LinAl4 (1113080)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

3. Линейные операторы.

Пусть V=W. Тогда – множество линейных операторов на V (т.е. линейных отображений )

Если и линейные операторы на V, – скаляр, то

То есть – алгебра линейных операторов.

Линейная алгебра

(а) - векторное пространство над

(б) - векторное кольцо (относительно сложения и умножения)

(в)

Другое обозначение: =

Алгебра изоморфна алгебре матриц , где .

4. Матрица линейного оператора.

Пусть – базис пространства V, и .

Опр. Если , то матрица в базисе

(j-й столбец А – координаты вектора в базисе )

Тогда, если , то Y=AX

5. Переход к другому базису.

Пусть и два базиса V. Пусть , А – матрица в , B – матрица в , Пусть С – матрица перехода от к , т.е.

Теорема.

Посчитаем двумя способами:

1)

2)

Отсюда , т.е. , значит СВ=АС, т.к. С – невырождена, то

6. Определитель и след линейного оператора.

Предложение. det и tr не зависят от выбора базиса.

и

7. Определение.

Оператор – невырожденный, если det A 0. Критерий невырожденности

– невырожденный Ker =0 Im = V rank A = dim V

8. Инвариантные подпространства.

Пусть – линейный оператор на V и .

Опр. U называется инвариантным подпространством для , если (т.е. )

Пусть – базис U. Дополним его до базиса V . Тогда , причем , т.е. матрица А имеет в базисе угол нулей , В - , D - .

Если и , , то существует базис V, в котором .

9. Собственные векторы, собственные значения.

Опр. – собственный вектор оператора , если существует скаляр такой, что ; – собственное значение.

Свойство. V – собственный вектор – инвариантное подпространство.

Теорема. Число является собственным значением оператора т. и т.т., когда , где Е – тождественный оператор на V (E(х)=х)

1) Пусть v – собственный вектор, . Зафиксируем базис в V. Если Х – столбец координат v в этом базисе, то (где А – матрица в ) , где Е – единичная матрица. Следовательно, если собственное значение равно , то

2) Пусть , тогда (А, Е – матрицы , Е в базисе ) система имеет ненулевое решение вектор – собственный,

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН ОПЕРАТОРА

1.

А – матрица оператора в некотором базисе пр-ва V.

Опр. Многочлен от переменной t называют многочленом оператора А.

не зависит от выбора базиса: если В – матрица А в другом базисе, то и .

Опр. Характеристический корень оператора: – характеристический корень, если .

Замечание. – характеристический корень – собственное значение оператора.

2. Геометрическая и алгебраическая кратность.

Пусть А – линейный оператор на V.

Обозначим: – множество всех векторов из V с собственным значением (+ нулевой вектор)

Тогда – подпространство V.

Опр. – геометрическая кратность .

Опр. Алгебраическая кратность - кратность в многочлене .

Лемма. , где , .

Пусть А – матрица , а Х – столбец координат вектора v. Тогда , т.е. – подпространство решений системы

Теорема. Геометрическая кратность не превосходит алгебраической.

Выберем базис в и дополним его до базиса всего V. Пусть А – матрица А в , тогда

, где имеет размер , а - и

19.02.05

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций