В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1113055), страница 11
Текст из файла (страница 11)
(10.1) 2'. (АВ) = — (ВА). А С В 311. Свободный вектор Рис. 1 Глава Ш. Геометрические векторы б) симметричности, так как справедливы импликации (АВ! = /СР! =ь !СРь = !АВ(, АВ ТТ СР =ь СР ТТ АВ; в) транзитивности, так как равенство длин (т.е, чисел) и сонаправленность направленных отрезков (т.е. лучей) обладают свойством транзитивности. ° Прямая 1 с заданным на ней направлением называется осью.
Велпчипой направленного отрезка АВ на оси 1 называется число Из определения вытекают следующие факты. 1ь. Нулевые направленные отрезки, и только они, имеют нулевую величину. Лемма Шаля. Ври любом расположения точек А, В и С па прямой имеет место равенство (АВ) = (АС) + (СВ).
Доказательство. Если какие-либо две точки совпадают (например, А = В), то утверждение очевидно, так как (АА) = (АС) + (СА). Пусть А, В, С вЂ” различные точки. Тогда возможны только три варианта расположения этих точек: 1) точка С между точками А и В (рис. 4); 1 1 В С А Рис. 4 2) точка А между точками В и С; 3) точка В между точками А и С, В первом случае, как видно из рис. 4, !АВ/ = !АС/+ /СВ/ и АВ ТТ АС ТТ СВ, откуда следует, что (АВ) = (АС)) + (СВ).
Отсюда во втором случае имеем (ВС) = (ВА) + (Ад) или (АВ) = (Аь ) + (С.Й). Третий случай рассматривается аналогично второму. ° Определение и терминология. Известно (теорема 10.3), что отношение равенства направленных отрезков является отношением эквивалентности на множестве направленных отрезков. Оно разбивает это множество на непересекающиеся классы эквивалентности (17). Класс эквивалентности направленных отрезков называется свободнььм вектором или просто векьпором. Векторы обозначают строчными латинскими буквами а, Ь. Итак, вектор а = с!(АВ) состоит из всех направленных отрезков, равных АВ.
Так как класс эквивалентности (17) порождается любым своим представителем,то вектор а = с1(АВ) можно задавать любым направленным отрезком СР = АВ, т.е. а = с!(СР). Если вместо направленного отрезка АВ используется направленный отрезок СР = АВ, то говорят, что вектор а отложен от точки С. Символ а = с!(АВ) используется применительно к геометрическому вектору а только в тех ситуациях, когда подчеркивается отношение этого вектора к классу эквивалентности.
Обычно вместо символа а = с! (АВ) используется символ а = АВ, который в зависимости от контекста читается как '*вектор а, порожденный направленным отрезком АВ" или "вектор а, отложенный от точки А". Длиной векпьора а (величиной векпьора а па оса) называется длина (соответственно величина) порождающего его направленного отрезка; векторы аь, аз, ..., аь называются колланеарнымк (компланарными), если коллинеарны (соответственно компланарны) порождающие их направленные отрезки; векторы а и Ь называются оьТанаково направленными (противоположпо направленными), если одинаково (соответственно противоположно) направлены порождающие их направленные отрезки.
Очевидно, что эти определения корректны несмотря на произвол в выборе направленных отрезков. Линейные операции над векторами. Сложение векторов. Сумма векторов а и Ь определяется следующим образом. Отложим вектор а от произвольной точки А, пусть  — конец этого вектора, т.е. а = АВ. Затем отложим вектор Ь от точки В, пусть Ь = ВС. Суммой а+ Ь векторов а и Ь называется вектор, порожденный направленным отрезком АС (рис.
1). Это правило сложения векторов называется правилом ьпреугольнпка. Очевидно, что этот же вектор а+ Ь для неколлинеарных векторов а и Ь может быть получен (рис. 2) как диагональ параллелограмма, 53 З11. Свободный вектор В Ъ С Рис. 2 (а+ Ъ)+ с = а+(Ь+ с) Рис. 3 а(а+ Ь) Ь аЬ а(а+ Ь) (о > О) Рис. 5 (а < О) Глава Ш. Геометрические векторы >строенного на векторах а и Ь. Это правило сложения векторов гэывается правилом параллелограмма. Теорема 11.1. Операция сложения векторое обладает сле(ющими свойствами: 1) а+ Ь = Ь+ а, Уа, Ь (свойспьво коммутативности); 8) (а+ Ь)+с = а+(Ь+ с), Ча, Ъ, с (свойство ассоциативности); Я) существует такой вектор О, называемый кулевым вектором, по а+ 0 = О+ а = а, Ча (свойство существования нейтрального :емента); 4) для любого вектора а существует такой вектор — а (назыеавый противоположным к вектору а), что а+( — а) = О (свойство ществованпя симметричного элемента).
Показательство. Коммутативность и ассопиативность слогния в случае неколлинеарных векторов а, Ь и с проверяются несредственным построением (рис. 3) векторов левой и правой чаей соответствующих равенств. Случай коллинеарности предлагася рассмотреть читателю. Свойства 3 и 4 очевидны: нулевым вектором О будет класс эквивантности нулевых направленных отрезков, противоположным к векру а = АВ будет вектор — а = ВА.
° Разностью векторов Ъ и а называется вектор х такой, что а+ х = Обозначение: Ь вЂ” а. Теорема 11.2. Яля любых векторов а и Ъ существует, и атом единственная, разность Ъ вЂ” а. Показательство. В качестве разности Ъ вЂ” а можно взять ктор Ь+ (-а), так как а+ (Ь+ ( — а)) = а + ((-а) + Ь) = ( а+ ( — а)) + Ъ = О+ Ь = Ъ. Эта разность единственна, так квк если с — еще одна разность, то с = с+ О = ( с+ а) + ( — а) = Ь + ( — а). ° Замечание. Правило парал- а+ Ъ лелограмма сложения неколлннеа арных векторов а и Ъ позволяет построить и разность Ь вЂ” а квк другую диагональ параллело- Ь грамма (рис. 4). Рис.
4 Ъ'множенне вектора на число. Произведением вектора а на вещественное число о называется вектор Ь, удовлетворяющий следующим условиям: 1) |Ь! = |а|. |а| и,в случае Ъф О, 2) Ь ц а,если о>0,и Ь(1 а,еслио<0. Обозначение: Ь = оа. Очевидно, что Оа = оО = О. Теорема 11.3. Операция умнозкения вектора на число обладает следующими свойствами: для любых векторов а, Ь и чисел о,ДЕ% 1)1.а= а; Я) (оф) а = а(фа); Ю) (а+ В)а = о а+ Ва (свойство дистрибутивности умножения на число относительно сложения чисел); Д о(а+ Ь) = оа+оЬ (свойство дистрибутивности умнозсения на число относительно сложения векторов).
Показательство. Свойство 1 очевидно. Свойства 2 н 3 проверяются перебором различных вариантов знаков и абсолютных значений чисел а и ф. Свойство 4 вытекает иэ подобия треугольников (рис. 5). Здесь следует отдельно рассмотреть случай, когда векторы а и Ъ коллиневрны, ° Глава П1.
Геометрические векторы 112. Векторы на примоя, па плоскости и в и т стае 55 312. Векторы на прямой, на плоскости и в пространстве Ло сих пор мы рассматривали свободные векторы в пространстве. Мы определили векторы и операции над ними, исходя из направленных отрезков, начала и концы которых — любые точки пространства.
Свойства этих операций относились к произвольным векторам пространства. Можно дать такое же определение вектора и операций над ними, оставаясь в пределах некоторой плоскости или даже прямой. При этом оказывается„что все факты, изложенные в 1 10, 11, останутся, по существу, неизменными, незначительное изменение коснется лишь их формулировок: в них добавится уточнение, какое именно множество векторов рассматривается.
В самом деле, пусть Ры Ъз и 1'з — множества всех векторов на прямой, на плоскости и в пространстве соответственно. Как следует нз определения суммы векторов, если а, Ъ б Р~ (1 г или Кз), то а+ Ь б $~~ (1~з или 1'з соответственно), т.е, операция сложения векторов не выводит за пределы данной прямой (плоскости или пространства). Значит, операция сложения векторов является алгебраической операцией (или внутренним законом композиции) на каждом из множеств ры Ъг или 1з (19). Аналогично операция умножения вектора на действительное число является внешним законом композиции на каждом из этих множеств.
Если к этому добавить еще, что каждое из них содержит нулевой вектор О и противоположный вектор — а к любому своему вектору а, то теоремы 11.1 — 11.3 можно отнести к каждому из множеств 1'ы уз, 1з. Сформулируем этот итог в виде следуювцего утверждения.
У гверж денис. Множество У„, где и = 1,2,3, всех векторов на прямой (на плоскости или е пространстве) наделено внутренним законом композиции (называемым сложением) и внешним законом композиции (называемым умножением на число), которые о6- ладают следующими свойствами: для любых а, Ь, с б 1в и о,17б % 1) а+ Ь= Ъ+а; 2)(а+ Ь)+ с= а+(Ъ+ с); Ю) 3 О б $~„: а + О = а, и а б 1п; 4) ч а б $г„3 ( — а) б $н: а+ ( — а) = О; 6) 1 а = а, Ча б ~'„; 6) (оД) а = о(па); 7) (а +,В) а = о а + 12 а; 8) а(а+ Ь) = аа+ аЬ. Отметим, что, прежде чем сделать этот вывод, мы проверили лишь факт наличия законов композиции и справедливость свойств 3 и 4. Очевидно, остальные свойства не нуждаются в проверке.
К свойствам 1-8 остается добавить, что операция сложения векторов на каждом из множеств Уы 1Гз, угз обладает обратной операцией, называемой вычитанием. Замечание. Свойства 1 — 8 говорят о том, что множества Уы Ую Ъю будучи, вообще говоря, различными, обладаог общими свойствами. Такими же свойствами обладает и совсем непохожее на них множество Жю"" матриц размера тх и (12). Очевидно, это относится и к множеству Й всех действительных чисел, если операцию умножения чисел рассматривать как внешний закон композиции. Уже эти примеры наводят на мысль о целесообразности общего взгляда на эти множества. В следующей главе мы увидим, что рассмотренные в примерах множества — это лишь частные проявления того круга формальных понятий, который составляет основу линейной алгебры и аналитической геометрии.
613. Вещественное линейное пространство 57 Глава 1Ъ'. Введение в теорию линейных пространств 813. В 8 . Вещественное линенное пространство Мы 6 е уд м рассматривать множества, наделенные двумя законами композиции: внутренним и внешним Яй). В зи ниб ). нутренний закон композиции удем называть сложением а внешний— " — умножением на вещественное число.
Согласно этой термин ологии на этих множествах указаны два правила: ментов а 6 ° правило, посредством которого любой упорядоченной ой паре эле- множества ставится в соответствие однозначно оп е еленный элемент а 6 т а+ из этого же множества, называемый нозначно опредеэлементов а и 6 ый суммой ° правило, посредством которого любому вещественном ому числу а твие однозначно у менту а множества ставится в соответс определенный элемент аа этого же множест ва, называемый произведением элемента а на число а. Непустое множество )г называется веществеииы й ио липе иым просраисгивом, если на нем заданы два закона композ иции; 1 а+Ь=Ь а, у ренний закон композиции, подчиненны й аксиомам ) а = + а, Ча, Ь Е И (аксиома коммутативности), 2 = ( ),, 6, с б )г (аксиома ассоциативности) 2) (а + Ь) + с = а+ (Ь+ с) Ча, Ь с 3) 3 0 Е )г: а + 0 = а, Ча Е о', 4) Ч а Е 1' 3 ( — а) Е )г: а + ( — а) = 0; внешний закон композиции подчиненны й аксиомам 6) (а)г)а = а()уа), Ча, )1 Е )й, Ча б )г; и если оба закона связаны между собой аксиомами 7) (а + )1)а = ад+ гуа Чаый , л Е 'ж, Ча Е И (аксиома дистрибутивности умножения на число относительно сложения чисел), 8) а(а+6) = аа+аб Ча )й,Ч, умножения на числ — Е, Ча, 6 б И (аксиома дистрибутивное ло относительно сложения элементов гг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
