LinAl2 (1113078)

Файл №1113078 LinAl2 (Электронные лекции)LinAl2 (1113078)2019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

5. Координаты в различных базисах.

Пусть и - два базиса , .

Теорема.

, где - матрица перехода от нештрихованной системы к штрихованной.

.

6. Изоморфизм векторных пространств.

Отображение , где и - векторные пространства над одним и тем же полем называется изоморфизмом, если

1) .

2) - биекция.

Замечание. 0 переходит в 0 (т.к. ), и только он так как преобразование биективно.

Теорема. Конечномерные векторные пространства и изоморфны .

Пусть , - базис в , тогда - базис в . Действительно, пусть эти вектора линейно-зависимы, т.е.

Пусть .

ПОДПРОСТРАНСТВО

1. Определение.

- векторное простанство над , . - подпространство, если выполнено .

Замечание. - подпространство относительно тех же операций, что и .

2. Линейная оболочка.

Пусть , тогда линейной оболочкой этих векторов называется множество всех их линейных комбинаций. .

Теорема. Линейная оболочка совпадает с наименьшим подпространством в , содержащим эти вектора.

Действительно, из определения прямо следует, что - подпространство в . С другой стороны, любое подпространство, которого содержит вектора будет содержать и всевозможные их комбинации, т.е. . Значит - наименьшее подпространство, содержащее .

3. Сумма и прересечение двух подпространств.

Пусть и - подпространства в . Суммой этих подпространств будем называть множество .

Лемма. и - подпространства.

Проверить по определению все свойства.

Теорема. Пусть - подпространства в , тогда 1) - подпространство или .

и 2) если , то .

1) Пусть и , т.е. Но тогда не принадлежит ни (иначе ), ни (иначе ). Значит - не подпространство. Противоречие.

2) Итак дано, что . Пусть . Тогда

Но тогда и так как . Обратное включение выполняется вообще Действительно, пусть . Тогда . С другой стороны,

Размерность суммы и пересечения.

Пусть .

Теорема.

Пусть - базис Тогда существуют дополнения его до базисов и , т.е. - базис и - базис . Докажем, что набор - базис суммы . Пусть . Тогда u – линейная комбинация векторов из , и в то же время лежит в (так как выражается через базис подпространства ). То есть , но ведь - линейно-независимая система! Значит . Линейная независимость доказана. Разложимость любого вектора по этому базису очевидна. = число векторов в этом базисе = .

4. Прямая сумма подпространств.

Пусть даны подпространства и . называется прямой суммой этих подпространств (обозначается ), если если .

Теорема. Сумма - прямая .

Пусть Тогда Но получается - два разложения нуля! Значит .

Пусть все пересечения тривиальны (т.е. это лишь 0). Пусть и, например, . Тогда . Противоречие (пересечение содержит ненулевой элемент).

ЛИНЕЙНЫЕ И СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Пусть - векторное пространство над и - линейная функция, если . Ядром функции назывется подмножество , на каждом элементе которого функция равна 0: . Ядро – подпространство в . Также если - линейные функции, то и их линейные комбинации с коэффициентами из также линейны.

Сопряженное (дуальное) пространство - множество всех линейных форм (функций).

Теорема. Пусть - конечномерное векторное пространство. Тогда .

Выделим базис в и рассмотрим . Т.е. значение равно символу Кронекера .

1) - линейная функция.

2) - линейно-независимы. Пусть и . Но ! Противоречие.

3) - базис. Действительно, рассмотрим произвольную функцию и обозначим . Тогда , т.е. .

12.02.05

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
354 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6358
Авторов
на СтудИзбе
311
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее