В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1113055), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Лействительн, о, если х и х — два сим- метричных элемента к элементу х Е Х, в з , то х =х»е=х'»(х»хл) =(х'»х)»хозе =е*х =х . ° заме»явяв. В определенна зейт но сватала, нейтрального в свмметрнчного элементов мы , что ь ° е = еьл м л в в»лз = л'ьх = е. Нам м — ах = е. о мо;ано раесматрнвать только е = е а х ь х ю е (влы е ь л = = в н в * л = е) н говорвть о оравам хввазральаам а яраввм ваммеюрззаам элементах (нлв о левам хвяглральяам а левом ваммеглрззхам).
Этим обобшеннем мы будем иногда польэоввтьея. Говорят, что алгебраическая операция * на множестве Х обладает обратной операцией, если для любых двух элементов о,6 Е Х уравнения а * х = 6 и у * а = 6 имеют единственное решение. Наличие обратной операции означает существование двух алгебраических операций. Первая ставит в соответствие любой упорядоченной паре элементов о,6 Е Х однозначно определенный элемент х Е Х такой, что а» х = 6, и называется правой обратной операцвей к операции *, а вторая — элемент у Е Х такой, что у * и = 6, и называется левой обрвгпной опервцней. Но если алгебраическая операция » коммутативна,то х = у и обе операции совпадают и определяют обрвгпную'операцию к операции *.
Очевидно, вычитание чисел в Й и вычитание матриц в Й "" — операции, обратные к операции сложения в Нных" Пусть»1 и *э — две алгебраические операции на множестве Х. Алгебраическая операция»г называется дысшрибуглнвной справа относительно алгебраической операции *э, если (и *т 6)»г с ш (а»з с)»з (6»г с), Ыа, 6, с б Х; днстрнбуглнвной слева, если а *1 (6»з с) = (а»з 6) *г (а»~ с), Ыа 6 с Е Х; и днстрыбушввной, если она дистрибутивна и справа и слева. Пример. Умножение чисел в Й (матриц в Й""") дистрибутивно относительно сложения в Й (Й""" соответственно). Но сложение не дистрибутивно относительно умножения.
Пусть нв мне:аестве Х задано отвошевае эхвввалевтыоетн. Нома у:ве отмечалось в П, что, назвав элементы множества экваввлеытыымн, мы амадеем, что в одной н тов же снтуацнв онн должны проявлять себя одинаково. В первую очередь это отыоснтся х влтебранчесхвм операшым, в которых она участвуют. Алгебрвнчеедва опервпая * нв множестве Х называется сввлаеоваявок с отношеывем эквивалентности на этом множестве, если нэ того, что аз аз,бз 6з, следует, что а1» 61 аз» ьз, т.е. алгебрввчесхая операшы, првмеыенывя х эхвнввлеытным элементам, дает эхввввлентыые результаты.
Это заставляет нвс пра введении тех алв иных алгебранчесхнх операций проверять выполнение этого требав»пняя. Мы ые будем останавливаться ва этом, в предлагаем читателю самому убеднтьея в справедливости данного свойства у всех рассмвтрвввемьгх опервшзй. Заметам, что в наших рассуждениях, говора о выутренвах законах хомпозыцыы, мы всюду аспользоввла термин "алгебрввчесяая оперышя", И зто ве случайно. Ках правнло, терман "внутрепвай закон хомпозацвн" аспользуют в тех случаях, когда наряду с выутренным звхоыом композиции раесматрнваетея а внешвнй закон хомпозвцаа.
Внешний закон композиции. Пусть Х и Р— два множества. Внешним законом композиции нв мнолсесшве Х называется отображение (): РхХ вЂ” Х, т.е. закон, посредством которого любому элементу о Е Р и любому элементу х Е Х ставится в соответствие однозначно определенный элемент с Е Х. Тот факт, что (а,х) ь с, обозначается символом Глава В. Теоретико-множественные понятия с=ах. Умножение матрицы А Е В "" на число о Е Ж является внешним законом композиции на множестве В х". Умножение чисел в ]й можно рассматривать н как внутренний закон композиции, н как внешний. Внешний закон композиции на множестве Х называется >)истрибутиеным отиоситсльно внутреннего законм композиции ь в Х если а(ц*Ь) = оаьоЬ, уа Е Р, рп,ЬЕ Х. Внешний закон композиции на множестве Х называется г)истрибутиьным относигнсльно внугцреннего закона композиции ь' в Р, если (о *')>')а Умножение матрицы .
относительно сложени ибо а(А + В) = аА + о Глава П1. Геометрические векторы В этой главе предполагаются известными из средней школы основные геометрические понятия, такие, как точка, прямая, отрезок, луч, длина отрезка, направление на прямой и т.д. С математической точки зрения логически безупречным методом введения этих понятий является аксиоматический метод, получивший завершение в трудах Гильберта. Сушествуют различные версии аксиом евклидовой геометрии. Мы оставим в стороне эти исследования, ограничившись лишь ссылкой на литературу (4, 5] и формулировками основных фактов, на которые мы будем опираться в дальнейшем. Отрезок [АВ] — это множество, состоящее из точек А и В и всех точек прямей (АВ), которые лежат между точками А и В, Каждому отрезку [АВ) можно по.
ставить в соответствие неотрицательное действительное число [АВ[, называемое длххьм отрезка [АВ) и удовлетворяющее аксиомам: 1)аксяома тождества> [АВ[ > О, ЫА,В, [АВ[ = О тогда и только тогда, когда А ж В; 2) аксяома свмметрив: [АВ[ = [ВА[, ЫА,В; 3) неравенство треугальниха> [АВ[ < [АС[+ [СВ[, ЫА,В, С, )АВ[ = [АС) + [СВ[ тогда и толька тогда, когда точка С лежит вя отрезке [АВ]. Ллино отрезка [АВ] называется также расс>пьапаел мезсду точками А и В и обозначается свмволом р(А,В). Любам точка А, лежащем на прямой 1, разбивает эту прямую на два луча !ь в 1 с началами в точке А. Этв лучи называются дьполха>пьльхыма друг к другу.
Точка А првнадлежит обоам лучам. Лве тачки В зг А и С и А прямой! приввдле жвг одному лучу тогдм и только тогда, когда отрезок [Вс'! не содержит точки А, и принадлежат дополнительным лучам, если точка А мвляетсм внутренней точкой отрезка [ВС].
Луч с началом в точке А, иа котором лежит точка В и А, обозначлетсм символом [Ав). Лва луча, лекащве нл одной прямой, называются ьдьпахььь папраелепмыма (сььапраьльпхымь), если их пересечение есть луч, и прьь>хььпольжхь хапраьльп«ым», если их пересечение не является лучом. Всякая прммаа 1, лежащая в плоскости Р, разбивает эту пласхость н* две полупл>скости РЬ и Р, про которые говорат, что они ьпрьдьляммсл прямей 1. Прямая 1 приводлежвт каждой из этих полуплоскостей.
Лве точки В у! в С и 1 плосхостн Р лежат в одной полуплоскаста, определяемой прямой 1, тогда и только тогда, когда [ВС) г> ! = зэ. Лва луча [.4В) и (СО), лемамцие на параллельных весовпалающих прямых, принадлежат некоторой плоскости Р. Лучи (АВ) и [СО) вьзываютсм ьдьхькььо хапраьль»пыма (сьпьпрььле»»ыыь), если ови лежат в одной волуплоскаств, определяемой пркчов АС, и прогляьопьльжхь папраьльяпымь, если ови лежат в разных полуплоскостмх. Обозначение: ]АВ) [! [СР) в [АВ) [! [СО) соответственно.
Свойства сонаправлевности лучеи трпнзитивно. Пусть Р— векоторьв плоскость и А, В, О - трв ее различные точхн, не лежапзие нп одном прямой. Прямая ОА разбивает эту плоскость на две полуплоскоств. Точка В располо:кена в одной вз вих. Обозначим эту полуплоскость Рь. Аналогично арамам ОВ разбивает плоскость Р на две полуплоскоств. Пусть Р-- 40 Глава Ш. Геометрические векторы 43 б)О Направленные отрезки полуплоскость, в которой лежит точка А.
Вьтуклым углом между лучник [ОА) и [ОВ) называется пересечениеынопсествРл и Р . Обозначение: »АОВ. Итак, лАОВ = Рл О Р-. Величина выпуклого угла лАОВ называется углам вежду лучаин [ОА) и [ОВ). Обозначение: АОВ. Очевидно, О < АОВ < т. По определенны угол ые:кду сонаправленныыи лучами равен О, а ыеиду протввопояоино насревлевнызт равен к. 310. Направленные отрезки Упорядоченная пара точек (А,В) называется направленным от- резкомс началомвточкеА и концом в точке В. Обозначение: АВ.
В Направленный отрезок АВ изображается стрелкой, идущей иэ его начала в его конец (рис. 1), Направленный отрезок АВ Рис. 1 называют также связанньам вскзпором, а точку А — точкой его ирилолссния. Если точки А и В различны,то направленный отрезок АВ называется ненулевым; если же точки А и В совпадают, то направленный отрезох АВ, точнее, АА называется нулевым и обозначается символом ол. Направленный отрезок АВ называется параллельным прямой [ (нлоскосгни Р), если либо он нулевой, либо прямая АВ совпадает с прямой [ (соответственно лежит в плоскости Р), либо прямая АВ параллельна прямой [ (соответственно плоскости Р).
Обозначение: АВ [[[, АВ][Р. Направленные отрезки А~Вы АэВг, ..., А»В» называются коллинеаркыми (комнланарными), если существует прямая (соответственно плоскость), которой параллелен каждый из этих отрезков. Наиной направленного от резка АВ называется длина отрезка [АВ]. Обозначение: [АВ[. Как следует из определения, длина нулевого и только нулевого направленного отрезка равна нулю. Ненулевые направленные отрезки АВ и СР называются одинаково направленными (сонаиравленными), если лучи [АВ) и [СР) имеют одинаковое направление, и иронзивоиололсио направленными, если лучи [АВ) и [СР) имеют противоположные направления.
Обозначение: АВ [[ СР и АВ [[ СР соответственно. Направленные отрезки АВ и СР называются равными, если середины отрезков [АР] и [ВС] совпадают (рис, 2). Обозначение: АВ = С.0. Как следует из определения, нулевой направленный отрезок равен любому другому нулевому и только нулевому направленному отрезку. Из свойств параллелограмма (рис.
2) следует, что ненулевые направленные отрезки АВ и СР, не лежащие на одной прямой, равны тогда и только тогда, когда четырехугольник АВРС вЂ” параллелограмм. Лля равных ненулевых отрезков, лежащих на одной прямой, возможен один иэ четырех вариантов расположения, изображенных на рис. 2. Р а) [АВ]»)[С.Р! = Ф б) [АВ][)[СР] т. Ф А В О С Р А О В С Р С Р О А В С Р А В Рис. 2 Теорема 10.1. Направленные отрезки АВ и СР равны тогда и только гногда, когда они имеют: 1) одинаковую данну: [АВ~ = ]СР] и, в случае ]АВ] ф О, У) одинаковое направление: АВ [[ СР. Утверждение теоремы вытекает непосредственно из определения равенства направленных отрезков и свойств параллелограмма. ° В Р А О В Рис. 3 Теорема 10.2. Нля любого направленного отрезка АВ и любой точки С существует, и ирин»ам едиисгнвеиная, значка 0 такая, чгно АВ = СР. Локазательство.
Пусть (рис. 3) точка Π— середина [ВС]. Из определения равенства направленных отрезков следует, что точка Р— точка на прямой АО, симметричная точке А относительно точки О. Такая точка определена однозначно. ° 3 а м с ч а и и е. Теорему 10.2 форыуаируют и в других терыинах: напраален«ыв отрезок важна атлахснгль ага любав тачка или «анраалснныв отрезок важно перенесть а любую тачку. Теорема 10.3. О»квашение равенснзва направленных он»- , резкое являезнся оупношением зквиваленупносгпи на мнозсестве всех направленных отрезков. В самом деле, отношение равенства направленных отрезков явля, ется бинарным отношением, которое обладает свойствами: а) рефлексивности (направленный отрезок равен самому себе); 111, Свободный вектор (АВ) = ! $АВ!, АВ ТТ1, ( — (АВ(, АВ Т11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
