В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1113055), страница 8
Текст из файла (страница 8)
— все это примеры бинарных отношений. В самом деле, рассмотрим один из е э них — отношение <' на множестве !и всех действительных чисел. Пара чисел х, у б Й, для которой х < у, является элементом Из. Множество всех таких пар образует подмножество 7с декартова квадрата Й вЂ” на рис. 1 они 3 изображаются точками плоско- 2 сти й, которые лежат выше прямой у = х. Задание этого множества К определяет бинарное отношение на множестве действительных чисел, а отноРис.
1 шение хйу (т.е. (х, у) б 'Н.) есть не что иное, как х < у. Заметим, что бинарное отношение равенства вешественных чисел задается прямой у = х, т.е. диагональю декартова квадрата И . Бинарное отношение зс на множестве Х называется: ° рефлексивным, если хубх, тх б Х; ° симметричненм, если имеет место импликация хНу =у уэьх; ° транзитив пым, если имеет место импликация хну, уел ~ хуьл.
Отношение эквивалентности. Важным классом бинарных отношений являются бинарные отношения, описываюшие свойство всхожести", — отношения эквивалентности. Бинарное отношение Е на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. ели пара элементов х,у б Х связана отношением эквивалентности, то говорят, что х и у эквиволенщны, и обозначают символом х у.
В конкретных случаях вместо этого символа могут быть использованы и другие, например х = у, х = у. Отношезпш эквивалентности играют ввжнузэ роль в ывтемет етвчееких нееле- х, львов два элемента эквивелентнымв, мы игнорируем т» резличвх между ними, которые не существенны в реееметрнвлемон звдече. В е кретной з ечемы ече.
кендой кон- ек различаем или не различаем элементы лишь в отношенв их свойств, кото нви тех етве обыкновенных рымн инзересуемел в денный момент. Известное правило рлвен- дробей !рз у оз = рз/оз, если рьяз = р, рз) вел летел отношением эквивалентности. Назвав дроби — и з ровными, ыы игнорир з г , ыы игнорируем их несовпадение кок дробей и считаем, что оии определюот одно и то же рациональное число.
У прок " ример подсказывает, что эквивллентные элементы множестве же пелееооброзно объединкть в охни объект. П а Х. н усть на множестве Х задано отношение эквивалентност Е а б . Множество всевозможных элементов х б Х, эквивалентных а, называется классом эквиваленщпости, порожденным элемеппзом а. Обозначение: с!(а). Итак, с!(а) = (х б Х!х а) .
Любой элемент класса эквивалентности называется представителем класса. Теорема 7.1. Класс эквивалентности порождаетсв лю- бым своим нредставителем, т.е, если 6 ц с!(а), то с1(6) = с!(а). Для доказательства равенства этих множеств достаточно показать двустороннее вложение (6.1) их друг в друга. Действительно, сбс!(6)~с 6, но 6 а=Ус а~обе!(а), сбс!(а) =>с а, но а 6=ус Ь=усбс!(Ь). ° Теорема 7.2. Яеа класса эквивалентности либо не вересекаются, либо совпадают. Действительно, любые два класса с! (а) и с! (6) либо не пересекаются, либо имеют хотя бы один обьчий элемент. Но и последнем случае они совпадают, так как если с б с! (а), с б с! (6), то в силу теоремы 7.1 с! (а) = с! (6). ° Из теоремы 7.2 и очевидного факта, что любой элемент множества содержится в одном иэ классов эквивалентности (а б с! (а)), следует, что все множество разбивается на непересекающиеся классы эквивалентности.
Множество всех классов эквивалентности называется фактор-множеством множества Х по отношению эквивалентности Е и обозначается символом Х!Е. Как уже отмечалось выше, одни и те же элементы множества, эквивалентные при одном отношении эквивалентности, могут оказаться неэквивалентными при другом. Все зависит от задачи, а в разных задачах мы можем интересоваться различными свойствами одних и тех же элементов.
Проиллюстрируем это на примерах различных отношений эквивалентности на множестве У, целых чисел. Примеры. 1. Положим щ — и, если уп = и. Это тривиальный пример отношения эквивалентности, сводяшегося к простому совпадению. Очевидно, что с! (гп) = (щ) и Б!Е = ю. 2. Положим гп и, если щ и и имеют одинаковую четность. Нетрудно проверить, что это бинарное отношение является отношением эквивалентности. Очевидно, что при таком отношении эквивалентности все множество д. разбивается на два класса эквивалентности: Со = с!(0) = (26!Ь б д,) — множество всех четных чисел и Сз — — с! (1) = (26+ 1 (Ь б Ц вЂ” множество всех нечетных чисел. Итак, Х(Е = (С„С,). Такое резбиенне множестве пелых чисел не классы нем знакомо из обыденнон жизни, например деление мно1кеетве домов улицы нв четную и нечетную сторону.
3. Пусть р б И, р ) 1. Два целых числа пз и и называются сравнимыми по модулю р, если при делении на р они дают одинаковые остатки, т.е, если гп — и = рЬ, где Ь б л'.. Обозначение: зп: — п(шодр). Итак, (7.1) щ: — п(топ р) с::Ф щ — и = рЬ, Ь б ю. Положим гп и, если пз = п(шопр). Нетрудно проверить, что бинарное отношение (7.1) является отношением эквивалентности. Найдем классы эквивалентности. Пусть гп при делении на р дает в остатке г, Очевидно, 0 < г < р — 1. Тогда с)(пз) = (и = рй + г ! Й б л,) — множество всех целых чисел и, дающих при делении 41 68 Отображения 40 Глава и. Т Теоретико-множественлые понятия наростаток г. Так каки и елен остатков: О, 1,... — 1 то ко р д ни на р возможно ровно р различных ,..., р —, олнчество классов эквивалентности равно р.
Обозначения: С, = (и = рй + г ( 6 Е д.тт 0 т,где <г<р — 1,и д' — фактор-множество множества я, по отнош (7.1). ошению эквивалентности ( . ). В этих обозначениях,Ег — — (С С ...,С ). М а, ы..., г-т). Множество Я называют ммозсеством классов выч д стоп по мооулю р. '38. ОтобРажениЯ Определения, простейшие свойства. Пусть Х,У вЂ” два множества.
Отпображемисм ) множества Х во множество У называется закон, посредством которого произвольному элементу х Е Х в соответств х ставится мент н ие однозначно определенный элемент Е У у азывается образом элемента х, а зле у; л этом элемента . Символ , а элемент х — проооразом элса у, имволическн отображение записывается в виде у: Х вЂ” У или Х вЂ” У.
Запись = тт(х) у = тт(х) или х г у означает, что элемент х и и отображении 7 переходит в элемент у. т х при Отоб ражение множества Х во множеств У обраэовамием ммохсества Х в У, или опс атпо ом, о называют также п е- Р- из множества Х в, или опсратпором, действующим со значени У. В ва во множество У, или ф мк исй о пнями в . се эти н У, Фу ц, определенной на Х смысле и их азвания употребляются в одинаково м желание использование диктуется соображен об иями уд ства или ем подчеркнуть тот или иной аспект.
В сл чае Х = У об отображемии в себя. случае = говорят Полным прообразом элемента у Е У называется множество' Об ) '(у) = (х Е ХЩх) = у). разом отпображемия 7 называется множество )шит = (у = )(х)(х Е Х). Вместо символа цп у используется также символ ДХ). Отображение /: Х -+ У называется: е имъективмым, если из того, ч хэ), или, другими словами, если уравнение У(х) = у (8.1) при любом у Е У имеет не более одного решения; ° сюръектпивмым или отображемием ма е т' — У, гимн с , если питт —— У, или, д словами, если уравнение (8.1) при любом У одно решение; и л м у Е имеет хотя бы ° биектпивмым или вэа сюръектнвно или, иммо одмоэмачмым, если оно и инъек д, тивно, и , другими словами, если уравнение (8.1) при любом у Е У имеет, м притом единственное, решение.
Симпеп т т (я) пе следует весе т С т епдтмкюветь с ебретпмм отображением (В.б), до- Примеры. 1. Пусть а Е )й и Ж.т — множество всех неотрицательных действительных чисел. Соответствие а ~ )а~ определяет три различных отображения 7: Ж вЂ” %, д ': % г й+, Л: К+ — %+, Отображение 7' не инъективно и не сюръективно, д — не инъективно, но сюръективно, Л вЂ” биективно. 2. Пусть А Е К""". Соответствие А т дегА определяет отображение 7: Й" " — )й, не инъективное, но сюръектнвное.
3. Пусть а,6 Е К. Соответствие (а,6) т а+ 6 определяет отображение ): К х Ж вЂ” Ж, не инъективное, но сюръективное. Таким образом, операцию сложения чисел можно рассматривать как отображение декартова квадрата множества Ж в Б!. Этим обстоятельством мы воспользуемся в дальнейшем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
