В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1113055), страница 3
Текст из файла (страница 3)
= 6 . $ = 1, $1 = $$$ ,1 = 1, $!. Обозначение: А = В. Линеиные операции. Суммой матриц А = (а ) Е Ж'пхп ( б$ и В = (6„) Е Жюхп называется матрица С = (сб) б Ж "", элементы которой определены равенством с,.=а! +6,, $=1,т,1=1,п. Обозначение; С = А+ В. атрица — Л = ( — а; ) б Ж называется противоположном к матрице Л = (ао) Е Ж Т е ар ем а 2.1. Операция сложения матриц обладает следующими свойсгпвами: К4, В, С б Ж $х ' и 0 б Жп$х ' 1) А+ В = В+ А (сложение матриц коммутативно); 8) (А+ В) + С = А+ (В + С) (слозкение матриц ассоциативно); У)А+0=0+А=А; 1) А + ( — Л) = — А + Л = О. П о к а з а тел ь с т в о.
Эти свойства непосредственно вытекают из определения и доказываются по единой схеме. Покажем свойство 2. Матрицы (А+ В) + С н Л+ (В + С) имеют одинаковый размер т х и, при этом их элементы, расположенные в одинаковых позициях, равны, так как ((Л + В) + С)$ — — (А + В);„+ (С)о — — (а; + 6о) + с,. = а!+ (6, + су) = (А)! + (В+С), = (Л+(В+С)) з. ° Разностью матриц Л = (а;!) Е Ж~"" и В = (6;!) Е Ж "" называется матрица Л = (е; ) Е Ж " такая, что Л = В+ Л. Обозна е: Л' = В Жп$х и ч ение: Л' = А — В. Очевидно, что для любых матри ц Е существует единственная разность .4 — В, прн этом А — В = Л + ( — В) = (аб — 6о). Произведением матрицы Л = (а„) Е Ж "" на чис$о а б Ж называется мат и а С = ' матрица С = (со) Е Ж, элементы которой определены равенством 'з2.
Операции над матрицами 15 Теорема 2.2. Операция умножения магприцы на число обладаегп следующими свойствами: чА,В е Ж "", $Уа,ВЕ Ж 1)1 А=Л; У) (аВ)Л = а(ВА); У) а(А + В) = аА + аВ (умножение матарицм на число дисп»рибутивно относительно слозсения матприц); 4) (а+ В)А = аА+ $УА (умножение матрицы на число дистрнбугпивно относительно слозкенил чисел); 5) — А = ( — 1)А. Все эти свойства непосредственно вытекают из определения и проверяются по той же схеме, что и свойство 2 из теоремы 2.1. ° Итак, на множестве Ж~"" всех вешественных матриц одинакового размера гп х и любые две матрицы можно сложить и любую матрицу можно умножить на вещественное число.
Прн этом результаты выполнения этих операций также будут матрицами из Ж "". Обратим внимание на эту особенность множества Ж "", так как в дальнейшем мы неоднократно будем сталкиваться с множествами, наделенными операциями сложения и умножения на число, которые обладают свойствами, сформулированными в теоремах 2.1 и 2.2. Операпии сложения матриц и умножения матрицы на число позволяют однозначно определить матрицу а»А! + азАз+...
+ а»А» = » , а;А;, называемую лммеймой комбинацией ма!прим А»,Аз,..., А» Е Ж$п " с коэффициентами а», аз,..., а» б Ж. з'множенне матриц. Произведением магприц А = (а; ) Е Ж и В = (6о) Е Ж""» называется матрица С = (сб) е Жю"~, элементы которой определены равенством и с! = 1 а;,6,, $=1,т,1=1,к. $=! Обозначение: С = АВ. Уже из определения следует, что произведение матриц зависит от порядка сомножителей; произведение АВ определено лишь в том случае, когда размеры матриц А и В согласованы специальным образом: число столбцов левой матрицы должно совпадать с числом строк правой.
Это означает, что оба произведения АВ и ВА определены тогда и только тогда, когда Л и В имеют размеры гох и и их т соответственно. При этом размеры матриц АВ и ВА совпадают лишь при п» = и. Следовательно, равенство АВ = ВЛ возможно лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Однако и в этом случае произведение матриц, вообше говоря, может зависеть от порядка сомножителей: Матрицы А и В, для которых АВ = ВА, называются иересимйаа-'.
вочными или коммутирующими. Очевидно, что ма множестве Ж»У»» Глава й Матрицы 32. Операции над матрицами 1) нулевая и единичная матрицы перестановочны с любой другой матрицей; 2) любые две диагональные матрицы перестановочны. Теорема 2.3. Операцию умножения матриц обладаепь сле- дующими свойствами: 1) (АВ)С = А(ВС) (свойство ассоциатпивноспьи), У) а(АВ) = (аА)В = А(аВ), Ча б ЬЬ, Я) А(В+С) = АВ+ВС, (А+В)С = АС+ВС (свойство дистрибутивности), выполненными для любых матприц А, В, С, для которых левые частиц равенств имеют смысл.
Показательство. Эти свойства проверяются непосредствен- но. Остановимся подробнее на свойстве 1. Так как произведение (АВ)С имеет смысл, то размеры матриц А, В и С согласованы со- ответствующим образом. Пусть А = (а;,) б й "", В = (Ь;,.) б %" х~, С = (с! ) б Ы~ "о. Тогда и произведение А(ВС) имеет смысл, при этом размеры обеих матриц (АВ)С и А(ВС) совпадают. Проверим совпадение элементов этих матриц, расположенных в одинаковых по- зициях. Обозначим АВ = У = (иб), ВС = Ь' = (о;,), (АВ)С = Я = (в! ), А(ВС) = Т = (1! ).
Тогда для любых ь = 1, пь, 1' = 1, р е в =ь и с =~~ ("„ 'т=Ет= ь! !1=Ее= (Е",и Ь )ст1 Числа с 1 в первой двойной сумме (а;„— во второй) не зависят от индекса суммирования г (соответственно д), т.е. являются общими множителями слагаемых внутренней суммы. Следовательно с (со- И ответственно аь,) можно внести под знак суммирования, так что ь и в«' = ~~ — ь (~, ь ат,Ь„с„) = ~ —, 2 „, а! Ь„,с„, б =~~, ь 1~ т ь щт «тот!1 = т.т ь ~ ь аь,й,тст1. Отсюда и из свойств двойной суммы следует что в" = !" . ° ° ! — !1 ° Транспоннрованне матрицы. Пусть А = (аб) б ЬЬ ихт Матрица д = (а!.) б % называется ньранспонированной к матри- це А, если ! а! = ат ц ь = 1, и, 1' = 1, т.
Лля обозначения транспонированной матрицы используются также символы А' и А'. Переход от матрицы А к А называется транспоннрованием мат тунцы А. Заметим, что при транспонировании матрицы А ее строки становятся столбцами Ат с теми же номерами, а столбцы — строками. йругими словами, транспоннрование — это врашение матрицы в пространстве на 130' вокруг главной диагонали. Теорема 2.4. Операция трансионирования матриц обладает следующими свойствами: 1) (А + В)т — Ат + Вт Сьу = 2 Ат,В,1.
« 2. Вектор-столбец е; = (О... 010... 0)т б ПГ"' и вектор-строку е! = (О ... 010 ... 0) б Р.'" (у которых все компоненты равны О, кроме ь-й, равной 1) будем называть ь-м единичным столбцом и ь-й единичной стпрокой. Если А = (а!.) б 51~к", то в обозначениях (1.1) Ае! = а;, е';А = а';. (2.1) Если А = (а! ) б 11~хи, а Ь' = (аь аз ... а,„) и Ь = (ььь сьз а„) — вектор-строка и вектор-столбец соответственно, то п «и АЬ = ~~! а;а;, Ь'А = ~~ь а;а';. (2.2) тиь 3 †55 у) (аА)з = аАт ьуа б зь, ) (АВ)т Втдт !) (дт)т выполненными для всех матриц А, В, для котпорых имеют смысл ле- вые части равенств.
Показательство. Проверим свойство 3, остальные непосредтхи ственно вытекают из определения. Положим А = (а; ) б Н В = (Ь! ) б !к""", произведение АВ при этом имеет смысл. Нетруд- но проверить, что произведение ВтАт также имеет смысл, при этом размеры матриц (АВ)т и ВтАт совпадают. Элементы этих матриц, стоящие в одинаковых позициях, равны, так как ((АВ)т) (АВ) ~ Ь ~ Ь! ! (Втдт) ° «=1 «=1 Некоторые свойства операпнй. Приведем несколько полезных фактов, касаюшихся операций над матрицами. Показательство этих свойств предоставляется читателю.
1. Операции сложения, умножения на число и умножения блочных матриц совершаются по тем же правилам, по которым они соверша- ются с обычными числовыми матрицами: а) если блочные матрицы А = (А!.), В = (Вб) имеют одинаковый размер и одинаковым образом разбиты на клетки, то сумме матриц А и В при том же разбиении на клетки отвечает блочная матрипа С = (С!.) с элементами С;,. = А; + Вб, б) произведению аА отвечает блочная матрица С = (С; ) с эле- ментами Сб = аАВ; в) если А = (Аб) и В = (Вб) — блочные матрицы, у которых число столбцов блока Аы равно числу строк блока В«1 при любых ь, в, 1, то произведению АВ соответствует блочная матрица С = (С;;) с элементами 1В Глава 1. Матрицы (2.3) сзсо В ф О. Хотя и и таком пе ехо е эл 4.
Если А =(аг ) и 1йспхп В (Ь, ) б щпхь а' В 1 а2В АВ ш( АЬ1 АЬ2 " АЬь 1 АВ = т.е'. столбцы произведения АВ суть линейные комбинации столбцов матрицы А, а строки — линейные комБинации строк В. 33. Элементарные преобразования матриц Приведение матрицы к ступенчатой форме. Элеменгцврными преобразованиями матрицы называются преобразования следующих типов: 1) перестановка двух строк (столбцов) матрицы; 2) умножение строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля; 3) прибавление к одной строке (столбцу) матрицы другой ее строки (соответственно столбца), умноженной на любое число.
Теорема 3.1 (об основном процессе). Произвольная ненулевая матрица конечным числом элементцаркых преобразований только строк первого и гпретьего типов может быгль приведека к верхней снсуиенчдтцой форме. Показательство. Пусть А = (аз) б % "", А ф О. Процесс приведения этой матрицы к верхней ступенчатой форме состоит в общем случае из Ь = пцп(т, ц) шагов.
Иногда, как это будет видно ниже, он обрывается раньше, давая нужный результат. Первый шаг. а) Так как А ф О, то в ней должен быть хотя бы один ненулевой столбец. Пусть Ь1 — номер первого нз них. В Ь1-м столбце существует хотя бы один ненулевой элемент а ь . Если а ь ~~ О, то о сяс. , то переходим к ц. ' б '. Если же ась, = О, то, поменяв местами 1-ю и з-ю строки (т.е, выполнив элементарное преобразование сзпрок первого типа), получим матрицу в которои ам, Р р д ементы матрицы А могли измениться, мы оставили прежние обозначения с тем, чтобы акцентировать внимание лишь на тактической стороне процесса. б) Эл ) емент аы, назовем ведусцим (главным/ элементом первого шага. С его помошью аннулируем все расположенные под ним элементы Й1-го столбца. Лля этого из всех строк, начиная со второй, вычтем первую строку, умноженную на агь,/ась„азь,/аы„ 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
