А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

. . , p1 pr — линейно независимые векторы.Доказательство. Так как p1 , . . . , pr — аффинно независимые точки, то r 6 N + 1.Пусть r 6 N . Так как p1 , . . . , pr — аффинно независимые точки, то существуют точкиpr+1 , . . . , pN +1 , удовлетворяющие условиям: pr+1 , . . . , pN +1 ∈ E N , p1 , . . . , pN +1 — аффинно→−−−−→независимые точки. Тогда −p−1 p2 , . . . , p1 pN +1 — линейно независимые векторы. Следователь→−−→но, −p−1 p2 , .

. . , p1 pr — линейно независимые векторы.→−−→Пусть r = N + 1. Так как p1 , . . . , pr — аффинно независимые точки, то −p−1 p2 , . . . , p1 pr —линейно независимые векторы.→−−→Утверждение. Пусть: N = 1, 3; r ∈ Z, r > 2, p1 , . . . , pr ∈ E N , −p−1 p2 , . . . , p1 pr — линейнонезависимые векторы. Тогда p1 , . . . , pr — аффинно независимые точки.→Доказательство. Пусть: N = 1, r = 2. Так как −p−1 p2 — линейно независимый вектор, то−→p−1 p2 6= θ. Тогда p1 6= p2 . Следовательно, p1 , p2 — аффинно независимые точки.2.4.

Линейная комбинация векторов, линейная зависимость векторов31→−−→Пусть N = 1. Предположим, что r > 3. Так как −p−1 p2 , . . . , p1 pr — линейно независимые→векторы, то −p−1 p2 — линейно независимый вектор. Тогда p1 , p2 — аффинно независимые→−−→−−→ −−→точки. Следовательно, −p−1 p3 ∈ L(p1 p2 ). Тогда p1 p2 , p1 p3 — линейно зависимые векторы.

Сле→−−→довательно, −p−1 p2 , . . . , p1 pr — линейно зависимые векторы (что противоречит утверждению:−→−−→p−1 p2 , . . . , p1 pr — линейно независимые векторы). Итак, r 6 2.→−−→Пусть: N = 2, r = 2. Так как −p−1 p2 — линейно независимый вектор, то p1 p2 6= θ. Тогдаp1 6= p2 . Следовательно, p1 , p2 — аффинно независимые точки.Пусть: N = 2, r = 3. Предположим, что p1 , p2 , p3 — аффинно зависимые точки.

Тогдасуществует прямая l, удовлетворяющая условиям: l — прямая в пространстве E 2 , p1 , p2 ,→ −−→−−→p3 ∈ l. Так как −p−1 p2 , p1 p3 — линейно независимые векторы, то p1 p2 — линейно независимый→−−→вектор. Тогда p1 , p2 — аффинно независимые точки. Так как p1 , p2 , p3 ∈ l, то −p−1 p3 ∈ L(p1 p2 ).−−→−−→→Тогда p1 p2 , p1 p3 — линейно зависимые векторы (что противоречит утверждению: −p−1 p2 ,−→p−1 p3 — линейно независимые векторы).

Итак, p1 , p2 , p3 — аффинно независимые точки.→−−→Пусть N = 2. Предположим, что r > 4. Так как −p−1 p2 , . . . , p1 pr — линейно независи−−→−−→мые векторы, то p1 p2 , p1 p3 — линейно независимые векторы. Тогда p1 , p2 , p3 — аффинно→−−→ −−→−−→ −−→ −−→независимые точки. Следовательно, −p−1 p4 ∈ L(p1 p2 , p1 p3 ). Тогда p1 p2 , p1 p3 , p1 p4 — линей→−−→но зависимые векторы. Следовательно, −p−1 p2 , .

. . , p1 pr — линейно зависимые векторы (что−−→−−→противоречит утверждению: p1 p2 , . . . , p1 pr — линейно независимые векторы). Итак, r 6 3.→−−→Пусть: N = 3, r = 2. Так как −p−1 p2 — линейно независимый вектор, то p1 p2 6= θ. Тогдаp1 6= p2 . Следовательно, p1 , p2 — аффинно независимые точки.Пусть: N = 3, r = 3. Предположим, что p1 , p2 , p3 — аффинно зависимые точки. Тогдасуществует прямая l, удовлетворяющая условиям: l — прямая в пространстве E 3 , p1 , p2 ,→ −−→−−→p3 ∈ l. Так как −p−1 p2 , p1 p3 — линейно независимые векторы, то p1 p2 — линейно независимый→−−→вектор. Тогда p1 , p2 — аффинно независимые точки. Так как p1 , p2 , p3 ∈ l, то −p−1 p3 ∈ L(p1 p2 ).→ −−→−−→Тогда −p−1 p2 , p1 p3 — линейно зависимые векторы (что противоречит утверждению: p1 p2 ,−→p−1 p3 — линейно независимые векторы).

Итак, p1 , p2 , p3 — аффинно независимые точки.Пусть: N = 3, r = 4. Предположим, что p1 , p2 , p3 , p4 — аффинно зависимые точки.Тогда существует плоскость π, удовлетворяющая условиям: π — плоскость в пространстве→ −−→ −−→−−→E 3 , p1 , p2 , p3 , p4 ∈ π. Так как −p−1 p2 , p1 p3 , p1 p4 — линейно независимые векторы, то p1 p2 ,−−→p1 p3 — линейно независимые векторы. Тогда p1 , p2 , p3 — аффинно независимые точки.→−−→ −−→−−→ −−→ −−→Так как p1 , p2 , p3 , p4 ∈ π, то −p−1 p4 ∈ L(p1 p2 , p1 p3 ).

Тогда p1 p2 , p1 p3 , p1 p4 — линейно зави−−→−−→→симые векторы (что противоречит утверждению: p1 p2 , p1 p3 , −p−1 p4 — линейно независимыевекторы). Итак, p1 , p2 , p3 , p4 — аффинно независимые точки.→−−→Пусть N = 3. Предположим, что r > 5. Так как −p−1 p2 , . . . , p1 pr — линейно независимые−−→−−→−−→векторы, то p1 p2 , p1 p3 , p1 p4 — линейно независимые векторы. Тогда p1 , p2 , p3 , p4 — аффинно→−−→ −−→ −−→−−→ −−→ −−→ −−→независимые точки.

Следовательно, −p−1 p5 ∈ L(p1 p2 , p1 p3 , p1 p4 ). Тогда p1 p2 , p1 p3 , p1 p4 , p1 p5 —→−−→линейно зависимые векторы. Следовательно, −p−1 p2 , . . . , p1 pr — линейно зависимые векторы−−→−−→(что противоречит утверждению: p1 p2 , . . . , p1 pr — линейно независимые векторы).

Итак,r 6 4.Замечание. Пусть N = 1, 3.~ N , e1 , . . . , eN — линейно независимые векторы. Очевидно, сущеПусть: e1 , . . . , eN ∈ E−−→ствуют точки O, I1 , . . . , IN , удовлетворяющие условиям: O, I1 , . . . , IN ∈ E N , ek = OIk приk = 1, N . Так как e1 , . . . , eN — линейно независимые векторы, то O, I1 , . . . , IN — аффинно~N.независимые точки. Тогда e1 , . . . , eN — базис пространства E~ N , e1 , .

. . , er — линейно независимые векторы. Очевидно,Пусть: r ∈ N, e1 , . . . , er ∈ E−−→существуют точки O, I1 , . . . , Ir , удовлетворяющие условиям: O, I1 , . . . , Ir ∈ E N , ek = OIk322. Векторы в пространствах E 1 , E 2 , E 3при k = 1, r. Так как e1 , . . . , er — линейно независимые векторы, то O, I1 , .

. . , Ir — аффиннонезависимые точки. Тогда r + 1 6 N + 1. Следовательно, r 6 N .3. Матричная алгебра. Определители порядков 1, 2, 333Лекция 3. Матричная алгебра. Определители порядков 1, 2, 33.1. Пространство RN2 ×N1Определение (что такое матрица). Пусть N1 , N2 ∈ N.1. Будем говорить, что A — матрица, имеющая N2 строки и N1 столбец, если: A —функция, D(A) = {1, . . .

, N2 } × {1, . . . , N1 }.N212. Пусть α11 , . . . , α1N2 , . . . , αN, . . . , αN— некоторые объекты. Пусть: A(j, i) = αij при:11i = 1, N1 , j = 1, N2 . Обозначим: 11α1 · · · αN1 ....  = A. . ···. N2N2α 1 · · · α N1Пусть A — матрица, имеющая N2 строки и N1 столбец. Тогда:A(1, 1) · · · A(1, N1 )....A=...···A(N2 , 1) · · ·A(N2 , N1 )3. Пусть A — матрица, имеющая N2 строки и N1 столбец. Далее часто будем писать:Aj,i , Aj,i вместо A(j, i).

Пусть i = 1, N1 . Обозначим: 1Ai .. Ai =  .  .2ANiAji ,Пусть j = 1, N2 . Обозначим:Aj = Aj1 · · ·AjN1 .4. Пусть Q — множество. Будем говорить, что A — матрица с элементами из множестваQ, имеющая N2 строки и N1 столбец, если:A : {1, . .

. , N2 } × {1, . . . , N1 } =⇒ Q.5. Пусть Q — множество. Обозначим через QN2 ×N1 множество всех матриц с элементамииз множества Q, имеющих N2 строки и N1 столбец.Определение. Пусть N1 , N2 ∈ N. Рассмотрим множество RN2 ×N1 .Пусть A, B ∈ RN2 ×N1 . Обозначим:(A + B)ji = Aji + Bij , i = 1, N1 , j = 1, N2 .Очевидно, A+B ∈ RN2 ×N1 . Будем говорить, что {A+B}A,B∈RN2 ×N1 — стандартная операциясложения на множестве RN2 ×N1 .Пусть: λ ∈ R, A ∈ RN2 ×N1 .

Обозначим:(λA)ji = λAji , i = 1, N1 , j = 1, N2 .343. Матричная алгебра. Определители порядков 1, 2, 3Очевидно, λA ∈ RN2 ×N1 . Будем говорить, что {λA}λ∈R, A∈RN2 ×N1 — стандартная внешняяоперация умножения на множестве RN2 ×N1 .Обозначим:Θji = 0, i = 1, N1 , j = 1, N2 .Очевидно, Θ ∈ RN2 ×N1 . Будем говорить, что Θ — стандартный нулевой элемент множестваRN2 ×N1 .Утверждение. Пусть N1 , N2 ∈ N.1. Пусть A, B ∈ RN2 ×N1 .

Тогда A + B = B + A.2. Пусть A, B, C ∈ RN2 ×N1 . Тогда (A + B) + C = A + (B + C).3. Пусть A ∈ RN2 ×N1 . Тогда A + Θ = A.4. Пусть A ∈ RN2 ×N1 . Тогда A + (−1)A = Θ.5. Пусть: α, β ∈ R, A ∈ RN2 ×N1 . Тогда (αβ)A = α(βA).6. Пусть A ∈ RN2 ×N1 . Тогда 1A = A.7. Пусть: α, β ∈ R, A ∈ RN2 ×N1 . Тогда (α + β)A = αA + βA.8. Пусть: λ ∈ R, A, B ∈ RN2 ×N1 .

Тогда λ(A + B) = λA + λB.9. Пусть A ∈ RN2 ×N1 . Тогда 0A = Θ.10. Пусть λ ∈ R. Тогда λΘ = Θ.11. Пусть A, B ∈ RN2 ×N1 . Существует единственная матрица X, удовлетворяющаяусловиям: X ∈ RN2 ×N1 , A + X = B.Доказательство.1. Пусть i = 1, N1 , j = 1, N2 . Тогда:(A + B)ji = Aji + Bij = Bij + Aji = (B + A)ji .Следовательно, A + B = B + A.2.

Пусть i = 1, N1 , j = 1, N2 . Тогда:(A + B) + Cjij= (Aji + Bij ) + Cij = Aji + (Bij + Cij ) = A + (B + C) i .Следовательно, (A + B) + C = A + (B + C).3. Пусть i = 1, N1 , j = 1, N2 . Тогда:(A + Θ)ji = Aji + Θji = Aji + 0 = Aji .Следовательно, A + Θ = A.4. Пусть i = 1, N1 , j = 1, N2 . Тогда:jA + (−1)A i = Aji + (−1)Aji = 0 = Θji .Следовательно, A + (−1)A = Θ.5. Пусть i = 1, N1 , j = 1, N2 . Тогда:jj(αβ)A i = (αβ)Aji = α(βAji ) = α(βA) i .Следовательно, (αβ)A = α(βA).3.2. Линейная комбинация матриц, линейная зависимость матриц356. Пусть i = 1, N1 , j = 1, N2 .

Тогда:(1A)ji = 1Aji = Aji .Следовательно, 1A = A.7. Пусть i = 1, N1 , j = 1, N2 . Тогда:j(α + β)A i = (α + β)Aji = αAji + βAji = (αA + βA)ji .Следовательно, (α + β)A = αA + βA.8. Пусть i = 1, N1 , j = 1, N2 . Тогда:jλ(A + B) i = λ(Aji + Bij ) = λAji + λBij = (λA + λB)ji .Следовательно, λ(A + B) = λA + λB.9. Пусть i = 1, N1 , j = 1, N2 . Тогда:(0A)ji = 0Aji = 0 = Θji .Следовательно, 0A = Θ.10. Пусть i = 1, N1 , j = 1, N2 . Тогда:(λΘ)ji = λΘji = λ0 = 0 = Θji .Следовательно, λΘ = Θ.11. Пусть: X ∈ RN2 ×N1 , A + X = B. Тогда:(−1)A + (A + X) = (−1)A + B,(−1)A + A + X = (−1)A + B,A + (−1)A + X = (−1)A + B,Θ + X = (−1)A + B,X + Θ = (−1)A + B,X = (−1)A + B.Пусть: X1 ∈ RN2 ×N1 , A + X1 = B, X2 ∈ RN2 ×N1 , A + X2 = B.

Тогда: X1 = (−1)A + B,X2 = (−1)A + B. Следовательно, X1 = X2 .Обозначим,X = (−1)A + B. Тогда: X ∈ RN2 ×N1 , A + X = A + (−1)A + B =A + (−1)A + B = Θ + B = B + Θ = B.Определение. Пусть N1 , N2 ∈ N.Пусть A ∈ RN2 ×N1 . Обозначим, −A = (−1)A. Очевидно: −A ∈ RN2 ×N1 , A + (−A) = Θ.Будем говорить, что −A — противоположная матрица к матрице A.Пусть A, B ∈ RN2 ×N1 .

Обозначим, B − A = (−1)A + B. Очевидно: B − A ∈ RN2 ×N1 ,A + (B − A) = B. Будем говорить, что B − A — разность матриц B, A.3.2. Линейная комбинация матриц, линейная зависимость матрицОпределение (линейная комбинация матриц). Пусть: N1 , N2 ∈ N; r ∈ N, λ1 , . . . , λr ∈ R,X1 , . . . , Xr ∈ RN2 ×N1 .363. Матричная алгебра. Определители порядков 1, 2, 3Будем говорить, чтоентами λ1 , . . . , λr .NPλk Xk — линейная комбинация матриц X1 , . .

. , Xr с коэффици-k=1Далее часто будем писать λk Xk вместоNPλk Xk (частный случай правила суммирова-k=1ния Эйнштейна).Определение (линейная оболочка матриц, линейная зависимость матриц, линейная независимость матриц). Пусть: N1 , N2 ∈ N; r ∈ N, X1 , . . . , Xr ∈ RN2 ×N1 .Обозначим:L(X1 , . .

. , Xr ) = {λk Xk : λ1 ∈ R ∧ · · · ∧ λr ∈ R} == U : ∃λ1 · · · ∃λr (λ1 ∈ R ∧ · · · ∧ λr ∈ R ∧ U = λk Xk ) .Очевидно, L(X1 , . . . , Xr ) ⊆ RN2 ×N1 . Будем говорить, что L(X1 , . . . , Xr ) — линейная оболочка матриц X1 , . . . , Xr . Пусть k = 1, r. Тогда: Xk = δkm Xm ∈ L(X1 , . . . , Xr ).Будем говорить, что по любой линейной комбинации матриц X1 , . . . , Xr однозначновосстанавливаются её коэффициенты, если для любых чисел α1 , . . . , αr , β 1 , . .

Характеристики

Список файлов книги