В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1113055), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Итак, любой член определителя матрицы А может быть получен умножением определенного этим членом минора М на дополнительный к нему минор М. Из доказанного в п. 1 следует, что при умножении минора М на его алгебраическое дополнение получится член (4.8) с его знаком. 4. Осталось доказать, что каждый член де(А входит в сумму 5 ровно один раз и что других слагаемых в этой сумме нет. Лля этого достаточно показать, что количество слагаемых в сумме Я равно и.. Лействительно минор М"""'-' состоит из й! слагаемых, алгебраиче1»)з д» скос дополнение к нему — иэ (и — й)! слагаемых. Значит, произведение М""' "А"""'." состоит из )П(н — й)! членов определителя матри- 111»" д» 1»1» -я» цы А. Таких произведений в сумме Я столько, сколько существует миноров й-го порядка в строках 11,12,...,1», т.е.
столько, сколько существует способов выбрать й столбцов 11, 12,...,1» из и столбцов матрицы А, или С». Таким образом, количество слагаемых в сумме Я равно С»й((н — й)! = н!. ° Разложение определителя по строке (столбцу). Если в теореме Лапласа выбрать Й = 1 н строку (столбец) с номером з, то минорами первого порядка, расположенными в з-й строке (столбце), будут сами элементы а; (а <). Обозначив через Аб алгебраическое дополнение к элементу аб, получим из теоремы Лапласа, что 1 1А = ) а; Аз (илн»)е»А = 2 а),Ам). (4.10) Представление определителя (4.10) называется розлолсением онредслитсля но зхя строке (соответственно но зтму столбцу). Итак, определитель матрицы равен сумме всех произведения элементов произвольная сс строки (столбца) на свои алгебраические дополнения.
Определитель кваэнтреугольной матрицы. Теорема 4.6. Определитель квазитреугольной матрицы равен произведению онределителея диагональных клеток. Показательство. Пусть А — верхняя квазнтреугольная матрица пз-го порядка (рис. 2). Применим теорему Лапласа к группе из й Глава 1. Мат нцы 44. Определители столбцов матрицы А, образу А11 ющих ее первый клеточный столбец. А 22 В этих столбцах все миноры й-го порядка, кроме )А11), заведомо равны нулю а алгебраАзз ическое дополнение к минору ~А11) совпадает с дополнитель- О ным минором. Согласно теореме Лапласа отсюда имеем, что )А) = )А11) )А), где А — тоже квазитреугольная матрица, но Рис. 2 уже (т — 1)-го порядка, начи- нающаяся с клетки Аэз.
Поступая точно так же еще (гп — 1) раз, получим, что (А) = )А11! )Азз) .. )А !. (4.11) Аналогично получается равенство (4.11) и для нижней квазитреугольной матрицы. ° Т е о р е м а 4.7.Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей матриц-сомнолсителей. Показательство.
Пусть А = (а;1), В = (Йб) — квадратные матрицы и-го порядка. Рассмотрим матрицу С вида С одной стороны, С вЂ” квазитреугольная матрица, поэтому соглас ио (4.11) )С) = )А! )В(. (4.12) С другой стороны, не меняя определителя матрицы С, преобразуем ее так, чтобы клетка А стала нулевой. Сначала аннулируем первую строку матрицы А, для чего прибавим к первой строке матрицы С ее (и + 1)-ю, (и + 2)-ю, ...,2п-ю строки, умноженные на а11,аы,...,а1„соответственно.
В результате этих преобразовании де1С остается без изменения, первые и элементов первой строки матрицы С станут нулевымн, а вторые и элементов заполнятся элементами первой строки матрицы АВ. Теперь в новой матрице вы- ' полним аналогичные преобразования второй строки: ко второй строке матрицы С прибавим ее (и + 1)-ю, (и+ 2)-ю, ...,2п-ю строки, умноженные на аю, азз,..., аз„соответственно. После этих преобразований определитель матрицы С не изменится, первые и элементов второй строки матрицы С станут нулевыми, а вторые п элементов заполнятся элементами второй строки матрацы АВ.
Проделав аналогичные преобразования с третьей, ..., и-й строками матрицы С, получим матрицу С= '1 'В', определитель которой равен определителю матрицы С. Переставив в матрице С1 первый и (и+ 1)-й столбцы, второй и (и+ 2)-й столбцы, ..., и-й и 2п-й столбцы, получим квазитреугольную матрицу определитель которой отличается от определителя матрицы С1 множителем (-1)". Таким образом, (С) = )С1! = ( — 1)" (Сз! = )АВ). Отсюда н иэ (4.12) получаем, что (АВ) = )А( )В). ° (4.13) Вычисление определителя. Многие задачи линейной алгебры связаны с проблемой вычисления определителя.
Было бы весьма затруднительным вычвслять определитель исходя вз его оп~о деленна, т.е. вычаеляя непосредственно все в! членов в овределяя вх знака. ля этого нунно выполнить о!в онералвй умноневвя (беэ учета менее трудоемкой онеранвв слоненка чисел). Так, для п = 100 число умноневвй превосходят 10зеэ— е этвмне в еое состоянии снраввться дане самые мош:ные современные компьютеры, еввя елателя, Теорема Лапласа позволяет упростить проблему вычисления овределате сводя ее к вычвсленвю определителей более низких порядков.
Однако, как видно вэ (4.11), (4 12), этот нодкод существенно зффектввев люль для матрвн е болынвм чвслом нулевых элементов, сгрупшзроваввых сненвальвым обрезом. Среди различных методов вычисления определителя особое место в приложениях занимает метод Гаусса. Метод Гаусса применяется для решения широкого класса матричных задач. Идея этого метода проста и естественна. Она состоит в том, что: ° выделяется тип матрицы, для которой задача решается достаточно просто; ° выделяется тип преобразований, которые либо не изменяют решений задачи, либо изменяют их контролируемым образом; ° произвольная матрица выделенными преобразованиями приводится к выделенному типу, тем самым задача общего вида сводится к более простой.
В применении к задаче вычисления определителя эта схема выглядит следующим образом: — определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов (свойство 1); 33 Глава 1. Матрицы 32 55. Обратная матрица п ~а!,Ауч = О. (5.2) 35. Обратная матрица Хю [ Аы Ам ... А„! А!з Азз, Апз '1 1п "15» ° .. Апп (5.1) — элементарные преобразования матрицы либо не изменяют определителя (свойство 9), либо изменяют (свойства 4 и 6), но так, что эти изменения можно легко восстановить; — произвольная квадратная матрица элементарными преобразованиями приводится к треугольной форме (теорема 3.1).
Метод Гаусса вычисления определителя состоит в приведении матрицы элементарными преобразованиями к треугольному виду, вычислении определителя получившейся треугольной матрицы и восстановлении исходного определителя, если использовались элементарные преобразования типов 1 и 2 (53). 3 а м е ч я к я с 3. В методе Гвуесв вычисления определителя можно использовать злемевтврные преобразования квк строк, тяк и столбцов. 3 ям е ч я як е Е. Для вычисления определителя и-то порядка по методу Гаусса оз требуется выполнить — + 0(п ) операций умпоиепия двух чисел. Теперь для и = 100 определитель моиет быть вычислен быстрее чем за одну секунду пв компьютере е быстродеиотяяем 10 аркфметпчеоких оперений и секунду. Хсловие обратимости.
Матрица А ' называется обратной к матрице А, если АА ' = А 'А = 1. Матрица А, для которой существует обратная матрица, называется абра!пимой, Из определения следует, что обратимом может быть лишь квадратная матрица, так как равенство АА ' = А !А возможно лишь для квадратных матриц А и А ' одинакового порядка.
Но не ка- (О О~ ждая квадратная матрица обратима. Так, матрица А = ~ при умножении справа на любую матрицу дает матрицу с нулевой первой строкой, т.е, ни для какой матрицы В произведение АВ не может совпадать с единичной матрицей 1. Выясним, какие свойства матрицы обеспечивают ее обратимость. Квадратная матрица А называется еыуолсдеммой (особенной), если 1)А) = О, н невыролсденной (неособенной), если )А) ~ О. Пусть А = (аб) б )й""".
Матрица составленная иэ алгебраических дополнений Ае к элементам аб матрицы А, называется пуисоедииеммой (вэаиммой) к матрице А. Теорема 5.1 (о фальхцивом разложении определителя). Сумма произведений элементов одной оп!роки (сзполбиа) матрицы на алеебраические дополнения к элементам друеой ее строки (сопи!ее!потаенно столбяа) равна нулю. Показательство. Пусть А = (а;,.) б )й""". Покажем, что для любых ее двух строк 1, у, где 1' ф !', Рассмотрим вспомогательную матрицу В, которая отличается от А только 1-й строкой: на месте 1тй строки в В стоит 1-я строка А. С одной стороны, де!В = О (54, свойство 7).
С другой стороны, !)есВ = 2"",ю! а;,А „так как в Разложении де!В по 1тй стРоке алгебраические дополнения к элементам 1'-й строки матрицы В получаются вычеркиванием утй строки и поэтому совпадают с алгебраическими дополнениями .4., к элементам этй строки матрицы А.
Отсюда следует (5.2). Аналогично доказывается столбцовый вариант теоремы. ° Показанную теорему иногда называют теоремой о "чужих" алгебраических дополнениях. Напомним, что в этой терминологии умножение на "свои" алгебраические дополнения дает разложение (4.10) определителя по строке (столбцу соответственно). Теорема 5.2 (критерий обратимости). Ма!прима обратима тогда и только тогда, ковда она не еыролсдена. Показательство.
Необходимость. ПустьматрицаАобратима. Тогда существует обратная матрица А такая, что ЛЛ вЂ” 1 4 4-1 Взяв определители от обеих частей этого равенства, согласно (4. 3) л Гй получим, что )А) )А 1) = )1), т.е. )А) )А !) = 1, Следовательно, Лостаточность. Пусть ~А) ф О. Покажем, что матрица Гд)А является обратной к матрице А. В самом деле, из разложения определителя по строке (столбцу) и теоремы 5.1 имеем, что АА = АА = ,' Следовательно, АГд(А = Гд) АА = 1, т.е. А '= — А ° (5 3) (А! Теорема 5.3 (о единственности обратной матрицы). Если А — квадратное матрица н А В = 1 (или ВА = 1), то В = А Показательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
