LinAl21 (1113096)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

5. Изменение координат тензора при замене базиса

Пусть и - два базиса в пространстве . Обозначим через матрицу перехода от базиса к базису . Элементы матрицы индексируем так: , где - элемент i-ой строки и j-ого столбца. Тогда имеем:

и .

Это стандартное обозначение: чтобы суммирование велось по индексу, встречающемуся сверху и снизу. В некоторых книгах знак суммы опускают и пишут: . Но мы так делать не будем: все суммы будем прописывать полностью.

Пусть теперь - дуальный базис к базису , а - дуальный к базису в пространстве . Обозначим через матрицу перехода от базиса к базису в пространстве . Тогда . Чтобы следовать правилу “разных уровней” ( т.е. чтобы индекс суммирования появился сверху и снизу), обозначим через - транспонированная матрица . Тогда . Эту формулу мы запишем следующим образом. Поскольку , то , т.е. . Введём вспомогательную матрицу . Тогда , т.е. . Т .к. базисы дуальны . Т.е. и . Отсюда .

Пусть теперь и - его координаты в , а - координаты в базисе . Тогда

.

(6)

Выразим (аналогично выражаем ) и подставим в формулу (6). Получим

. Здесь мы использовали, что и аналогичные выражения для . Т.к. элементы образуют базис пространства , то нами доказана следующая

Теорема. При переходе от базиса к базису в координаты тензора типа изменяются по правилу: , где - матрица перехода от базиса к базису пространства , а .

6. Свёртки тензоров.

Пусть - тензор типа . Зафиксируем числа и , и определим свёртку по r-ому ковариантному индексу и s-ому контрвариантному индексу следующим образом. Т.к. , где , а , то можно определить сумму , где - базис , а - дуальный базис .

Определение. называется свёрткой тензора по r-ому ковариантному индексу и s-ому контрвариантному индексу.

Ясно, что - полилинейная функция от оставшихся аргументов, т.е. . Докажем, что не зависит от выбора базиса пространства .

Доказательство: пусть - другой базис пространства , а - матрица перехода от базиса к базису . Тогда . Напомним, что для дуальных базисов имеем: , где (смотри доказательство предыдущей теоремы). Зафиксируем для удобства все остальные переменные у кроме и , обозначим . Тогда . Получаем: .

Заметим, что - произведение i-ой строки матрицы на j-ый столбей матрицы . Т.к. эта сумма равна , .

23.04.2005

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций