.907. Линейное пространствоПусть: p ∈ L, −p→0 p = x. Тогда:−p→0 p = x,p − p0 = x,p = p0 + x.→−−→Пусть: p1 ∈ L, −p−0 p1 = x, p2 ∈ L, p0 p2 = x. Тогда: p1 = p0 +x, p2 = p0 +x. Следовательно,p1 = p2 .Пусть p = p0 + x. Тогда: p ∈ L, −p→0 p = p − p0 = (p0 + x) − p0 = x.Итак, (L, L, F ) — аффинное пространство над полем K. Пусть p0 , x ∈ L. Тогда: p0 + x ∈−−−−−−→L, p0 (p0 + x) = x. Следовательно, p0 ⊕ x = p0 + x.Определение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; Q — аффинное пространство над полем K.~ σ = {p : p ∈ Q ∧ −Пусть: p0 ∈ Q, H — подпространство пространства Q,p→0 p ∈ H}.
Будем говорить, что: σ — аффинное подпространство пространства Q; p0 — опорная точкааффинного подпространства σ; H — направляющее подпространство аффинного подпространства σ.→Очевидно, σ ⊆ Q. Очевидно: p0 ∈ Q, −p−0 p0 = θ ∈ H. Тогда p0 ∈ σ.8. Базис линейного пространства91Лекция 8. Базис линейного пространства8.1. Базис линейного пространстваОпределение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q ⊆ L.Будем говорить, что e — базис множества Q длины r, если: r ∈ N, e ∈ Qr , e1 , .
. . , er —линейно независимые векторы, Q ⊆ L(e1 , . . . , er ).Будем говорить, что e — базис множества Q, если существует число r, удовлетворяющееусловию: e — базис множества Q длины r.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q —подпространство пространства L, e — базис подпространства Q длины r. Тогда Q =L(e1 , . . . , er ).Доказательство. Так как e — базис подпространства Q длины r, то: r ∈ N, e ∈ Qr ,e1 , . . . , er — линейно независимые векторы, Q ⊆ L(e1 , .
. . , er ).Пусть x ∈ L(e1 , . . . , er ). Тогда существуют числа λ1 , . . . , λr ∈ K, удовлетворяющиеусловию x = λk ek . Так как: Q — подпространство пространства L, e1 , . . . , er ∈ Q, то:x = λk ek ∈ Q. Тогда L(e1 , . . . , er ) ⊆ Q. Так как: Q ⊆ L(e1 , . . . , er ), L(e1 , . . . , er ) ⊆ Q, тоQ = L(e1 , . . . , er ).Утверждение.
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; r ∈ N,x1 , . . . , xr ∈ L.1. Пусть e — базис множества {x1 , . . . , xr } длины r0 . Тогда e — базис подпространства L(x1 , . . . , xr ) длины r0 .2. Пусть: e — базис подпространства L(x1 , . . . , xr ) длины r0 ; e1 , . . . , er0 ∈ {x1 , . . . , xr }.Тогда e — базис множества {x1 , . . . , xr } длины r0 .Доказательство.1. Так как e — базис множества {x1 , . . .
, xr } длины r0 , то: r0 ∈ N, e ∈ {x1 , . . . , xr }r0 ,e1 , . . . , er0 — линейно независимые векторы, {x1 , . . . , xr } ⊆ L(e1 , . . . , er0 ).Очевидно: e1 , . . . , er0 ∈ {x1 , . . . , xr } ⊆ L(x1 , . . . , xr ). Пусть x ∈ L(x1 , . . . , xr ). Тогда существуют числа α1 , . .
. , αr ∈ K, удовлетворяющие условию x = αk xk . Пусть k = 1, r. Тогдасуществуют числа βk1 , . . . , βkr0 ∈ K, удовлетворяющие условию xk = βkm em . Следовательно:x = αk xk = αk (βkm em ) = (αk βkm )em .Итак, e — базис подпространства L(x1 , . . . , xr ) длины r0 .2. Так как e — базис подпространства L(x1 , . . . , xr ) длины r0 , то: r0 ∈ N, e ∈L(x1 , . . . , xr )r0 , e1 , . . . , er0 — линейно независимые векторы, L(x1 , . . . , xr ) ⊆ L(e1 , .
. . , er0 ).По условию, e1 , . . . , er0 ∈ {x1 , . . . , xr }. Очевидно: {x1 , . . . , xr } ⊆ L(x1 , . . . , xr ) ⊆L(e1 , . . . , er0 ). Итак, e — базис множества {x1 , . . . , xr } длины r0 .Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q ⊆ L, e —базис множества Q длины r.Пусть x ∈ Q. Будем говорить, что x̃ — столбец координат вектора x в базисе e, если:x̃ ∈ Kr , x = x̃k ek .Пусть x ∈ Q. Очевидно, существует единственный столбец x̃, удовлетворяющий условию: x̃ — столбец координат вектора x в базисе e.Пусть x ∈ Q. Обозначим через [x](e) столбец координат вектора x в базисе e.928.
Базис линейного пространстваУтверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q ⊆ L,e — базис множества Q длины r.1. Пусть: x, y ∈ Q, x + y ∈ Q. Тогда [x + y](e) = [x](e) + [y](e).2. Пусть: λ ∈ K, x ∈ Q, λx ∈ Q. Тогда [λx](e) = λ[x](e).3. Пусть θ ∈ Q. Тогда [θ](e) = θ̃ (здесь θ̃ — нулевой вектор пространства Kr ).4. Справедливо утверждение: [ek ]m (e) = δkm при k, m = 1, r.Доказательство.1.
Очевидно:[x](e) + [y](e) ∈ Kr ,kx + y = [x]k (e)ek + [y]k (e)ek = [x]k (e) + [y]k (e) ek = [x](e) + [y](e) ek .Тогда [x + y](e) = [x](e) + [y](e).2. Очевидно:λ[x](e) ∈ Kr ,kλx = λ [x]k (e)ek = λ[x]k (e) ek = λ[x](e) ek .Тогда [λx](e) = λ[x](e).3. Очевидно, θ̃ ∈ Kr . Так как: θ̃k = 0 при k = 1, r, то θ = θ̃k ek . Тогда [θ](e) = θ̃.4. Пусть k = 1, r. Очевидно, ek = [ek ]m (e)em . С другой стороны, ek = δkm em .
Тогда:[ek ]m (e) = δkm при m = 1, r.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; r ∈ N,x1 , . . . , xr ∈ L, e — базис пространства L длины N . Векторы x1 , . . . , xr являются линейнозависимыми тогда и только тогда, когда столбцы [x1 ](e), . . . , [xr ](e) являются линейнозависимыми.Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
