А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия (1113342), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Утверждение B ⊆ A читается: «B — подмножество множества A». Внимание!Утверждения B ∈ A и B ⊆ A имеют разный смысл. Очевидно: ∅ ⊆ A, A ⊆ A.Пусть A — множество. Будем писать B ⊂ A, если B ⊆ A ∧ B 6= A. Утверждение B ⊂ Aчитается: «B — собственное подмножество множества A».Пусть A — множество. Обозначим, P (A) = {B : B ⊆ A}.Пусть x — некоторый объект. Обозначим, {x} = {u : u = x}.Пусть x, y — некоторые объекты. Обозначим, {x, y} = {u : u = x ∨ u = y}.

Внимание:{y, x} = {x, y}, {x, x} = {x}.Пусть x — некоторый объект. Обозначим, (x) = x.Пусть x, y — некоторые объекты. Обозначим через (x, y) упорядоченную пару объектовx, y. Мы не даём строгого определения упорядоченной пары. Достаточно знать, что (x, y)это некоторый новый объект, по которому можно однозначно восстановить как объект x,так и объект y.

Пусть u = (x, y). Обозначим: u1 = x, u2 = y. Внимание: x 6= y =⇒(y, x) 6= (x, y), (x, x) 6= (x).Пусть A, B — множества. Обозначим:A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B},A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B},A \ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈/ B}, noA × B = (x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B = u : ∃x∃y x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ u = (x, y) .Будем говорить, что: A ∩ B — пересечение множеств A, B; A ∪ B — объединение множествA, B; A \ B — разность множеств A, B; A × B — прямое произведение множеств A, B(декартово произведение множеств A, B).1.4.

Теория функцийПусть F — функция. Обозначим через D(F ) область определения функции F .Внимание! Пусть F1 , F2 — функции. Очевидно, F1 = F2 тогда и только тогда,когда: D(F1 ) = D(F2 ), F1 (x) = F2 (x) при x ∈ D(F1 ).Будем говорить, что F — пустая функция, если: F — функция, D(F ) = ∅. Существуетединственная функция, удовлетворяющая условию: F — пустая функция.Пусть F — функция. Обозначим: noR(F ) = F (x) : x ∈ D(F ) = y : ∃x x ∈ D(F ) ∧ y = F (x) .Множество R(F ) называется областью значений функции F или образом функции F .Другое обозначение, Im(F ).1.4. Теория функций7Пусть: F — функция, A — множество. Обозначим:D(F, A) = x : x ∈ D(F ) ∧ F (x) ∈ A .Множество D(F, A) называется прообразом множества A под действием функции F . Очевидно, D(F, A) ⊆ D(F ).

Пусть R(F ) ⊆ A. Очевидно, D(F, A) = D(F ).Пусть: F — функция, A — множество. Обозначим: noF [A] = F (x) : x ∈ A ∧ x ∈ D(F ) = y : ∃x x ∈ A ∧ x ∈ D(F ) ∧ y = F (x) .Множество F [A] называется образом множества A под действием функции F . Очевидно,F [A] ⊆ R(F ). Пусть D(F ) ⊆ A. Очевидно, F [A] = R(F ).Пусть A, B — множества. Будем писать F : A → B, если: F — функция, D(F ) ⊆ A,R(F ) ⊆ B. Утверждение F : A → B читается: «функция F действует из множества A вмножество B». Обозначим через fun(A, B) множество всех функций F , удовлетворяющихусловию F : A → B.Пусть A, B — множества. Будем писать F : A =⇒ B, если: F — функция, D(F ) =A, R(F ) ⊆ B.

Утверждение F : A =⇒ B читается: «функция F действует из всегомножества A в множество B». Обозначим через Fun(A, B) множество всех функций F ,удовлетворяющих условию F : A =⇒ B.Пусть: F — функция, A — множество. Обозначим через F |A функцию, удовлетворяющую условиям: D( F |A ) = A ∩ D(F ), F |A (x) = F (x) при x ∈ A ∩ D(F ). Функция F |Aназывается ограничением функции F на множество A. Очевидно, R( F |A ) = F [A]Пусть F1 , F2 — функции. Обозначим черезF2 ◦ F1 функцию, удовлетворяющуюусловиям: D(F2 ◦F1 ) = x : x ∈ D(F1 )∧F1 (x) ∈ D(F2 ) , (F2 ◦F1 )(x) = F2 F1 (x) при x ∈ D(F2 ◦F1 ).Функция F2 ◦ F1 называется суперпозицией функций F2 , F1 или композицией функций F2 ,F1 или произведением функций F2 , F1 или сложной функцией, образованной функциямиF2 , F1 .

Другое обозначение, F2 F1 .Утверждение. Пусть F1 , F2 , F3 — функции. Тогда (F3 ◦ F2 ) ◦ F1 = F3 ◦ (F2 ◦ F1 ).Доказательство. Очевидно: D (F3 ◦ F2 ) ◦ F1 = x : x ∈ D(F1 ) ∧ F1 (x) ∈ D(F3 ◦ F2 ) =on= x : x ∈ D(F1 ) ∧ F1 (x) ∈ D(F2 ) ∧ F2 F1 (x) ∈ D(F3 ) == x : x ∈ D(F2 ◦ F1 ) ∧ (F2 ◦ F1 )(x) ∈ D(F3 ) = D F3 ◦ (F2 ◦ F1 ) .Пусть x ∈ D (F3 ◦ F2 ) ◦ F1 . Тогда:(F3 ◦ F2 ) ◦ F1 (x) = (F3 ◦ F2 ) F1 (x) = F3 F2 F1 (x) = F3 (F2 ◦ F1 )(x) == F3 ◦ (F2 ◦ F1 ) (x).Утверждение.Пусть: F1 , F2 — функции, A — множество. Тогда (F2 ◦ F1 )[A] =F2 F1 [A] .Доказательство.

Пусть z ∈ (F2 ◦ F1 )[A]. Тогда существует объект x, удовлетворяющийусловиям: x ∈ A, x ∈ D(F2 ◦ F1 ), z = (F2 ◦ F1 )(x). Следовательно: x ∈ A, x ∈ D(F1 ), F1 (x) ∈D(F2 ),z = F2 F1 (x) . Тогда: F1 (x) ∈ F1 [A], F1 (x) ∈ D(F2 ), z = F2 F1 (x) . Следовательно,z ∈ F2 F1 [A] .81. Логико-математическая символикаПусть z ∈ F2 F1 [A] . Тогда существует объект y, удовлетворяющий условиям: y ∈ F1 [A],y ∈ D(F2 ), z = F2 (y). Так как y ∈ F1 [A], то существует объект x, удовлетворяющийусловиям: x ∈ A, x ∈ D(F1 ), y = F1 (x). Тогда: x ∈ A, x ∈ D(F1 ), F1 (x) ∈ D(F2 ), z =F2 F1 (x) . Следовательно: x ∈ A, x ∈ D(F2 ◦ F1 ), z = (F2 ◦ F1 )(x).

Тогда z ∈ (F2 ◦ F1 )[A].Замечание. Пусть F1 , F2 — функции. Очевидно: D(F2 ◦ F1 ) = x : x ∈ D(F1 ) ∧ F1 (x) ∈ D(F2 ) ⊆ x : x ∈ D(F1 ) = D(F1 );D(F2 ◦ F1 ) = x : x ∈ D(F1 ) ∧ F1 (x) ∈ D(F2 ) = D F1 , D(F2 ) ;h iR(F2 ◦ F1 ) = (F2 ◦ F1 ) D(F1 ) = F2 F1 D(F1 ) ⊆ R(F2 );h iR(F2 ◦ F1 ) = (F2 ◦ F1 ) D(F1 ) = F2 F1 D(F1 ) = F2 R(F1 ) .Пусть: F1 , F2 — функции, R(F1 ) ⊆ D(F2 ). Тогда: D(F2 ◦ F1 ) = x : x ∈ D(F1 ) ∧ F1 (x) ∈ D(F2 ) = x : x ∈ D(F1 ) = D(F1 ).Пусть: F1 , F2 — функции, D(F2 ) ⊆ R(F1 ). Тогда:R(F2 ◦ F1 ) = F2 R(F1 ) = R(F2 ).Пусть F — функция. Очевидно,существует функция ϕ, удовлетворяющая условиям:ϕ : R(F ) =⇒ D(F ), F ϕ(y) = y при y ∈ R(F ).Пусть F — функция.

Будем говорить, что F — обратимая функция, если∀x1 ∈ D(F )∀x2 ∈ D(F ) x1 6= x2 =⇒ F (x1 ) 6= F (x2 ) .Пусть F — обратимая функция. Будем говорить,что ϕ — обратная функция к функции F , если: ϕ : R(F ) =⇒ D(F ), F ϕ(y) = y при y ∈ R(F ). Очевидно, существуетединственная функция ϕ, удовлетворяющая условию: ϕ — обратная функция к функцииF . Обозначим через F −1 обратную функцию к функции F .Утверждение. Пусть: F1 , F2 — функции, R(F1 ) ⊆ D(F2 ), F2 F1 (x) = x при x ∈ D(F1 ).Тогда: F1 — обратимая функция, D(F1 ) ⊆ R(F2 ).F(x)=Доказательство.Пусть:x,x∈D(F),F(x)=F(x).Тогда:x=F11121111212F2 F1 (x2 ) = x2 .

Следовательно, F1 — обратимая функция.Пусть x ∈ D(F1 ). Тогда: F1 (x) ∈ D(F2 ), x = F2 F1 (x) . Следовательно, x ∈ R(F2 ). ТогдаD(F1 ) ⊆ R(F2 ).Утверждение. Пусть: F1 , F2 — функции, R(F1 ) ⊆ D(F2 ), F2 F1 (x) = x при x ∈ D(F1 );R(F2 ) ⊆ D(F1 ). Тогда: F1 — обратимая функция, D(F1 ) = R(F2 ).Доказательство. Так как: R(F1 ) ⊆ D(F2 ), F2 F1 (x) = x при x ∈ D(F1 ), то: F1 — обратимая функция, D(F1 ) ⊆ R(F2 ). Так как: D(F1 ) ⊆ R(F2 ), R(F2 ) ⊆ D(F1 ), то D(F1 ) = R(F2 ).Итак: F1 — обратимая функция, D(F1 ) = R(F2 ).Утверждение.

Пусть: F1 , F2 — функции, R(F1 ) ⊆ D(F2 ), F2 F1 (x) при x ∈ D(F1 );R(F2 ) ⊆ D(F1 ), F1 F2 (y) = y при y ∈ D(F2 ). Тогда: F1 , F2 — обратимые функции, F1−1 =F2 , F2−1 = F1 .1.4. Теория функций9Доказательство. Так как: R(F1 ) ⊆ D(F2 ), F2 F1 (x) при x ∈ D(F1 ), то F1 — обратимаяфункция.Так как: R(F2 ) ⊆ D(F1 ), F1 F2 (y) = y при y ∈ D(F2 ); R(F1 ) ⊆ D(F2), то D(F2 ) = R(F1 ).Так как: F1 — обратимая функция, F2 : R(F1 ) =⇒ D(F1 ), F1 F2 (y) = y при y ∈ R(F1 ),то F2 — обратная функция к функции F1 .Аналогично доказываем, что: F2 — обратимая функция, F2−1 = F1 .Утверждение. Пусть: F1 , F2 — обратимые функции.

Тогда: F2 ◦ F1 — обратимая функция, (F2 ◦ F1 )−1 = F1−1 ◦ F2−1 .Доказательство. Пусть x ∈ D(F2 ◦ F1 ). Обозначим, z = (F2 ◦ F1 )(x). Тогда: x ∈ D(F1 ),F1 (x) ∈ D(F2 ), z = F2 F1 (x) . Следовательно: x ∈ D(F1 ), z ∈ D(F2−1 ), F2−1 (z) = F1 (x).−1−1Тогда: z ∈ D(F2−1 ), F2−1 (z) ∈ D(F1−1 ), F1−1 F2−1 (z) = x. Следовательно: z ∈ D(F1 ◦ F2 ),(F1−1 ◦ F2−1 )(z) = x. Итак: (F2 ◦ F1 )(x) ∈ D(F1−1 ◦ F2−1 ), (F1−1 ◦ F2−1 ) (F2 ◦ F1 )(x) = x.Пусть z ∈ D(F1−1 ◦ F2−1).

Обозначим, x = (F1−1 ◦ F2−1 )(z). Тогда: z ∈ D(F2−1 ), F2−1 (z) ∈z ∈ D(F2−1 ), x ∈ D(F1 ), F1 (x) = F2−1 (z). Тогда:D(F1−1 ), x = F1−1 F2−1 (z) . Следовательно:x ∈ D(F1 ), F1 (x) ∈ D(F2 ), F2 F1 (x) = z. Следовательно: x ∈ D(F2 ◦ F1 ), (F2 ◦ F1 )(x) = z.Итак: (F1−1 ◦ F2−1 )(z) ∈ D(F2 ◦ F1 ), (F2 ◦ F1 ) (F1−1 ◦ F2−1 )(z) = z.Окончательно получаем, что: F2 ◦F1 — обратимая функция, (F2 ◦F1 )−1 = F1−1 ◦F2−1 .Утверждение. Пусть F — обратимая функция.

Тогда: F −1 F (x) = x при x ∈ D(F );R(F −1 ) = D(F ).−1F(x)∈ D(F ),Доказательство.Пустьx∈D(F).ТогдаF(x)∈R(F).Следовательно:FF F −1 F (x) = F (x). Так как F — обратимая функция, то F −1 F (x) = x.Так как: R(F ) ⊆ D(F −1 ), F −1 F (x) = x при x ∈ D(F ); R(F −1 ) ⊆ D(F ), то D(F ) =R(F −1 ).Утверждение. Пусть: F1 , F2 — функции, R(F1 ) = D(F2 ), F2 F1 (x) = x при x ∈ D(F1 ).Тогда: F1 — обратимая функция, F1−1 = F2Доказательство. Так как: R(F1 ) ⊆ D(F2 ), F2 F1 (x) = x при x ∈ D(F1 ), то F1 — обратимая функция.Очевидно, D(F1−1 ), D(F2 ) = R(F1 ). Пусть y ∈ R(F1 ). Тогда существует объект x, удо−1−1F(x)=влетворяющийусловиям:x∈D(F),y=F(x).Следовательно:F(y)=F11111x = F2 F1 (x) = F2 (y).

Тогда F1−1 = F2 .Утверждение. Пусть F — обратимая функция. Тогда: F −1 — обратимая функция,(F −1 )−1 = F .Доказательство. Так как: R(F −1 ) = D(F ), F F −1 (y) = y при y ∈ D(F −1 ), то: F −1 —обратимая функция, (F −1 )−1 = F .Пусть A — множество. Будем говорить, что I — единичная функция на множестве A,если: I — функция, D(I) = A, I(x) = x при x ∈ A.Пусть: A1 , A2 — множества, F : A1 → A2 . Очевидно: F ◦ I1 = F , I2 ◦ F = F .Пусть: A1 , A2 — множества, F : A1 → A2 , F — обратимая функция.

Очевидно: F ◦F −1 =I2 |R(F ) , F −1 ◦ F = I1 |D(F ) .101. Логико-математическая символика1.5. Числовые системыОбозначим через Z множество всех целых чисел. Обозначим: Z+ = {k : k ∈ Z ∧ k > 0},N = {k : k ∈ Z∧k > 1}, Z = Z∪{−∞, +∞}, Z+ = {k : k ∈ Z∧k > 0}, N = {k : k ∈ Z∧k > 1}.Пусть N1 , N2 ∈ Z. Будем писать k = N1 , N2 , если: k ∈ Z, N1 6 k 6 N2 .Пусть A — конечное множество.

Характеристики

Список файлов книги