LinAl5 (1113081)
Текст из файла
3. Спектр оператора
Опр. Спектром оператора A называется множество всех его собственных значений.
Опр. A – оператор с простым спектром, если , где
различны и принадлежат основному полю.
Пример: операция поворота плоскости .
Корни
A – оператор с простым спектром над
, но не над
.
4. Диагонализируемые операторы
Опр. A – диагонализируемый оператор, если существует базис пространства V, состоящий из собственных векторов оператора A, т.е. A имеет в некотором базисе матрицу диагонального вида
Лемма. Если - собственные векторы оператора A с различными собственными значениями, то они линейно независимы.
Индукция по k.
k=1 – очевидно. Пусть k>1.
- собственные значения
и
. Тогда
, т.е.
. Одно из чисел
отлично от 0. Пусть
. Тогда
и
(по индукции) все коэффициенты
Теорема. Линейный оператор с простым спектром диагонализируем.
Каждому соответствует
по лемме векторы
линейно независимы, т.е.
- базис V (а это и есть определение диагонализируемого оператора)
Обратное не верно(например, тождественный оператор).
Пусть A диагонализируема, ,
его собственные значения, dim V = n,
- матрица A в некотором базисе из собственных векторов.
Перенумеруем(если необходимо) базис V:
Все его корни лежат в F (т.к.
разложим на линейные множители)
Значит, алгебраическая кратность равна геометрической.
Пусть разлагается над F на линейные множители и алгебраическая кратность любого корня равна его геометрической кратности.
Рассмотрим сумму подпространств . Если
,
, то по предыдущей лемме
, т.е.
- прямая сумма. Кроме того,
5. Минимальный многочлен оператора
Пусть ,
, где
- единичный оператор.
Опр. - аннулирующий многочлен для оператора А, если
Опр. называется минимальным многочленом А, если
Лемма. существует и определен однозначно(с точностью до скалярного множителя)
(а) Существование аннулирующих многочленов.
Пусть А – матрица А. Тогда матрицы линейно зависимы если N > n2, где
, т.е.
, где
- аннулирующий многочлен.
(б) Существование минимального аннулирующего многочлена.
Пусть и
- два аннулирующих многочлена для А и
- НОД.
Тогда
тоже аннулирующий многочлен
аннулирующий многочлен степени k
(в) Единственность минимального аннулирующего многочлена.
Пусть - аннулирующий многочлен степени k,
- аннулирующий многочлен.
Тогда их НОД тоже аннулирующий многочлен степени k, делит , но это значит, что
= НОД(f,g), а значит
делится на
минимальный аннулирующий многочлен, кроме того, мы так же доказали и его единственность
6. Теорема Гамильтона-Кэли
Теорема. (оператор А аннулируется своим характеристическим многочленом)
Тогда и существует собственный вектор
Построим базис , где
. Тогда матрица А в этом базисе имеет вид:
Положим и обозначим через B линейный оператор с матрицей B в базисе
. Так как
то можем применить индукцию по
(с очевидной базой n=1). И так, пусть
. Тогда так как
, то
. Вычислим
. Ясно, что
, а следовательно
,
. С другой стороны,
. Очевидно, что
Следствие 1. Пусть - пространство над
,
. Тогда
.
Пусть А- матрица в А в некотором базисе
.Рассмотрим n-мерное пространство над
и оператор B на этом пространстве с той же матрицей А. Тогда
. По теореме Гамильтона-Кэли:
, т.е.
, что и требовалось доказать.
(1) следует из теоремы Гамильтона-Кэли и определения
(2) Пусть - все комплексные корни
. Пусть
- корень
. Тогда
. Так как
, то
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.