Linal10 (1113100)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Теорема. Пусть – векторное пространство с невырожденной кососимметричной формой (билинейной). Тогда и существует разложение где , при . Кроме того, ограничение на имеет в некотором базисе матрицу .

Проведем индукцию по . - противоречит невырожденности. Пусть .

Берем произвольный из . Тогда и т.к. то такой что . При этом и линейно независимы. Можно выбрать так, что и для все доказано.

Пусть теперь . Выберем любой из . Т.к. то такой что и , линейно независимы.

Обозначим . Дополним до базиса : . Рассмотрим . Тогда – подпространство, более того – пространство решений однородной системы линейных уравнений:

Где – матрица в базисе

Т.к. невырождена, то строки линейно независимы ранг системы равен 2. Поэтому и . Если ограничение на пространство имеет ненулевое ядро , то , что противоречит невырожденности, а это значит, что ограничение на – невырожденная кососимметричная билинейная функция

По индукции и все имеют требуемые базисы

Следствие. Для любой кососимметрической билинейной формы на пространстве существует базис, в котором она имеет матрицу

Где количество блоков равно половине ранга .

ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

1. Пусть - векторное пространство над

Опр. Симметрическая билинейная функция - скалярное произведение, если она положительно определенна. Т.е. если вести обозначение :

2. Опр. Евклидово пространство - векторное пространство над с заданным на нем скалярным произведением

Опр. Матрица Грамма – на ij-том месте стоит , где - вектора базиса Евклидова пространства.

Опр. Длина (норма) вектора:

Свойства:

Теорема. (неравенство Коши - Буняковского)

при всех дискриминант уравнения отрицателен или равен нулю, где . Но

Следствие 1. (неравенство треугольника)

Следствие 2.

3. Угол между векторами

Существует единственный угол такой, что

Это угол между и .

4. Ортогональные векторы

Опр. и ортогональны, , если

Следствие 1. (теорема Пифагора)

Следствие 2. Диагонали ромба перпендикулярны

Опр. - ортогональный базис , если . - ортонормированный, если он ортогональный и

Теорема. В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Пусть - квадратичная форма на . Она невырождена и положительно определенна, следовательно существует базис , в котором , т.е. матрица (и соответствующая ей матрица скалярного произведения) равна

5. Изоморфизм евклидовых пространств

Пусть и - два евклидовых пространства

Опр. - изоморфизм евклидовых пространств, если:

1. - изоморфизм векторных пространств

Теорема. Конечномерные евклидовы пространства и изоморфны тогда и только тогда, когда

Пусть . Рассмотрим ортонормированные базисы . Если , то . Задаем отображение : . Тогда - изоморфизм векторных пространств, и

Обозначение. - n-мерное евклидово пространство.

6. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта

Теорема. Пусть - линейно независимые вектора . Тогда существует ортонормированная система , такая что для любого

Будем действовать пошагово. : .

Пусть уже построен. Тогда для любого i. Положим , где . Тогда , . Если , то нормируем его.

Следствие. Любую ортонормированную систему векторов в можно дополнить до ортонормированного базиса.

6. Ортогональные дополнения

Опр.

Свойство 1: - подпространство

Свойство 2:

Теорема. Пусть - конечномерное евклидово пространство. Тогда для любого подпространства выполнено равенство:

Если , то и не пересекаются . Пусть - ортонормированный базис и . Положим , и . Тогда , т.е. и

Следствие. . Если , то

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций