В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1113055), страница 5
Текст из файла (страница 5)
О»» Заметим, что в этом произведении сомножители упорядочены в порядке возрастания номеров строк, при этом номера столбцов ат, аз, ..., а„образуют перестановку из чисел 1,2,...,п, так как а; б (1,2,..., п) и а; ф а; при т ф у'. Произведений вида (4.2) в матрице А столько, сколько существует перестановок а!,аг,...,а„ нз и чисел, т.е. и! . Определителем квадратной матрицы А = (От!) и-го порядкв называется сумма всевозможных произведений От„,иг„, ... О„„„ элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем если сомножители в этом произведении упорядочены в порядке возрастания номеров строк, то оно берется со знаком ( 1)о(»оат,...,а ) Лля обозначения определителя приняты символы )А), де(А. Итак, О! ! Огг ... От„ Оз! О22 .
° Оз» О»1 О»2 ° ° ° О»» а(а) ( 1) Отатпзот О»а а=(ао»п...,а ) (4.3) где суммирование ведется по всевозможным перестановкам (ат,аз, ..., а„) из чисел 1,2,...,и. Каждое произведение в сумме (4.3) называется членом определителя, а число (-1)'( ) — его знаком.
Из свойств перестановки следует, что число всевозможных членов определителя и-го порядка равно и.' и что при и > 2 число положительных членов равно числу отрицательных и равно и!/2. 26 Плана й Матрицы $4. О елелнтелн 27 3 а м е ч а и и г 1. Свойства 4 н 5 часто объе лине ности оп гасли р о »псла относительно строк и столб- лб ов) ма Свойство 6.
П и пе е р р стпановке местпами двух строк (сто- л яов) матрицы ег определи»пель меняет знак. Доказательство. Пусть в матрице А = (а;.) б И""" вляются ьй и )-й столбцы и В— е = (аб) б переста— Результат этой перестановки: чевидно, что определители матриц А В тех же членов. Сравним . Ч и состоят из о их знаки.
лену а т...а, ... ,' . и дних и ~А~ а»т ° ° аад ° ° ° аа у... аа и ,'А,' соответствует перестановка оы..., от ... о перестановка ...,,...,; .... я а. Эти перестановки отличаются с»ы..., а,..., пч ... о . друг от друга одной транспозицией, т.е. имеют азн ю ч к т 3 а м е ч а н и г 2.
Отметим, что свойство 6 огда переставляются строки (сто б ) относится к сл чаю У Сво ( л цы) с разными номерами. в ой ство 7. Опредглитпель мат и ы, трииы, имеющей две одинаг строки ттстолбиа), равен нулю. Утверждение вытекает из свойства 6: достато менять местами одинаковые ст о ~А~ =— статочно в мат ице пороки, тогда = -~А~ = О. ° С в ой с т в о 8. Если одна строка (стполбе ется линейной ко 6 д м инаиисй ругих ее строк (стол о р ( олбвов)» то опреде- свойства 7. ° Утверждение вытекает из св " ойства линейности определителя и Своиство 9.
Если к какой-либо стпроке (столб ма иы прибавить линейную ко 6 д с (стол иу) матприком инаяию ругих ес строк (столб ов ее определитпель нг изменится. ( ол Пов), тпо Утверждение вытекает из свойств 5 и 8. ° Мино ы и ал И»анл р алгебраические дополнения.
П А = (; ал . усть =(а;) б и й б И, 1 < й < ппп(тп,п). Выбе ем строк и столбцов с номерами тт < тз « ... »» и )т <,~з < < 7» соответственно. Элеме на пересеч лементы матрицы А, стояшие енин выбранных строк н столбцов, об цов, о разуют квадратную мором й-го порядка мат ицы А, а орядка. пределитель этой мат и ы р цы называется мипорядка матрицы А, расположенным в строках с номерами тытз,...,»» и столбцах с номерами 7' у ... ' .
Д 'ыуг,...,У». Для обозначения ми- норов приняты символы М'"*"", М(.'.'".') (... ), М», М. Итак, М»»»».,» У' ' ' »П» а»,', ... а. у ~ть "т~ а»»у, ... ат Пусть теперь А = (а; ) — ква М'»ча "» ° дратная матрица и-го порядка и т т» -о» минор ~ели вычеРкнуть в матрице А строки цы, в кото ых асио Р р оложен заданный минор то оставши строки и столбставшиеся элемен- де» А = ~ М',";""'„А"," ",, (т»д», -д») (4.6) где суммирование ведется по всевозможным значениям зыуз,...,7» (1 < 7'т < уз «... 7» < и). Для доказательства рассмотрим подробнее правую часть требуемого равенства (4.6). Минор М"' "", как определитель й-го порядка, представляет собой сумму произведений й элементов матрицы А. Точно так же и алгебраическое дополнение А"""" является суммой ш»-д» произведений и — й элементов матрицы А.
Значит, произведение М„"',"";А"""";, а следовательно, и вся правая часть (4.6) представляет собой сумму произведений и элементов матрицы А. Обозначим эту сумму через 3 и покажем, что она совпадает с де» А как с суммой (4.3) членов определителя с соответствуюшими знаками. 1. Сначала покажем, что произведение М'"-'-"А""' "* представляет собой »»1» -т» тб» д ° некоторую сумму членов де» А, причем с теми же знаками, с какими они входят в де» А. а) В простейшем случае, когда мн- А= нор М ".""' находится в левом верхнем У»7»" д ° углу матрипы А (рис.
1), дополнительный минор будет занимать правый ниж- Рис. 1 ний угол, при этом он будет совпадать с алгебраическим дополнением, так как ( — 1)(»+з+ "+»1+14+я+" +»1 = 1. 4* ты матрицы А образуют квадратную матрицу (п — й)-го порядка. Определитель этой матрицы называется доиолнитпельмым минором к минору М"'*"";. Дополнительный минор обозначается символами — »»»»...»» М..., М, М'. Очевидно, что исходный минор является дополнительйыом к своему дополнительному минору. Дополнительный минор к минору М"""'",, взятый со знаком (-1)~ = б»+1 ° 1, называется ал'гебраическим дополмемием к минору М'."'""' и обозначается симво- 1»т»-дь А"""'" = (-1)" +"+" +" +У'+1*+ "+1'М т»7»-д» т»У» .4»' Теорема 4.5 (теорема Лапласа).
Пуст»А = (а; ) б Ж"н" и й б И, 1 < й < и — 1. Пуск»ь в матрице А выбраны произвольные й стпрок (или столбцов). Тогда опрсделитпель матрмиы А равен сумме всевозмо»юных произведений миноров й-го порядка, располохсгнмых в выбранных си»роках (соотпвгптствемно столбцах), на их алгебраические дополнения. Доказательство. Пусть выбраны строки с номерами тт < тз < ... < »». Следует доказать, что 28 Глава 1. Матрицы 24. Определители (4.9) »»а(д) ( Ц а»+1,дьюи»ьз д»ь,...а„,1„. щ»а, ваза, »»а, ...а. (4.8) а1а~аза»'' ааа В Возьмем произвольный член минора М"""": ( — 1)'(а)а аг 1»У»-дь 1а» аз' а», и произвольный член дополнительного к нему минора: Тогда произведение М'."'" ';А",""", есть сумма произведений вида 11»(а)+а(д) (- ) а!а»а2аз ° ° а»а»а»+1 ф»Ь»...аале В этом произведении все сомножители стоят в разных строках и разных столбцах матрицы А, следовательно, оно будет членом де(А.
ЗиаК ЭТОГО ЧЛЕНа раисв ( — 1)а(а"" "'Дз+» "'Д"), НО а(О1,..., а»,)У»»1, ..., В„) = а(а) + о()3), так как никакое о; ни с каким )71 не образует инверсий: все о; ( й, а все )7 > й. Таким образом, произведение з»1»б..х»»»»»з.-»ь А „,"',А,„,'" „представляет собой некоторую сумму членов де1А, причем с теми же знаками, с какими они входят в бес А. б) Общий случай минора М"""', сводится к рассмотренному следующим образом. Будем переставлять 11-ю строку матрицы А последовательно со всеми предыдущими до тех пор, пока она не займет место первой строки.
Затем точно так же будем переставлять зг-ю, ..., 1»-ю строки до тех пор, пока они не займут места второй, ..., й-й строк соответственно. Аналогично переставляются 11-й, зг-й,..., у»-й столбцы до тех пор, пока они не займут места первого, второго, ..., й-го столбцов. При этом всего будет выполнено (11 — 1)+ "+('»-й)+()1 — 1)+" +(1»-й) = = (11 +...
+ 1») + (11 +... + 1») — 2(1 +... + й) (4.7) перестановок строк и столбцов матрицы А. В результате этих перестановок матрица А преобразуется в матрицу В, в которой рассматриваемый минор М,""""„матрнцы А займет левый верхний угол. Так как при указанных преобразованиях взаимное расположение строк и столбцов дополнительного минора не изменилось, то дополнительный минор к минору М'"' ",.' в матрице А остается дополнительным к нему и в матрице В. Из и. "аа следует, что произведение »»1»»»...\» й11,' ,*'" ",М,, „является суммой членов де1 В с теми же знаками, с какими они входят в с(е( В. Но, согласно свойству 6 определителя и (4.7), з(е1 А = (-1)("+" +1")+(м+" +1') де(В.
Следовательно, слагаемые произведения ( — 1)("+" +")+(1'+ "+1") М"""" М входя в де1 А со своими знаками. 2. Из доказанного в и. 1 следует, что вся сумма Я представляет собой некоторую сумму членов де1А со своими знаками. 3. Покажем теперь, что в сумму Я входят все члены де1 А.
Пусть — произвольный член ое( А. В этом произведении соберем отдельно сомножители, расположенные в строках с номерами з», зз,..., 1»: Они расположены в различных столбцах с номерами а»„о;„..., а;„. Эти номера однозначно определяются заданием члена (4.8). Обозначим через М минор й-го порядка матрицы А, расположенный в строках с номерами 11, 12,..., 1» и столбцах с номерами о;„о;„..., оог Тогда произведение (4.9) будет членом этого минора, а произведение остальных сомножителей (4.8), не вошедших в (4.9), — членом дополнительного минора М к минору М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
