LinAl18 (1113093)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

n=3 Примеры движений

Собственное

В екторное движение – поворот вокруг некоторой прямой и сдвиг на вектор, параллельный оси вращения, т.е.

Частные случаи – сдвиг или вращение

Н есобственное

1 ) вращение с отражением

2 ) скользящая симметрия (отражение относительно некоторой плоскости и сдвиг на вектор, параллельный )

Теорема. Любое собственное движение трёхмерного евклидового пространства является винтовым движением. Любое несобственное движение является либо вращением с отражением, либо скользящей симметрией.

Пусть - евклидово пространство, , - движение. В существует ортонормированный базис , , , канонический для . Зафиксируем начало координат – точку . Тогда

1) или 2) или 3) или 4)

Случай 1

,

Случай 2

Как и при n=2 находим такие, что

Тогда после переноса начала координат в точку имеем

в новых координатах. Т.е. - винтовое движение.

Случай 3

Вводим новые координаты: , , . Тогда

т.е. это сдвиг на вектор и отражение относительно плоскости .

Случай 4

Ищем точку , , как решение системы

Это возможно, т.к. матрица невырождена .

Переносим начало координат в точку , получаем

В новых координатах это поворот в плоскости с отражением относительно этой плоскости.

КВАДРИКИ В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

1. Квадратичные функции в аффинном пространстве

Пусть - аффинное пространство.

Опр. Отображение называют квадратичной функцией, если , (1)

где - квадратичная форма на , a .

Задача Показать, что если задана формулой (1) с фиксированной точкой , то для любой другой точки выполняется соотношение .

Опр. Ранг квадратичной функции : .

2. Координатная запись

Пусть - система координат в и , .

Тогда (2)

3. Центральная точка

Пусть , , . Пусть также - полярная к биллинейная симметрическая форма на . Тогда

,

т.е. .

Опр. Точку называют центром (или центральной точкой) , если

Другими словами (3), где (т.е. ).

В координатной записи центральной точки это означает, что если начало координат является центральной точкой квадрики, то линейная часть в формуле (2) отсутствует.

Опр. - множество всех центральных точек .

4. Нахождение центра

Пусть , . Тогда , (4)

Т.е. (4) – критерий центральной точки .

Теорема. Множество центральных точек квадратичной функции , заданной формулой (2) в системе координат , состоит из точек , где - решение системы

уравнений (4). Если - одна из центральных точек , то , где - гиперплоскость в . В частности - аффинное подпространство в .

Уже, показано, что задаётся С.Л.У.(4). Если она совместна, то множество её решений – аффинная плоскость в с направляющим пространством , заданным системой , . Но это система уравнений , т.е. .

5. Приведение квадратичной функции к каноническому виду.

Теорема. Пусть - квадратичная функция ранга на -мерном аффинном пространстве над .

Если , то и в некоторой системе координат приводится к виду

, (5) где .

Если имеет непустой , то существует система координат с началом в центральной точке , в которой приводится к виду:

(6)

При этом и значение в любой центральной точке равно .

Выберем в канонический базис для . Для произвольной точки в системе координат функция имеет вид (для ): , причём , т.к. .

Замена координат вида , ; , т.е. перенос начала координат в соответствующую точку к виду

.

Если все , то имеет вид (6)

Пусть . Возьмём и положим

, , ,..., , ,…, .

Тогда в новых координатах будет иметь вид (5).

11.04.05

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций