В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1113055), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Из равенства АВ = 1 следует, что  — квадратная матрица и, согласно (4.13), А не вырождена. Следовательно, А обратима и для нее существует обратная матрица А '. Тогда А ' = А !(АВ) = (А 'А)В = 1В = В. Таким образом, В = А Аналогично рассматривается случай, когда ВА = 1. ° Показанная теорема устанавливает свойство единственности обратной матрицы, и, более того, из нее следует, что для квадратной матрицы А одного из равенств АА ' = 1 или А 'А = 1 достаточно, чтобы матрица А ' была обратной к матрице А. 5-5508 Глава 1 Матрицы 35. Обратная матрица «р е о бр и з н н е и не ~ етолбнея ВА ' «р е е бр ее о в е н н л агз а1з .
а1« О 1 азз ... аз„ О О О [ А) В) ВА 1 = ВЬ113... Е». так как А В = Б»1» 1...Ь111В, Некоторые свойства обратной матрицы. 1.1 '=1,таккак1 1=1. 2. (А '(= 1/(А(, так как (А( (А '(= 1. 3. (А ') ' = А, так как АА ' = А 'А = 1. 4 (Ат)-1 (А-1)т, так как (А-1)тАт (АА 1)т 1т 1 5. (АВ) ' = В 'А ', так как (АВ)(В 'А ') = 1. Вычисление обратной матрицы. С ческнхвссл овен оотношевве (5.3) дает явный ввд обратной мвтрншя. Оно и но полезно в теоретвнх всследовннвях н совершенно нел~фехтивно для прлхтнчесхого вы рнц орого порядкв1 вследствие болыпого объема требуемых ычнслення вычнсленнй. В самом деле, для получення обратной матрицы к матрице «-го порядке соглесно (5.3) требуется вычислить «определителей (« — 1)-го в оден оп еделвтель «- Р -го порядке. В вычнслнтельной математике йспользуютел й (« — )-гоп«рядке сл рлзлвчные дополнительные првемы вычвсленкя обратной мат по объем вычвсле у енвй рева«сельвы вычислению всего лишь двух определнтелей «-го порядка.
Опишем один вз внх. Теорема 5.4. Произвольною неве»ролсденнаю матрица элементарными преобразованиями только строк (только столбцов) приводиглсю к единичной матрице. Доказательство. Рассмотрим строчный вариант т еоремы. усть А = (аб) б )й " н де»А ф О. Применим к ней основной процесс ( р . ). Так как А — квадратная матрица, то окончательная (тео ема ЗА), ступенчатая матрица будет треугольной. Ввиду невырожденности исходной матрипы она также будет невырожденной и ее диагональные элементы будут отличны от нуля. Поделив каждую строку на ее диагональный элемент, т.е.
выполнив элементарные преобразования строк, получим треугольную матрицу аида Если представить процесс приведения матрицы к верхней ступенчатой форме как преобразование матрицы "слева направо" (в таком порядке аннулируются столбцы), то теперь будем выполнять аналогичные преобразования "справа налево". На нервом шаге с помощью последней строки аннулируем все наддиагональные элементы последнего столбца, вычитая из первых (и — 1) строк последнюю ст ок, умноженную на а1„, аз„,...,а„» „соответственно. На втором шаге из первых (и — 2) строк вычитаем (и — 1)-ю строку, умноженную на а» „1, аз „1,..., а„з „1 соответственно.
Выполняя аналогичные преобразования, через (и — 1) щагов получим единичную матрицу. Отметим, что на каждом шаге изменяются элементы только одного аннулируемого столбца. Если в доказательстве поменять ролями строки и столбцы, то получим утверждение столбцового варианта теоремы. ° Показанная теорема может быть переформулирована в терминах матриц элементарных преобразований (теорема 3.2). Пля строчно- го варианта: сущесгпвуюгл мошрицы элементарнык преобразований 51, Ьз, ..., Ь» глакие, чгпо Л»А» 1 ...1зБ1А = 1. Отсюда в силу теоремы 5.3 следует, что А 1 = Ь»5» ~...1.111 или А Ь»1» 1...1з111. Это означает, что длю получению обратной матрицы досглап»очно к сгпрокам единичной матрицы 1 применив»ь п»е преобразованию, которые приводюпз матрицу А к единичной матрице.
Лля этого удобно составить расширенную матрицу (АЩ и над строками этой матрицы выполнить те преобразования, которые матрицу А приводят к еди- -1 пичной; тогда на месте матрицы 1 окажется обратная матрица А Итак, «рсобрн*ееенне ~Ах 'с1 'гз ''з. 15.41 Аналогично в столбцовом варианте «реобрнзовеннл ег«албчое (5.5) А ' Этот метод вычисления обратной матрицы называется меп»одом Жордана или методом Гаусса-Жордана. Замечание. Если в расширенных матрицах (5.4) и (5.5) на место единичной матрицы 1 поставить матрицу В, то вместо матрицы А 1 получим в нервом случае матрицу А 1В, а во втором — ВА й7.
Эквивалентность йт Глава 11. Теоретико-множественные пОнятия Здесь излагаются первоначальные теоретико-множественные по. патия, которые будут использоваться в последующих главах. 26. Множества У /ХСУ ) УСХ. (0.1) Если 5 С Х, причем Я ф кз, П ф Х, то Я называется собспзвсииым подмиоэкеством множества Х. Обьедииеиием (суммой или соедииеиием) множеств Х и У называется множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Х или У. Обозначение: Х 0У. Итак, Х О У = (х(х Е Х или х Е У).
Псрссечеиием множеств Х и У называется множество всех элементов, одновременно принадлежащих как Х, так и У. Обозначение: Х ПУ. Итак, Х ПУ = (х(х Е Х,х Е У). Под миохсестяом в математиие понимается совокупность объектов, называемых элементами множества. Квк правило, ывожество обозввчвется прописной буквой какого-либо алфавита, в его элеыевты — строчными буквами того же или другого алфавита. Для некоторых мвожеств приняты стандартные обозвлчевия.
Тлк, буквеыв И, л', 'зг', И обозначают соответственно множества всех натуральных, целых, рациоикльвых, вешествеввых чисел. Мвожествв с ковечвым числом злемевтов могут быть оцислвы цутеи левого церечвслеввя всех вх злеыевтов, злеыевты црв этом звключеются в фигурвые скобки. Например, (0,1,2) — множество остатков от делевия целых чисел ве число 3, Множество, не содержащее ни одного элемента, называется иусгпым миохсестоом, Мы будем обозначать его символом 4. Множество 5 называется подмиоэсестоом множества Х, если имеет место импликация: х Е Я =ь х Е Х.
Обозначение: 5 С Х. Пустое множество по определению является подмножеством любого множества. для задавил цодывожествв Э С Х всцользуется его херектеристическсе свойство, т.е. свойство, врисугдее тольиз элементам из У. Например, запись (и = гй (й б л') задает мвожество всех четных чвсел. Лва множества Х и У называются равными, если каждое из них является подмножеством другого, т.е.
Разностью множеств Х и У называется множество всех элементов из Х, которые не содержатся в У. Обозначение: Х1У или Х вЂ” У. Итак, Х1У = (х(х Е Х х ф У). Если У С Х, то разность Х1У называется дополнением множества У до множества Х. Обозначение: У, СУ или СхУ. Пскартооым вроизведсвием множеств Х и У называется множество всевозможных упорядоченных пар (х, у), в которых х Е Х, у Е У. Обозначение: Х х У. Итак, Х х У = ((х,у) (х Е Х,у Е У).
Лекартово произведение Х х Х называется декаргповым кладратвом множества Х и обозначается символом Х . Множество всех г пар (х,х), где х Е Х, называется диагоиалью декартова квадрата множества Х. Примеры. 1. Множество О всех рациональных чисел можно рассматривать как декартово произведение л. х И. 2. Множество декартовых координат всех точек плоскости пред- г ставляет собой декартов квадрат й . 3. Если упорядоченную пару (а,б) вещественных чисел изображать точкой плоскости с абсциссой а и ординатой 5, то декартовы произведения Х х У и У х Х множеств, указанных на рис.
1, изображаются точками соответствующих прямоугольников. Рис. 1 ~7. Эквивалентность В математике, в логических рвссуждевиях, в телеке в обыденной жизви мы сталкиваемся с необходимостью сравнивания двух элеыевтов ыиожества: равенство (и веревеиство) двух чисел, рввеиство матриц, равенство множеств, полобие треугольввков, зквивллевтвость урлввеввй и т.д. Ыо всех этих случаях между сеуле элементами ывожества определено векоторое отвошевие, в в каждом случве введево ярзезло, цо которому устввевливается, ваходятся ли заданные два злемевте в этом отвошевви вли вет.
Несмотря ве разнообразие этих отвошеиий, оказывзется, что с математической точки зрения оли являются «оикретиыыи цроявлеввяыи одного и того же понятия. Введем его. Бинарное отношение. Говорят, что на множестве Х задано бииарнос опзиошсиис 'И, если указано непустое подмножество зс декартова квадрата этого множества, Если при этом (х,у) Е Я, то говорят, что элементы х и у связаны отношением К, и обозначают символом хП,у. 39 17. Эквивалентность Глава П. Теоретико-множественные понятия 38 Равенство х = у и неравенство х < у действительных чисел ра- г венство матриц А = В, равенство множеств Х = у' и пр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
