LinAl2 (1113078)
Текст из файла
5. Координаты в различных базисах.
Теорема.
, где
- матрица перехода от нештрихованной системы к штрихованной.
6. Изоморфизм векторных пространств.
Отображение , где
и
- векторные пространства над одним и тем же полем
называется изоморфизмом, если
Замечание. 0 переходит в 0 (т.к. ), и только он так как преобразование биективно.
Теорема. Конечномерные векторные пространства и
изоморфны
.
Пусть
,
- базис в
, тогда
- базис в
. Действительно, пусть эти вектора линейно-зависимы, т.е.
ПОДПРОСТРАНСТВО
1. Определение.
- векторное простанство над
,
.
- подпространство, если
выполнено
.
Замечание. - подпространство относительно тех же операций, что и
.
2. Линейная оболочка.
Пусть , тогда линейной оболочкой этих векторов называется множество всех их линейных комбинаций.
.
Теорема. Линейная оболочка совпадает с наименьшим подпространством в
, содержащим эти вектора.
Действительно, из определения прямо следует, что - подпространство в
. С другой стороны, любое подпространство, которого содержит вектора
будет содержать и всевозможные их комбинации, т.е.
. Значит
- наименьшее подпространство, содержащее
.
3. Сумма и прересечение двух подпространств.
Пусть и
- подпространства в
. Суммой
этих подпространств будем называть множество
.
Проверить по определению все свойства.
Теорема. Пусть - подпространства в
, тогда 1)
- подпространство
или
.
1) Пусть и
, т.е.
Но тогда
не принадлежит ни
(иначе
), ни
(иначе
). Значит
- не подпространство. Противоречие.
2) Итак дано, что . Пусть
. Тогда
Но тогда и
так как
. Обратное включение
выполняется вообще
Действительно, пусть
. Тогда
. С другой стороны,
Размерность суммы и пересечения.
Пусть - базис
Тогда существуют дополнения его до базисов
и
, т.е.
- базис
и
- базис
. Докажем, что набор
- базис суммы
. Пусть
. Тогда u – линейная комбинация векторов из
, и в то же время лежит в
(так как выражается через базис
подпространства
). То есть
, но ведь
- линейно-независимая система! Значит
. Линейная независимость доказана. Разложимость любого вектора
по этому базису очевидна.
= число векторов в этом базисе =
.
4. Прямая сумма подпространств.
Пусть даны подпространства и
.
называется прямой суммой этих подпространств (обозначается
), если если
.
Пусть
Тогда
Но получается
- два разложения нуля! Значит
.
Пусть все пересечения тривиальны (т.е. это лишь 0). Пусть
и, например,
. Тогда
. Противоречие (пересечение содержит ненулевой элемент).
ЛИНЕЙНЫЕ И СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Пусть - векторное пространство над
и
- линейная функция, если
. Ядром функции
назывется подмножество
, на каждом элементе которого функция равна 0:
. Ядро – подпространство в
. Также если
- линейные функции, то и их линейные комбинации
с коэффициентами из
также линейны.
Сопряженное (дуальное) пространство - множество всех линейных форм (функций).
Теорема. Пусть - конечномерное векторное пространство. Тогда
.
Выделим базис в
и рассмотрим
. Т.е. значение
равно символу Кронекера
.
2) - линейно-независимы. Пусть
и
. Но
! Противоречие.
3) - базис. Действительно, рассмотрим произвольную функцию
и обозначим
. Тогда
, т.е.
.
12.02.05
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.