LinAl14 (1113089)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Теорема. Пусть – система координат в и . Если имеют координаты , соответственно в , то . Если и , где , то r имеет координаты .

(1) Пусть , . Тогда , но

.

(2)

Переход к новой системе координат.

Пусть и – две системы координат в . Обозначим через координаты точки в , а через матрицу перехода от к в V. Пусть и - координаты одной и той же точки p в разных системах координат. Тогда или , где , , или , где .

4. Подпространства.

Пусть , U – подпространство в V.

Опр. Множество точек называют аффинным подпространством (или плоскостью в A) размерностью . Говорят, что U – направляющее подпространство для P.

Предложение. Подпространство P является аффинным подпространством, ассоциированным с U.

Пусть , . Тогда и . Далее, пусть . Тогда . Пусть также , , . Тогда и , т.е. : . Единственность очевидна.

Направляющее пространство U однозначно определяется по P.

Опр. Прямая – подпространство размерности 1.

Прямая, проходящая через :

Теорема. Подмножество является подпространством P содержит прямую, проходящую через любые 2 точки .

(1) Пусть сначала P – плоскость, .

Пусть , , . Тогда и , .

(2) Обратно, пусть P содержит все прямые.

Возьмем любую точку . Обозначим . Докажем, что U – подпространство в V.

Пусть . Тогда . Но , поэтому , т.е. для . Достаточно теперь доказать, что для любых . Но это следует из того, что P содержит прямую pq для любой точки p: если , то , т.е. и

Следствие. Если и - плоскости в A, то их пересечение либо пусто, либо является плоскостью с направляющим подпространством , где – направляющие подпространства для и .

Если P содержит ровно одну точку, то это 0-мерное подпространство с . Если , то, по теореме, P содержит прямую ab P – подпространство.

Зафиксируем точку . Тогда, если , то , т.е. . Поэтому . Обратное включение очевидно.

Опр. Плоскости и называются параллельными, если они имеют одно и тоже направляющее подпространство U, т.е. .

Обобщение. , P параллельно Q, если или .

Опр. Плоскости P и Q называются скрещивающимися, если они не параллельны, но .

Опр. Точки называются точками общего положения, если они не лежат ни в одной плоскости размерности r-2.

Само можно рассматривать как 1-мерное аффинное пространство. Поэтому можно рассматривать аффинно-линейное отображение , т.е. , где , т.е. .

Если – система координат в и – координаты точки P, то обозначив , ( ), получим:

, т.е. любое линейное уравнение можно рассматривать как уравнение в аффинном пространстве А размерности n, где – аффинно-линейная функция.

Теорема. Множество точек аффинного пространства, удовлетворяющих совместной системе линейных уравнений ранга r, образуют (n-r)-мерную плоскость . Любая плоскость может быть получена.

(1) Сопоставим системе m аффинно-линейных функций.

Зафиксируем систему координат в и положим , где , тогда и . Пусть совместна и – ее решение. Возьмем точку с координатами . Будем говорить, что точка p с координатами решение нашей системы, если . Тогда – решение, а вектор – решение однородной системы (*).

Т.к. совокупность решений (*) – подпространство , а любое решение неоднородной системы получается из прибавлением решений однородной системы, то множество точек p, для которых равно , т.е. это плоскость и .

(2) Пусть теперь P – плоскость в А, . система уравнений , , задающая U, где – координаты вектора в некотором базисе пространства .

Рассмотрим систему координат в . Тогда , , где – координаты p в выбранной системе координат. Обозначим получим необходимую совместную систему линейных уравнений.

28.03.05

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций