LinAl11 (1113086)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

8. Сопряжённые операторы

Пусть — евклидово пространство, .

Опр. сопряжён к (обозначается ), если .

Таким образом, по определению . Существование для любого оператора сопряжённого, докажем чуть позже.

Предложение. и

(1).

а значит, по предыдущей теореме .

(2). .

Теорема. Пусть — матрица оператора в ортонормированном базисе . Тогда имеет в этом базисе матрицу .

Обозначим . Пусть — матрица в базисе . Тогда:

, . Непосредственно из определения и ортонормированности базиса следует, что .Итак, доказано, что . Замечание. Мы ещё не доказали существование сопряжённого оператора для любого, но это очевидно (достаточно положить = и провести аналогичное доказательство).

9. Самосопряжённые операторы

Опр. Оператор самосопряжён в евклидовом пространстве , если .

Лемма 1. Пусть — линейный оператор на над и . Тогда существует ненулевое инвариантное подпространство размерности меньше 2 (т.е. и ).

Если имеет собственный вектор , то — это инвариантное подпространство размерности 1, и всё доказано. Так что будем считать, что собственных векторов у нет. Рассмотрим минимальный многочлен : . В его разложении на множители над будут множители степени 2 и только они (если есть множитель степени 1, то есть и собственный вектор, противоречие). Выделим один из них. Таким образом и . Рассмотрим оператор . Так как , то многочлен не минимальный и, значит, . Пусть , а и . Пусть . Тогда . Осталось доказать лишь, что , то есть, что . Пусть . Тогда . Однако, из определения , . Отсюда .

Лемма 2. Пусть — самосопряжённый оператор на евклидовом пространстве , — инвариантное подпространство для . Тогда и также инвариантно для .

. . Итак

Теорема. Пусть — самосопряжённый оператор на евклидовом пространстве . Тогда в существует ортонормированный базис из собственных векторов .

Индукция по . — очевидно.

Пусть (именно этот случай мы будем использовать в шаге), — ортонормированный базис V, — матрица оператора в этом базисе. Из самосопряжённости , следует, что:

.

у есть хоть один действительный корень у есть собственный вектор . Но , а также инвариантно по лемме 2. Отсюда базис — искомый базис.

Пусть . По лемме 1 существует , . Тогда , а значит , где .

Опр. Матрица называется ортогональной, если , то есть .

Лемма 3. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса в к другому ортогональна.

Пусть и — два ортонормированных базиса. Пусть — матрица перехода от первого ко второму базису. Тогда . Из ортонормированности следует, что . С другой стороны, , что и означает, что .

10. Приведение квадратичной формы к главным осям.

Пусть — квадратичная форма в .

Теорема. В найдётся ортонормированный базис , в котором имеет вид .

Пусть — произвольный ортонормированный базис в пространстве , и — матрица в этом базисе. Тогда , и значит существует линейный самосопряжённый оператор с матрицей . По предыдущей теореме существует ортонормированный базис из собственных векторов , в котором имеет диагональную матрицу . Значит . По лемме 3 , поэтому — диагональна. Но — матрица в .

Опр. Приведением квадратичной формы к главным осям называют переход к ортогональному базису в , где она имеет нормальный вид.

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

1. Основные понятия

Пусть — линейный оператор в евклидовом пространстве .

Опр. Оператор ортогонален, если он сохраняет скалярное произведение, то есть .

Лемма 4. ортогонален имеет ортогональную матрицу в ортонормированном базисе.

Пусть — ортонормированный базис , — матрица в этом базисе, , . Тогда . Поэтому ортогонален .

Лемма 5. Пусть — ортогогональный оператор на евклидовом пространстве , — инвариантное подпространство для . Тогда и также инвариантно для .

По лемме 4 оператор — не вырожден. Тогда , и значит . Поэтому . Пусть — любой вектор, . Тогда и

, то есть .

12 марта 2005

—2—

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций