А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Следовательно, x̃1 , . . . , x̃r+1 — линейнозависимые столбцы.Пусть x̃ 6= Θ. Тогда существует число r0 = 1, r, существуют числа i1 , . . . , ir0 = 1, r + 1,существуют числа j1 , . . . , jr0 = 1, r, удовлетворяющие условиям: i1 < · · · < ir0 , j1 <j1 ,...,jr· · · < jr0 , ∆i1 ,...,ir00 (x̃) 6= 0, все миноры матрицы x̃ порядка r + 1, окаймляющие минорj1 ,...,jr∆i1 ,...,ir00 (x̃), равны нулю (если они существуют). Следовательно, x̃i1 , . . . , x̃ir0 — базис множества {x̃1 , . . . , x̃r+1 } длины r0 .
Так как: r0 6 r < r +1, то x̃, . . . , x̃r+1 — линейно зависимыестолбцы.Итак, x̃, . . . , x̃r+1 — линейно зависимые столбцы. Тогда x1 , . . . , xr+1 — линейно зависимые векторы. Итак, rank(Q) = r.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q};над полем K; r ∈ N, L — линейное пространствоx1 , . . . , xr ∈ L. Тогда dim L(x1 , . . . , xr ) = rank {x1 , . . . , xr } .11010. Размерность линейного пространства. Ранг матрицыДоказательство. Обозначим, r0 = rank {x1 , . .
. , xr } . Тогда r0 ∈ Z+ . Так как r0 6 r, тоr0 ∈ Z + .Пусть r0 = 0. Так как rank {x,...,x}1r = r0 , то x1 , . . . , xr = θ. Тогда:dim L(x1 , . . . , xr ) = rank L(x1 , . . . , xr ) = rank {θ} = 0 = r0 .Пусть r0 6= 0. Тогда r0 ∈ N. Так как rank {x1 , . . . , xr } = r0 , то существуют векторы e1 , .
. . , er0 , удовлетворяющие условию: e1 , . . . , er0 — базис множества {x1 , . . . , xr } длины r0 . Тогда e1 , .. . , er0 — базис подпространства L(x1 , . . . , xr ) длины r0 . Следовательно,dim L(x1 , . . . , xr ) = r0 .Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q ⊆ L,N1 ∈ N, x1 , . . . , xN1 ∈ Q, x1 , . .
. , xN1 — линейно независимые векторы, N1 < rank(Q).Тогда существует вектор x ∈ Q, удовлетворяющий условию: x1 , . . . , xN1 , x — линейнонезависимые векторы.Доказательство. Предположим, что для любого вектора x ∈ Q справедливо утверждение: x1 , . . . , xN1 , x — линейно зависимые векторы.По условию: N1 ∈ N, x1 , . . . , xN1 ∈ Q, x1 , . . . , xN1 — линейно независимые векторы.Пусть x ∈ Q.
Так как: x1 , . . . , xN1 — линейно независимые векторы, x1 , . . . , xN1 , x —линейно зависимые векторы, то x ∈ L(x1 , . . . , xN1 ). Итак, x1 , . . . , xN1 — базис множестваQ. Тогда rank(Q) = N1 (что противоречит утверждению: N1 < rank(Q)). Итак, существуетвектор x ∈ Q, удовлетворяющий условию: x1 , . . . , xN1 , x — линейно независимые векторы.Утверждение.
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K;Q ⊆ L, N1 ∈ N, x1 , . . . , xN1 ∈ Q, x1 , . . . , xN1 — линейно независимые векторы, N2 ∈ Z,N1 < N2 6 rank(Q). Тогда существуют векторы xN1 +1 , . . . , xN2 ∈ Q, удовлетворяющиеусловию: x1 , . . . , xN2 — линейно независимые векторы.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; Q2 ⊆ L,N2 ∈ N, rank(Q2 ) = N2 ; Q1 ⊆ Q2 , N1 ∈ N, rank(Q1 ) = N1 , e1 , .
. . , eN1 — базис множества Q1 , N1 < N2 . Тогда существуют векторы eN1 +1 , . . . , eN2 , удовлетворяющие условию:e1 , . . . , eN2 — базис множества Q2 .Доказательство. Так как: e1 , . . . , eN1 ∈ Q1 , Q1 ⊆ Q2 , то e1 , . . . , eN1 ∈ Q2 . Так как:e1 , . . . , eN1 — линейно независимые векторы, N1 < N2 = rank(Q2 ), то существуют векторы eN1 +1 , . .
. , eN2 ∈ Q2 , удовлетворяющие условию: e1 , . . . , eN2 — линейно независимыевекторы. Так как: rank(Q2 ) = N2 , e1 , . . . , eN2 ∈ Q2 , e1 , . . . , eN2 — линейно независимыевекторы, то e1 , . . . , eN2 — базис множества Q2 .10.2. Ранг матрицыУтверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N ∈ N; A ∈ KN ×N , det(A) = 0. Тогда A1 , . .
. , AN —линейно зависимые столбцы.Доказательство. Пусть A = Θ (здесь Θ — нулевой элемент пространства KN ×N ). Тогда A1 , . . . , AN = θ̃ (здесь θ̃ — нулевой элемент пространства KN ). Следовательно,A1 , . . . , AN — линейно зависимые столбцы.Пусть A 6= Θ. Тогда существует число r = 1, N , существуют числа i1 , . . . , ir = 1, N ,существуют числа j1 , . . . , jr = 1, N , удовлетворяющие условиям: i1 < · · · < ir , j1 <j1 ,...,jr· · · < jr , ∆i1 ,...,ir (A) 6= 0, все миноры матрицы A порядка r + 1, окаймляющие минор10.2. Ранг матрицы111j1 ,...,jr∆i1 ,...,ir (A), равны нулю (если они существуют).
Следовательно, Ai1 , . . . , Air — базис множества {A1 , . . . , AN } длины r. Так как det(A) = 0, то r 6= N . Тогда r < N . Следовательно,A1 , . . . , AN — линейно зависимые столбцы.Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N1 , N2 ∈ N; A ∈ KN2 ×N1 .,...,jrПусть: r ∈ N, i1 , . . . , ir = 1, N1 , i1 < · · · < ir , j1 , . . . , jr = 1, N2 , j1 < · · · < jr , ∆ji11,...,i(A) 6=r0.,...,jrПусть все миноры матрицы A порядка r + 1, окаймляющие минор ∆ij11,...,i(A), равныrнулю (если они существуют).Тогда: Ai1 , . . . , Air — базис множества {A1 , .
. . , AN1 } длины r; Aj1 , . . . , Ajr — базис множества {A1 , . . . , AN2 } длины r.Так как Ai1 , . . . , Air — базис множества {A1 , . . . , AN1 } длины r, то rank {A1 , . . . , AN1 } =r. Так как Ai1 , . . . , Air — базис множества {A1 , . . . , AN1 } длины r, то Ai1 , . . . , Air — базисподпространства L(A1 , . . . AN1 ) длины r. Тогда dim L(A1 , . . . AN1 ) = r.Так как Aj1, . . .
, Ajr — базис множества {A1 , . . . , AN2 } длины r, то= r. Так как Aj1 , . . . , Ajr — базис множества {A1 , . . . , AN2 }rank {A1 , . . . , AN2 }длины r, то Aj1 , . . . , Ajr — базис подпространства L(A1 , . . . , AN2 ) длины r. Тогдаdim L(A1 , . . . , AN2 ) = r.N2 ×N1Определение. Пусть:. Обозначим, rank(A) = K ∈ {C, R, Q}; N1 , N2 ∈ N; A ∈ Krank {A1 , . .
. , AN1 } . Будем говорить, что rank(A) — ранг матрицы A.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N1 , N2 ∈ N; A ∈ KN2 ×N1.1. Справедливо утверждение: rank(A) = dim L(A1 , . . . , AN1 ) .2. Справедливо утверждение: rank(A) = rank {A1 , . . . , AN2 } .3. Справедливо утверждение: rank(A) = dim L(A1 , . . . , AN2 ) .4. Пусть: r ∈ N, i1 , . . . , ir = 1, N1 , i1 < · · · < ir , j1 , . .
. , jr = 1, N2 , j1 < · · · < jr ,j1 ,...,jr∆i1 ,...,ir (A) 6= 0. Пусть все миноры матрицы A порядка r + 1, окаймляющие минор,...,jr∆ji11,...,i(A), равны нулю (если они существуют). Тогда rank(A) = r.rДоказательство.1. Очевидно: rank(A) = rank {A1 , . . . , AN1 } = dim L(A1 , . . . , AN1 ) .2. Пусть A = Θ (здесь Θ — нулевой элемент пространства KN2 ×N1 ). Тогда: A1 , . .
. , AN1 =θ̃2 (здесь θ̃2 — нулевой элемент пространства KN2 ×1 ); A1 , . . . , AN2 = θ̃1 (здесь θ̃1 — нулевойэлемент пространства K1×N1 ). Следовательно:rank(A) = rank {A1 , . . . , AN1 } = rank {θ̃2 } = 0 = rank {θ̃1 } = rank {A1 , . . . , AN2 } .Пусть A 6= Θ. Тогда существует число r ∈ N, существуют числа i1 , .
. . , ir = 1, N1 ,существуют числа j1 , . . . , jr = 1, N2 , удовлетворяющие условиям: i1 < · · · < ir , j1 <j1 ,...,jr· · · < jr , ∆i1 ,...,ir (A) 6= 0, все миноры матрицы A порядка r + 1, окаймляющие минорj1 ,...,jr∆i1 ,...,ir (A), равны нулю (если они существуют). Следовательно: rank {A1 , . . . , AN1 } = r,rank {A1 , . . . , AN2 } = r. Тогда: rank(A) = rank{A1 , . . . , AN1 } = r =rank {A1 , . . . , AN2 } .3.
Очевидно: rank(A) = rank {A1, . . . , AN2 } = dim L(A1 , . . . , AN2 ) .4. Очевидно, rank {A1 , . . . , AN1 } = r. Тогда: rank(A) = rank {A1 , . . . , AN1 } = r.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; N1 , N2 ∈ N.1. Пусть: A1 , . . . , AN1 ∈ KN2 , σ ∈ SN1 . Тогда:rank(Aσ(1) , . . . , Aσ(N1 ) ) = rank(A1 , . . . , AN1 ).11210. Размерность линейного пространства. Ранг матрицы2. Пусть: N1 > 2, k = 1, N1 , A1 , . . . , AN1 ∈ KN2 , X ∈ L(A1 , . . .
, Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN1 ).Тогда:rank(A1 , . . . , Ak−1 , Ak + X, Ak+1 , . . . , AN1 ) = rank(A1 , . . . , AN1 ).3. Пусть: N1 > 2, k = 1, N1 , A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN1 ∈ KN2 . Тогда:rank(A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN1 ) = rank(A1 , . . . , Ak−1 , θ̃2 , Ak+1 , . . . , AN1 ).4. Пусть: N1 > 2, k = 1, N1 , A1 , . . . , AN1 ∈ KN2 , Ak ∈ L(A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN1 ).Тогда:rank(A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN1 ) = rank(A1 , .
. . , AN1 ).5. Пусть: k = 1, N1 , λ ∈ K, λ 6= 0, A1 , . . . , AN1 ∈ KN2 . Тогда:rank(A1 , . . . , Ak−1 , λAk , Ak+1 , . . . , AN1 ) = rank(A1 , . . . , AN1 ).Доказательство.1. Очевидно:rank(Aσ(1) , . . . , Aσ(N1 ) ) = rank {Aσ(1) , . . . , Aσ(N1 ) } = rank {A1 , . . . , AN1 } == rank(A1 , . . . , AN1 ).2. Достаточно доказать, что:L(A1 , .
. . , Ak−1 , Ak + X, Ak+1 , . . . , AN1 ) = L(A1 , . . . , AN1 ).Так как X ∈ L(A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN1 ), то Pсуществуют числа α1 , . . . , αk−1 ,αk+1 , . . . , αN1 ∈ K, удовлетворяющие условию X =αm Am .m=1,N1 , m6=kПусть Y ∈ L(A1 , . . .
, Ak−1 , Ak + X, Ak+1 , . . .P, AN1 ). Тогда существуют числаβ 1 , . . . , β N1 ∈ K, удовлетворяющие условию Y =β m Am + β k (Ak + X). Следоm=1,N1 , m6=kвательно:Y =XmXkβ Am + β (Ak + X) =m=1,N1 , m6=km=1,N1 , m6=kX=mm=1,N1 , m6=kkβ Am + β Ak +mmkXm=1,N1 , m6=kmα Am=k(β + β α )Am + β Ak ∈ L(A1 , . . . , AN1 ).1N1Пусть Y ∈ L(AP∈ K, удовлетворяю1 , . . . , AN1 ). Тогда существуют числа β , . . . , βmщие условию Y =β Am .
Следовательно:m=1,N1Y =Xβ m Am ==m=1,N1 , m6=k=Xm=1,N1 , m6=kβ m Am + β k Ak =m=1,N1 , m6=km=1,N1XX(β − β α )Am + β Ak +mkmkXm=1,N1 , m6=kmα Am=(β m − β k αm )Am + β k (Ak + X) ∈ L(A1 , . . . , Ak−1 , Ak + X, Ak+1 , . . . , AN1 ).10.2. Ранг матрицы1133. Достаточно доказать, что:L(A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN1 ) = L(A1 , . . . , Ak−1 , θ̃2 , Ak+1 , . . . , AN1 ).αk+1Пусть X ∈ L(A1 , .
. . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , AN1 ). Тогдачисла α1 , . . . , αk−1 ,P существуютN1m, . . . , α ∈ K, удовлетворяющие условию X =α Am . Следовательно:m=1,N1 , m6=kXX=αm Am =m=1,N1 , m6=kXm=1,N1 , m6=kαm Am + 1θ̃2 ∈ L(A1 , . . . , Ak−1 , θ̃2 , Ak+1 , . . . , AN1 ).Пусть X ∈ L(A1 , . . . , Ak−1 , θ̃2 , Ak+1P, . . . , AN1 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
