В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1113055), страница 9
Текст из файла (страница 9)
4. Пусть Х вЂ” конечное множество, состоящее из и элементов. Перенумеруем эти элементы и будем считать, что Х = (1,2,..., п). При биектнвном отображении 7' множества Х на себя его элементы преобразуются следующим образом: 1 т аы 2 т аз, ..., и т а„, где а; Е (1,2,...,п) и а; ф а при т ф у'. Этот закон преобразования элементов принято записывать в виде таблицы (8.2) или просто в виде от, аз~ ° ° ° ~ ап) (8.3) где а; Е (1,2,...,п) и а; ф а прн т ф ~. Биективное отображение множества Х на себя называют подстпамовкой этого мможества (подстпамовкой и-го порядка) и обозначают символом (8.2) или перестамовкой этого мможества (персстпамовкой и-го порядка) и обозначают символом (8.3). Лва отображения з': Х вЂ” У и д: Х вЂ” У называются равными, если Дх) = д(х), Чх Е Х. Обозначение: у = д.
Тождества еммым ~единичным) отображемием на множестве Х называется отображение ех: Х вЂ” Х, которое переводит каждый элемент х Е Х в себя. Произведение отображений. Произведением (суперпозицией или композицией) отображений д; Х вЂ” У и 7': У вЂ” Х называется отображение ~д: Х вЂ” л, определенное правилом (8.4) тд(х) — )(д(х)), Чх Е Х. Таким образом, произведение отображений есть последовательное выполнение отображений-сомножителей, причем если символ отображения рассматривать как рецепт для выполнения определенных действий, то символ произведения уд следует читать справа налево. Заметим, что произведение отображений некоммутативно.
Лаже в случаях, когда оба произведения )д и д)' имеют смысл, произведение, вообще говоря, зависит от порядка. В этом легко убедиться на примере, когда Х = У = )к, у(х) = х+ 5, д(х) = (х1 43 Глава П. Теоретико-множественные понятия 42 4д. Алгебраические законы Произведение отображений обладает следующими свойствами. 1. (ех = /; еу( = ) длл любого отображению у: Х вЂ” У.
Проверка этого свойства предоставляется читателю. 2. Произведение втпвбрвзкений ассоциативно, пь.е. если Ь: Х - 1; д: 1 - г,,(: г П, Ддь) те Цд)Ь. Показательство. В соответствии с определением равенства отображений нужно просто сравнить значения отображений Ядй): Х вЂ” П и (уд)Ь: Х вЂ” П в произвольной "точке" х б Х. Согласно определению (8.4) произведения имеем (((дЬ))(х) = (((дЬ)(х)) = ((д(Ь(х))) = ((д)(Ь(х)) = (((д)Ь)(х). ° 3.
Произведение иньектпивных (сюръекпьивных, биектпивных) отпображений инъектпивнв (сввтпветпстпвеннв сюръекпьивно, биектпивно). Показательство. Пусть д: Х вЂ” У, у: У - Š— инъективные отображения и пусть хь ф хз. Тогда из инъективности д следует, что д(хь) ф д(хз), а из инъективности ) следует, что )(д(хь)) ф ) (д(хз)), т.е. (д(хь) ф (д(хз). Пусть теперь ),д сюръективны. Тогда для любого г б Я в силу сюръективностн у существует д б У такой, что г = ((д). Но для этого элемента д в силу сюръективности д существует элемент х б Х такой, что у = д(х).
Таким образом, для любого элемента г б Е существует элемент х б Х такой, что г = )(д(х)), т.е. г = )д(х). Биективность вытекает из сюръективности и инъективности. ° Обратное отображение. Пусть у: Х -+ У. Отображение у ь: У вЂ” Х называется обратным к отображению у, если ( )=ел, О '=еу. (8.5) Заметим, что нз этого определения следует, что у — обратное отображение к отображению у '.
Отображение, для которого существует обратное отображение, называется обрвщимььм. Если выполнено одно нз равенств (8.5), то ) ' называется соответственно левым или правым обратпным. Теорема 8.1 (кржтерий обратимости). Отображение обратимо тогда и тпвлькв тогда, когда онв биекпьивно. Лемма. Если д: Х вЂ” У, у: У ь Х и уд = ех, тпо д иньекпьивив, в ) сюръектпивнв. Действительно, если д не инъективно, то существуют элементы хь,хз Е Х такие, что хь ф хз, а д(хь) = д(хз).
Тогда хь = ех(хь) = й(хь) = )(д(хь)) = ((д(хз)) = /д(хз) = ех(хз) = хз. Следовательно, д инъективно. Палее, если х — произвольный элемент Х, то х = ех(х) = /д(х) = ((д(х)) = )(д), где д = д(х) б У. Это доказывает сюръективность (. Лемма доказана. Показательство теоремы. Необходимость. Пусть у обратимо.
Тогда из (8.5) и леммы следует, что ) ннъективно н сюръективно, т.е. у биективно. Лостаточность. Пусть ) биективно, тогда для любого д б У существует единс е инственный прообраз х б Х. Построим отображение — У имеем д: У вЂ” ь Х, положив д(д) = х. Тогда для любого д б имеем ()д)(у) = ((д(у)) = Дх) = д, т.е. уд = еу, а для любого х б Х имеем (д()(х) = д(((х)) = д(у) = х, т.е. д( = ех. Таким образом, д = ( ' и ( обратимо. ° Отметим еще два свойства обратимых отображений. 1.
Об танге впьвбразкение единственно, так как если у ратко (.Х- У об атных отображения к отображению (: Х вЂ” У, то )ь ть еу )ь (ьтз ) (ть 1))з ехтз )з 2. Произведение обратимых втпвбрвжений обратимо, ири этом ()д) ' = д ь) '. Лействительно, произведение (д обратимо как произведение ение биективных отображений при этом Цд)(д ~~ ') = ((дд ')Гь=О '=еу,(д ь( ь)(цд)=д ц ()д=д д=ех. йо Алгебраические законы композиции Вндтпренннм закинем нимивзи ии (алгебраическвй операцией) на множестве Х называется отображение в:ХХХ Х, .е. закон, посредством ос е ством которого любой упорядоченной паре элеменов а, ста ,6 б Х тавится в соответствие однозначно определенный эле(и ) ~-~ в ент с е л.
от Чьакт, что а, ьа 6т ь с записывается символически виде а * в = с. конкре 6 = . В тных случаях вместо символа в используют : символы +, —, х,: и др. П . 1. На множестве натуральных чисел операции слоыржмеры.. а иями жения и умножения чисел жених чисел являются алгебраическими операц так как любые два натуральных числа можно сложить (и умножить), при этом результатом будет также натуральное число. ожестве операции вычитания и деления не являются па этом же множе алгебраическими операциями, так как результаты выполнения этих опе ацнй не всегда будут натуральными числами. опер 2.
На множестве вещественных чисел опер ц а ии сложения, вы- читания, умножения (но не деления) ч у у исел б д т алгебраическими операциями. сел Ж ььбт опе ации 3. На множестве ненулевых вещественных чисел умножения и деления еления (но не сложения и вычитания) будут алгебраи- ческими операциями. 4. На множестве Ж "" матриц размера пь хи, где тп ф п, операции сложения и вычитания (но не умножени, р я, мат иц являются алгебра- ическими операциями.
5. На множестве ж""" вадратных матрип и-го порядка операции сложения, вычитания и умножения матриц— — алгеб аические опера- ции. 45 69 Алгебраические законы Глава лава И. Теоретико-множественные понятия Алгебраическая операция * на множестве Х называется: ° коммутвтнв ной, если и * Ь = 6* и, Ып, Ь Е Х, а вссоцывгпивной, если (а*Ь)»с= в*(Ь*с) Ып Ь сЕ Х. )~ ) Операции сложения и умножения чисел в Й коммутативны и ас- социативны.
Сложение матриц, как уже отмечалось в ,"2 мутативно и ассо ось в ",, также комо и ассоциативно. Примером некоммутативной, но ассоци- ативной алгебраической операции могут слу Йаха с жить операции умноже- ния матриц в Й" " и с Й" " уперпозиции отображений на множестве всех' отображений множества Х в себя. Элемент е б Х б называется нейтральным элементном мнолсесшвд' Х оглыоснтельно влгебрввческой онервции», если Ыа Е Х: п л е = е * и = и. Примеры. 1. Очевидно, что число О Е Й является нейтральным О Й "" — йт элементом относительно операции сложения я чисел в Й, а матрица О е Й вЂ” нейтральным элементом относительно сложения матриц р читания чисел и матриц не обладают нейт аль- ными элементами.
" раль- 2. Также очевидно, что 1 Е Й и 1 Е Й""" являются нейтральными Йах» элементами относительно операций умнож ения чисел в Й и матриц в соответственно. О . Операция умножения на множестве всех чет- ных чисел, являясь алгебраической операц " об ным элементом. иеи, не падает нейтрвльТеоре ма 9.1. Нейтральный элемент едннствсн. Показательство.
Дей . Д "ствительно, если е1 и еэ — два нейтраль- ных элемента, то е *е = е т э — ы так как еэ — нейтральный элемент, и е1 * ез = еэ, так как ег — нейтральный элемент. Значит, ез = ег. ° усть * — алгебраическая операция на множестве Х, обладающая нейтральным элементом е. Эле Элемент х называется снммеглрвчным элеменпзом для элемента х Е Х если х» х*х =к*х=е. А б Йшхо обла аю Примеры. Очевидно, что любое число а Е Й юб а и л ая матрица ладают симметричным элементом относительно опе а- ции сложения — ими б т с уду оответственно противоположное число -а и противоположная матрица — А.
Что же касается умножения чисел в Й н умножения матриц в Й то не каждый элемент обладает сямметр етричным: только ненулевое чиимеют симметричные ело и б Й и невырожденная матрица А Е Й""" им матрица А ' (65). элементы — ими будут соответственно обратное число и ' и об а и ратная Т е о р е м а 9.2. Си . Симметричный элементы опвыоснтельно дссо- цнвтнвыой влгебрвнческон операции еднысшвен. Показательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
