В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1113055), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Структура линейного оператора............... 231 з 84. Инвариантные подпространства............................ 231 з 85. Собственные значения и собственные векторы............. 233 з 86. Характеристический многочлен ............................ 234 з 87. Собственное подпространство ... 237 з 88. Операторы простой структуры 238 з 89. Треугольная форма матрицы линейного оператора......... 242 з 90.
Нильпотентный оператор. .................... 243 з 91. Корневые подпространства. . 246 Расщепление линейного оператора. Корневые вектпоры. Корневые подпростпранства з 92. Жорданова форма. 249 Канонический базис корневого надпространства. Нумерация базиса. Матприца оператора в каноническом базисе. Жорданова форма матрицы линейного оператора е комплексном просптранстпве з 93.
Инвариантные подпространства минимальной размерности 254 Глава ХЧ1. Линейные операторы в унитарных (евклидовых) пространствах .... 256 з 94. Сопряженный оператор. ............ 256 з 95. Биортогональные базисы ......,... 257 з 96. Нормальный оператор ..... 259 Критерий нормальности. Униптарно подобные матприцы.
Матпричмая формулировка свойстве операторов у 97. Унитарный (ортогональный) оператор..................... 262 Критиерии унитпарности. Спектральная характеристпика умитарного оператора. Каноннческая форма матрицы ортогонального операптора з 98. Самосопряженный оператор . .......... 266 з 99. Знакоопределенные операторы .. 268 з 100. Разложения линейного оператора...........................
270 Глава ХИ1. Квадратичные формы.......................... 274 з 101. Квадратичные формы в линейном пространстве........... 274 Билинейные формы. Квадратичные формы. Канонический вид квадратпичной формы з 102. Квадратичные формы в вещественном пространстве....... 280 Закон инерции. Змакоопределемные квадратпичные формы з 103.
Квадратичные формы в комплексном пространстве........ 283 Полутпоралимейные формы. Эрмитовы формы з 104. Квадратичные формы в евклидовом (унитарном) пространстве. 285 Оглавление ПРЕЛИСЛОВИЕ В.А. Ильин, Г. 2-5508 Глава ХЧП1. Поверхности второго порядка................ 288 2 106. Гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве. ............................... 288 Общее уравнение. Приведенные уравнения.
Инварианты гинерноверхностаи. Классиутиканих гииериоверхностей 2 106. Алгебраические поверхности второго порядка..............292 Обтлее уравнение. Приведенные уравнения. Канонические уравнения. Геометрические свойства Глава Х1Х. Линейные нормированные пространства..... 303 з 107. Норма вектора.
...... 303 Сходимость но норме. Эквивалентность норм в конечно- мерном иростпранстве з 108. Линеиные операторы в нормированных пространствах..... 307 Согласованные нормы. Ограниченный онератнор. Подчинеинах норма. Сиектнральнах норма з 109. Матричные нормы оператора.................... 310 З 110. Экстремальные свойства собственных значений самосопряженных операторов .
........................ 311 $111. Линейные операторные уравнения.......................... 313 Нормальное реитение. Псевдорешение Предметный указатель.......................................... 316 Линейная алгебра является широко используемым аппаратом для всех разделов математики и ее приложений. Особенно возросла ее роль в связи с развитием вычислительной техники и математики. Не будет большим преувеличением утверждать, что любое математическое приложение в вычислительной практике на том или ином этапе сводится к решению алгебраической задачи. Логическая структура линейной алгебры исключительно проста, она основана на небольшом чясле удобных в обращении понятий и аксиом. Однако абстрактный характер алгебраических понятии затушевывает это ее свойство и затрудняет первоначальный опыт изучения линейной алгебры. Объединение линейной алгебры и аналитической геометрии в один курс позволяет подчеркнуть геометрическую природу линейной алгебры и сделать ее объекты более наглядными.
По существу, линейная алгебра и аналитическая геометрия настолько связаны, что между ними трудно провести четкую грань, "во многих случаях они отличаются друг от друга лишь языком: каждую из этих дисциплин можно понимать как перевод другой" (Ж. Льедонне). При написании этой книги мы придерживались традиции объединения (переплетения) линейной алгебры и аналитической геометрии, установившейся в системе преподавания. на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова. Прн совместном изучении этих дисциплин геометрические представления своей наглядностью делают алгебраические понятия и факты более воспринимаемыми, помогают уяснить, а зачастую и предвидеть не всегда очевидные факты.
В свою очередь алгебраический формализм позволяет проводить геометрические исследования более компактно. Авторы испольэовали ряд методических приемов из учебников, написанных А.Г. Курошем [9), И.М. Гельфандом [3), Н.В. Ефимовым [4), Г.Е.
Шиловым [10), В.В. Воеводиным [2), А.И. Кострикиным [8), В.А. Ильиным и Э.Г. Позняком [6]. Нам приятно подчеркнуть благотворное влияние на методические особенности предлагаемой книги идей первого лектора по данному курсу на факультет ВМиК МГУ В.В. Воеводина. Авторы считают своим приятным долгом поблагодарить р МГУ В.А. Садовничего и декана факультета ВМиК МГУ П.П. марона, оказавших существенную поддержку изданию этой к научного редактора книги Л.В.
Крицкова за ценные замечани собствовавшие ее улучшению. 12 Глава 1 Матрицы "11. Понятие матрицы а„ аз, ат, В этих обозн А может б пактно: ! а !зз О О ... О О О ... О О ... О ! а,д О ... О О ... О О .. О (1.2) внедиагональные элементы равны нулю, Обозначение: 41ай(аы, ..., а„„). Лиагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны между собой, называется скаллриой.
Скалярная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной (тождественной) и обозначается символами 1 или Е. Отметим, что для каждого порядка и существует своя единичная матрица. Число сгА = аы +... + а„„называется следом матрицы А = (аб) б Гк""". Матрица размера 1 х и называется строчной матриией, или митричей-строкой, или вектор-строкой. Матрица размера тп х 1 называется столбиовой маптриией, или митричей-стполбиом, или ввктпорстолбчом.
Компактная форма записи матрицы. 11усть А = (а; ) б1й~"". Обозначим ттю строку и ттй столбец матрицы А символами а', и а;: ! а! — [ атч атз ... а!ев ] и а ° ачениях матрица ыть записана более ком- или А=[от аз ... а„]. (1.1) Такой формой записи мы нередко будем пользоваться, причем не только лаконичности ради. Матрицы специального вида. Квадратная матрица А = пхв (а; ) б Р называется верхией (правой) тпреугольиой, если аб = О при т ) ), и нижней (левой) треугольной, если а;. = О при т ( т. Общий вид треугольных матриц: Матрица А = (ач) б тс ~ называется вер*нсй (прввой) ступенчатой, если она обладает следуюгпими свойствами; 1) если т-я строка нулевая, то (т + 1)-я строка также нулевая; 2) если первые ненулевые элементы ттй и (т'+!)-й строк расположены в столбцах с номерами к; и Й,вь то к! < й,вь едти свойства означают, что все нулевые строки являются последними и что все элементы, расположенные слева и под первым ненулевым элементом каждой строки, равны нулю.
11роисхождение названия становится понятным из "рисунка" ступенчатой матрицы: (здесь все неотмеченные элементы равны нулю, а заведомо ненулевые элементы помечены знаком *). Если в определении верхней ступенчатой матрицы поменять ролями строки и столбцы, то получим определение нижней (левой) ступенчатой матрицы. Ступенчатая матрица, у которой й; = т, называется тпрапепиввидиой. Общий вид трапециевидных матриц: где ап ф О при т = 1, г. Ло сих пор мы рассматривали матрицы, элементами которых служат числа.
Так в основном будет и впредь. Одно из немногих в этом отношении исключений составляют матрицы, элементами которых являются также матрицы. Остановимся на этом более подробно. Разобьем матрицу А = (а; ) б % "" системой горизонтальных и вертикальных линий на клетки (блоки). Клеточной (блочной) митричейй называется матрица, элементами которой служат эти клетки. Общий вид клеточной матрицы: 14 Глава 1. Матрицы $ = 1, пз, 1' = 1 и с, =па», Обозначение: С = аЛ. где А; - клетка, расположенная в $-й клеточной строке н в )-м клеточном столбце. Квадратная клеточная матрица А = (А. ) с кватрат- Ц , ратными клетками на главной диагонали называется квазидиагональмой, если А; = 0 прн ! ф 1$ и квазитреугольной, если Л; = 0 при $ ) 1' (или $ ( 1).
Ка к будет видно из дальнейшего, блочные матрицы по многим характеристикам близки к числовым матрицам (см., например, с. 17, свойство 1). Это продуктивно используется в вычислительной математике для обработки большого объема информации. 22. Операции над матрицами Равенство матриц. 11ае матрицы А = (а;„) и В = (6; ) одинакового размера т х и называются равными, если а..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
