LinAl20 (1113095)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ТЕНЗОРЫ

1. Основные понятия.

Пусть - произвольное поле, - векторное пространство над , . Обозначим через дуальное пространство, т.е. пространство линейных функций . - неотрицательные целые числа. Для каждой такой пары определим следующее понятие:

Определение: Тензором на типа называют любое полилинейное отображение

.

Т.е. - функция от аргументов, первые из которых из пространства , следующие - из пространства , линейная по каждому из аргументов со значениями в поле .

Определение: Число называют валентностью (реже рангом) . Сам называют смешанным тензором раз ковариантным, раз контрвариантным.

2. Интерпретация тензоров малых рангов.

Тензор типа - это любой скаляр из поля .

Тензор типа - это линейная форма, т.е. любой элемент из .

Тензор типа - это линейный функционал . Т.е. любой элемент из . Отождествляя канонически и , мы говорим, что контрвариантный тензор типа есть вектор из . Если , то . Мы будем использовать запись и для значения на , и для значения на .

Смешанный тензор типа .

Пусть - фиксированный вектор из пространства . Тогда - линейный функционал на , т.е. элемент . Т.е. - вектор из . Обозначим этот вектор . Тогда выполняется соотношение (1) где - некоторое отображение.

Т.к. , то .

Поскольку - любой элемент , то это равенство влечёт:

. Т.е. .

Обратно: если - произвольный оператор, формула (1) сопоставляет ему тензор типа .

Таким образом, мы построили биекцию между тензорами типа и линейными операторами из .

3. Произведение тензоров.

Пусть сначала , - два произвольных полилинейных отображения, где - различные векторные пространства (не обязательно совпадают) над .

Определение: Тензорное произведение и , где .

Ясно, что - полилинейная функция по каждому аргументу. Если - три полилинейных функции, то , т.е. тензорное произведение ассоциативно. Но, вообще говоря, оно не является коммутативным, т.е. для произвольных функций (об этом даже не всегда корректно говорить).

Пусть теперь - тензор типа , - тензор типа . Тогда - тензор типа , определённый формулой: (2)

Определение: Тензор, заданный формулой (2) называется тензорным произведением тензоров , .

4. Координаты тензоров.

Пусть - базис . Рассмотрим в сопряжённом пространстве дуальный базис . Т.е. .

Обозначим через пространство тензоров типа на . Тогда любое произведение

(3) является тензором типа , т.е. полилинейной функцией: . Эти тензоры линейно независимы по следующей причине: (4)

Теорема. Тензоры вида (3) образуют базис векторного пространства .

То, что - пространство – очевидно, если определить сложение обычным образом:

. Умножение на скаляр – тоже обычное. Линейная независимость (3) уже показана. Осталось проверить, что любой тензор линейно выражается через систему (3). Пусть . Обозначим (5). Тогда из формулы (4) следует, что если взять тензор , то , т.е. значения и на всех возможных наборах базисных векторов совпадают. Т.к. и - полилинейные функции, то , и (3) – базис пространства .

Определение: Принято говорить, что из формулы (5) – координаты тензора в базисе .

Следствие: .

18 апреля 2005

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций